數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的類型分析①

王富英 吳立寶 黃祥勇

( 1.成都市龍泉驛區(qū)教育科學(xué)研究院 610100；2.天津師范大學(xué)教師教育學(xué)院 300387； 3.成都市教育科學(xué)研究院 610031)

德國教育家第斯多惠說：“一個(gè)好的教師應(yīng)該教人去發(fā)現(xiàn)真理.”美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中指出：“學(xué)習(xí)任何東西的最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”[1].可以看出發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)是個(gè)人獲得真知的主要途徑[2].在數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)過程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式.發(fā)現(xiàn)的過程是一個(gè)知覺的過程，布魯納認(rèn)為，知覺的過程是一種類型化的過程.這種類型化是以一個(gè)人從觀察到的線索到認(rèn)出物體的種類所作出推理上的飛躍為基礎(chǔ)的.認(rèn)知過程的基本操作是對外部事物的類型化和概括化[3].

在數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過程中，正確區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的類型不僅是研究數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的需要，而且也是研究數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)本身的認(rèn)知過程.因此，定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的類型分析對于提高定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的質(zhì)量和效率十分重要.

1 數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的概念、類型及結(jié)構(gòu)

1.1 數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的概念

發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)又叫探究學(xué)習(xí)、研究性學(xué)習(xí).它是指通過學(xué)習(xí)者自己獨(dú)立思考去發(fā)現(xiàn)知識的學(xué)習(xí)過程.在這個(gè)過程中，學(xué)習(xí)者自己提出問題并尋求問題的答案.最早明確提出探究學(xué)習(xí)的是美國教育家杜威.杜威是從思維與經(jīng)驗(yàn)的角度對探究的特征和思維過程進(jìn)行了研究，提出了著名的經(jīng)驗(yàn)與思維的五個(gè)步驟.這實(shí)際上就是探究學(xué)習(xí)最早的操作程序，到現(xiàn)在還被人們廣泛沿用.雖然杜威最早提出探究學(xué)習(xí)，但明確提出并研究發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)且被大規(guī)模應(yīng)用到教育實(shí)踐中的則是美國教育家布魯納.在20世紀(jì)50年代末60年代初的美國課程改革中，布魯納提出的結(jié)構(gòu)主義課程和發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)成為了主要的理論支撐.發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)也就成為了布魯納認(rèn)知發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論的主要內(nèi)容．布魯納認(rèn)為，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)能夠激發(fā)內(nèi)在動(dòng)機(jī)、促進(jìn)發(fā)現(xiàn)策略的習(xí)得與發(fā)展、促進(jìn)對知識更加牢固的掌握.[4]

由于數(shù)學(xué)定理是中學(xué)數(shù)學(xué)的主干知識，是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理和論證的重要依據(jù).因此，在數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)過程中，根據(jù)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)和功能，教師有目的地引導(dǎo)學(xué)生去探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理，不但能使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)定理，更有效地提高學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的能力，而且也是有效形成學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象”、“數(shù)學(xué)推理”與“直觀想象”等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要途徑.

國內(nèi)很多學(xué)者在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中把發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)作為一種重要的探究學(xué)習(xí)方式進(jìn)行了很多研究.但在數(shù)學(xué)定理學(xué)習(xí)中的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)還沒有一個(gè)確切的定義.我們根據(jù)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的特征和數(shù)學(xué)定理學(xué)習(xí)的特征對數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的概念給出以下界定：數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)是指學(xué)生在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，對教師提供的一些研究、探討的素材與問題，通過閱讀、思考、觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、比較、抽象、概括、歸納、類比等步驟和方法獲得數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)過程.

值得指出的是，這里的數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)是指學(xué)校里學(xué)生在教師的指導(dǎo)下的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，而不是一般的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí).而且這里的發(fā)現(xiàn)并不限于發(fā)現(xiàn)人類已發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)定理，而是指學(xué)生在教師的指導(dǎo)下通過獨(dú)立地閱讀書籍或文獻(xiàn)資料，經(jīng)過獨(dú)立思考而獲得對于學(xué)習(xí)者來說是新知識的過程.正如布魯納指出的：“我認(rèn)為，發(fā)現(xiàn)不限于那種尋求人類尚未知曉之事物的行為.正確的說，發(fā)現(xiàn)包括用自己的頭腦親自獲得知識的一切形式”.[5]

