數(shù)學(xué)應(yīng)用與建模的中德比較

錢(qián)月鳳

(蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 215006)

數(shù)學(xué)應(yīng)用與建模是數(shù)學(xué)教育中一個(gè)重要的研究領(lǐng)域．ICTMA每?jī)赡昱e行一次有關(guān)數(shù)學(xué)建模的國(guó)際討論會(huì)議，在這些會(huì)議上做出的報(bào)告會(huì)發(fā)表在Springer“數(shù)學(xué)建模教與學(xué)的國(guó)際視角”專(zhuān)題．另外，ICMI也十分關(guān)注數(shù)學(xué)教育中的建模與應(yīng)用；自1976年ICME 3以來(lái)，應(yīng)用與建模的相關(guān)性進(jìn)一步加強(qiáng)．其中，德國(guó)在這一國(guó)際領(lǐng)域做出了重要貢獻(xiàn)，尤其是建模循環(huán)(Modelling Cycles)的研究十分豐富．而我國(guó)新的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將“數(shù)學(xué)建?！弊鳛榱鶄€(gè)核心素養(yǎng)之一，已于2018年正式頒布．基于這樣的國(guó)際背景與課改趨勢(shì)， 數(shù)學(xué)應(yīng)用與建模的中德比較研究很有必要.

1 課程(教育)標(biāo)準(zhǔn)

在我國(guó)，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)普遍存在于大學(xué)，而中學(xué)數(shù)學(xué)課程中建模的內(nèi)容相對(duì)較少．2001年頒布《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》后，數(shù)學(xué)建模才開(kāi)始進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)課程．而2012年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》新增“模型思想”作為十個(gè)核心概念之一，并提出：“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑．建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義”[1]．2003年，我國(guó)頒布了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》，第一次把“數(shù)學(xué)建模”作為貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容．2018年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》將“數(shù)學(xué)建?！倍x為“是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng)”，且十分詳細(xì)地對(duì)其進(jìn)行了三個(gè)水平的劃分[2].

在聯(lián)邦德國(guó)，各個(gè)聯(lián)邦州對(duì)教育享有獨(dú)立的自主權(quán)，各州都有獨(dú)立的數(shù)學(xué)課程大綱，而各州的教育質(zhì)量參差不齊．為保障教育均衡發(fā)展，2003年，德國(guó)第一次頒布全聯(lián)邦性的教育標(biāo)準(zhǔn)．在德國(guó)2003年中學(xué)數(shù)學(xué)教育標(biāo)準(zhǔn)、2004年小學(xué)數(shù)學(xué)教育標(biāo)準(zhǔn)以及2012年高等教育入學(xué)資格教育標(biāo)準(zhǔn)中，均將數(shù)學(xué)建模描述為一種能力．例如，2012年德國(guó)文化部長(zhǎng)聯(lián)席會(huì)議(KMK)針對(duì)完全中學(xué)高中畢業(yè)生頒布的《高中數(shù)學(xué)教育標(biāo)準(zhǔn)》將數(shù)學(xué)建模能力劃分為以下三個(gè)水平[3]：

水平Ⅰ：學(xué)生會(huì)用熟知的模型；會(huì)將實(shí)際情境直接轉(zhuǎn)化為某個(gè)數(shù)學(xué)模型；會(huì)根據(jù)實(shí)際情境驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)果.

水平Ⅱ：學(xué)生會(huì)進(jìn)行有一定限制條件的多步驟建模；會(huì)解釋這類(lèi)模型給出的結(jié)果；會(huì)調(diào)整數(shù)學(xué)模型以適應(yīng)不同的情境.

水平Ⅲ：學(xué)生會(huì)根據(jù)復(fù)雜實(shí)際情境模型，確定變量和條件；會(huì)檢驗(yàn)、比較和評(píng)價(jià)實(shí)際情境下的數(shù)學(xué)模型.

從以上介紹中可以看出，兩國(guó)都強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用與建模的重要性，這也符合國(guó)際數(shù)學(xué)課程改革的趨勢(shì)．我國(guó)的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)主要強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提升數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)；德國(guó)的數(shù)學(xué)教育標(biāo)準(zhǔn)則著重強(qiáng)調(diào)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.

2 建模循環(huán)

主要從“應(yīng)用觀(guān)點(diǎn)與建模視角”、“建模循環(huán)的不同描述”和“數(shù)字工具與建?！比齻€(gè)方面介紹兩國(guó)的建模循環(huán)研究.

2.1 應(yīng)用觀(guān)點(diǎn)與建模視角

數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域中有關(guān)應(yīng)用與建模的國(guó)際或國(guó)家討論大多基于不同的理論視角，從而出現(xiàn)不同傾向的應(yīng)用觀(guān)點(diǎn)與建模視角.

在我國(guó)，一般基于現(xiàn)實(shí)應(yīng)用視角，將數(shù)學(xué)建模作為問(wèn)題解決的一個(gè)重要方面．我國(guó)學(xué)者李明振和喻平指出，數(shù)學(xué)建模是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科應