1.2 數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的類型及結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)定理學(xué)習(xí)屬于數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)的范疇.奧蘇貝爾根據(jù)命題之間的關(guān)系把命題學(xué)習(xí)分為上位學(xué)習(xí)、下位學(xué)習(xí)和并列學(xué)習(xí)三種類型.根據(jù)奧蘇貝爾關(guān)于命題學(xué)習(xí)的分類，我們把數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)分為類屬發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)、形成發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)和類比發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)三種類型，其中類屬發(fā)現(xiàn)又可分為派生類屬發(fā)現(xiàn)和相關(guān)類屬發(fā)現(xiàn)；形成發(fā)現(xiàn)又可分為觀察實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)和歸納概括發(fā)現(xiàn)，而歸納概括發(fā)現(xiàn)又可分為完全歸納發(fā)現(xiàn)和不完全歸納發(fā)現(xiàn)兩種類型.

數(shù)學(xué)教育的目的除了讓學(xué)生掌握系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識外，最主要的目的是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)，形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的目標(biāo). 由發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的特征和功能可知，數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)重在發(fā)現(xiàn)過程，重在引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)，使得學(xué)生明確數(shù)學(xué)定理的來龍去脈，知之從哪里來到哪里去.在這個(gè)主動(dòng)發(fā)現(xiàn)過程中，離不開數(shù)學(xué)的抽象、推理和直觀想象，這有利于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象”、“邏輯推理”和“直觀想象”的形成和發(fā)展.因此，我們把數(shù)學(xué)的這三個(gè)核心素養(yǎng)作為定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的主要學(xué)習(xí)目標(biāo).

基于此，數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的理論基礎(chǔ)是奧蘇貝爾關(guān)于命題學(xué)習(xí)的分類理論，瞄準(zhǔn)的目標(biāo)是數(shù)學(xué)的三個(gè)學(xué)科核心素養(yǎng).因此，命題學(xué)習(xí)分類、發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)類型和三個(gè)學(xué)科核心素養(yǎng)一起構(gòu)成了數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，如下圖1所示.

圖1 數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)

2 數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的類型分析

2.1 定理的類屬發(fā)現(xiàn)

定理的類屬發(fā)現(xiàn)是指新學(xué)習(xí)的定理與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的定理之間具有類屬關(guān)系，根據(jù)這種類屬關(guān)系而獲得新定理的過程.定理的類屬發(fā)現(xiàn)具有兩種形式：派生類屬發(fā)現(xiàn)和相關(guān)類屬發(fā)現(xiàn).定理的派生類屬發(fā)現(xiàn)是指新學(xué)習(xí)的定理直接從原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有較高包容性和概括性的定理中推演出來，或者隱含在其中，也就是說新定理是由已有定理直接派生出來的.數(shù)學(xué)中定理的推論都屬于派生類屬發(fā)現(xiàn).例如“矩形的對角線互相平分”這一定理是包攝面較廣的定理“平行四邊形的對角線互相平分”的一個(gè)類屬.派生類屬發(fā)現(xiàn)是利用居于上位的一般化知識特殊化后而獲得的下位知識，即由一般到特殊.所以，定理的類屬發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)實(shí)際上是一種演繹推理的方法.因此，也可把定理的派生類屬發(fā)現(xiàn)稱為“演繹發(fā)現(xiàn)”.

定理的相關(guān)類屬發(fā)現(xiàn)是指新學(xué)習(xí)的定理屬于原有較高概括性定理，將原有定理進(jìn)行擴(kuò)展、精確化、限制或修飾而獲得新定理的過程.例如，菱形的判定定理“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”就是對原有較高概括性的平行四邊形的判定定理“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”中對角線加了“互相垂直”的限制而獲得，這時(shí)該定理的發(fā)現(xiàn)就屬于相關(guān)類屬發(fā)現(xiàn).

2.2 定理的形成發(fā)現(xiàn)

數(shù)學(xué)定理的形成發(fā)現(xiàn)是指學(xué)習(xí)者通過考察命題的特例，基于特例，然后運(yùn)用觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、比較、歸納、概括等方法而獲得數(shù)學(xué)定理的過程．定理形成發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)方式是發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)的心理過程是以辨認(rèn)、分化、猜想、驗(yàn)證、抽象、歸納、概括等為主的一系列認(rèn)知加工過程.定理形成發(fā)現(xiàn)主要有觀察實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)和歸納概括發(fā)現(xiàn)兩種.

2.2.1 觀察實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)定理

觀察是一種有計(jì)劃、有目的的特殊形態(tài)的知覺，是按照客觀事物本身存在的自然狀態(tài)，在自然條件下去研究和確定事物的特征和聯(lián)系[6].從現(xiàn)象學(xué)的角度說，觀察就是“回到事實(shí)本身”，是從不同的角度去認(rèn)識事實(shí)，從而揭示事物的本質(zhì)特征.實(shí)踐表明，決定觀察質(zhì)量的前提條件是要明確觀察的目的和任務(wù)，并在觀察的過程中聯(lián)系已有知識進(jìn)行分析、判斷與猜想.例如，在學(xué)習(xí)球的體積公式時(shí)，教師首先要讓學(xué)生明確觀察的目的和任務(wù)：探究獲取球的體積公式，接著先讓學(xué)生觀察等底、等高的圓柱體、半球和圓錐.學(xué)生通過觀察可發(fā)現(xiàn)：圓柱的體積>半球的體積>圓錐的體積，而由已知圓柱體的體積公式和圓錐的體積公式，可以發(fā)現(xiàn)(猜想)半球的體積公式，從而得出球的體積公式.又如，在學(xué)習(xí)“平面與平面平行的判定定理”時(shí)，讓學(xué)生觀察長方體模型AC′．平面ABCD內(nèi)兩條相交對角線AC，BD分別與平面A′B′C′-D′內(nèi)兩條相交對角線A′C′，B′D′平行，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知．相交直線AC，BD與平面A′B′C′D′平行，此時(shí)，平面ABCD與平面A′B′C′D′平行.再設(shè)想更一般的情況：若一個(gè)平面內(nèi)的相交二直線平行于另一個(gè)平面，而“相交直線確定一個(gè)平面”，從而聯(lián)系前面的模型通過猜想可發(fā)現(xiàn)定理：若平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一平面，則這兩個(gè)平面平行.

實(shí)驗(yàn)是所研究對象的需要，根據(jù)研究對象(現(xiàn)象)的自然狀態(tài)和發(fā)展，人為地創(chuàng)設(shè)條件，人為的將它們分成若干部分，并同其它事物(現(xiàn)象)聯(lián)系起來，以深入了解所研究對象(現(xiàn)象)的自然狀態(tài)和發(fā)展情況[7].大數(shù)學(xué)家歐拉說，數(shù)學(xué)這門科學(xué)需要觀察，也需要實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)是科學(xué)研究的基本方法之一，數(shù)學(xué)也不例外.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)就是讓學(xué)生通過自己動(dòng)手操作，進(jìn)行探究、發(fā)現(xiàn)、思考、分析、歸納等思維活動(dòng)，最后獲得對知識的形成與理解或解決問題的一種教學(xué)過程.

圖2

觀察實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)是指對所研究的對象在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上去觀察研究對象的各種情況，并同其它事物聯(lián)系起來確定事物的特征和聯(lián)系.實(shí)踐表明，觀察實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)與教師的設(shè)計(jì)和安排密切相關(guān).因此，在利用觀察實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)定理時(shí)，教師要為學(xué)生提供或者指導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)備足夠的實(shí)驗(yàn)材料，并明確觀察實(shí)驗(yàn)研究的目的和任務(wù).如，在學(xué)習(xí)探究“直線與平面垂直的判定定理”時(shí)，教師可以進(jìn)行以下實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì).請學(xué)生準(zhǔn)備如圖2所示的三角形紙片，并作如下操作：過△ABC的頂點(diǎn)A沿AD翻折后豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸).觀察折痕AD與桌面的關(guān)系，并提出思考問題：如何翻折才能使折痕與桌面所在平面α垂直？通過再次實(shí)驗(yàn)容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時(shí)，折痕所在的直線與桌面所在的平面α才垂直(圖3，圖4)．在此基礎(chǔ)上可發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的判定定理：若一直線垂直于平面內(nèi)相交二直線，則該直線與平面垂直.

圖3

圖4

2.2.2 歸納概括發(fā)現(xiàn)定理

歸納是從一類事物的部分對象具有某一屬性，而作出該類事物都具有這一屬性的一般結(jié)論的推理方法[8].歸納發(fā)現(xiàn)是從特殊到一般的思維方法.

歸納發(fā)現(xiàn)可分為完全歸納發(fā)現(xiàn)和不完全歸納發(fā)現(xiàn)兩種.完全歸納發(fā)現(xiàn)是將事物分成幾種獨(dú)立的類型，然后考察每種類型都具有某一共同的屬性，從而歸納概括獲得一般性結(jié)論的定理.例如，正弦定理的獲得是先將三角形分成直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形三種獨(dú)立的類型.再分別考察這三類都有“各邊和它所對角的正弦的比相等”這一共同屬性后通過歸納概括獲得定理：“在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦之比相等.”由于這里是在窮盡考察了三角形的所有類型后通過歸納概括而獲得的定理，因此，這里的發(fā)現(xiàn)就是完全歸納發(fā)現(xiàn).

不完全歸納發(fā)現(xiàn)，是指在研究事物的規(guī)律時(shí)，往往不能把要研究的對象按它的一切情形考察完畢，于是不得不通過對其中一部分或者若干個(gè)別情況的考察，再通過歸納猜想得出一般結(jié)論的方法.不完全歸納發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的一種重要方法，數(shù)學(xué)中的許多定理、公式、猜想都是用不完全歸納發(fā)現(xiàn)的，如著名的費(fèi)馬大定理、歐拉公式、哥德巴赫猜想等.因此，數(shù)學(xué)家拉普拉斯指出：“在數(shù)學(xué)里發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納與類比”[9]．同時(shí)，歸納發(fā)現(xiàn)不僅是數(shù)學(xué)研究的重要方法，也是學(xué)生數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的重要方法.

值得指出的是，完全歸納發(fā)現(xiàn)定理時(shí)由于窮盡了考察對象的所有情況，因此得出的結(jié)論一般都是確定無疑的，容易被學(xué)習(xí)者接受，而用不完全歸納獲得的結(jié)論不一定正確，還需要進(jìn)行邏輯證明予以確定.

2.3 定理的類比發(fā)現(xiàn)

類比是在兩個(gè)或兩類事物間進(jìn)行對比，找出若干相同或者相似點(diǎn)后，猜測在其他方面也可能存在相同或相似之處而作出某種判斷的推理方法[10].定理的類比發(fā)現(xiàn)是指在新學(xué)習(xí)的定理與學(xué)習(xí)者原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)定理具有相似和相同之處，通過比較分析找出相同或相似之處后猜測其它方面也有相似或相同之處而獲得定理的過程.類比發(fā)現(xiàn)與歸納發(fā)現(xiàn)、演繹發(fā)現(xiàn)均具有不同的特點(diǎn)，歸納發(fā)現(xiàn)是從特殊到一般，演繹發(fā)現(xiàn)是從一般到特殊，而類比發(fā)現(xiàn)則是從特殊到特殊或者一般到一般的推理.與歸納發(fā)現(xiàn)相比，類比發(fā)現(xiàn)需要更豐富的知識和想象力，包含更多的直覺成分，有利于“直觀想象”素養(yǎng)的培養(yǎng)[11].類比發(fā)現(xiàn)的關(guān)鍵是尋找合適的類比對象，并確定它們之間的相同或相似的屬性.在數(shù)學(xué)里，類比發(fā)現(xiàn)也是一種發(fā)現(xiàn)定理的主要工具．而且數(shù)學(xué)中的許多定理都是用類比發(fā)現(xiàn)獲得的．例如，立體幾何的許多定理可類比平面幾何的定理得出；在數(shù)與式之間、一維與多維之間、低次與高次之間、相等與不等之間、有限與無限之間通過類比獲得了許多相互類似的定理和運(yùn)算法則.

值得注意的是，在教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)中，類比既是發(fā)現(xiàn)定理和創(chuàng)新的重要方法，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的有效方法，還是培養(yǎng)學(xué)生的探索創(chuàng)新能力與數(shù)學(xué)推理能力、數(shù)學(xué)抽象能力等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要方法[12].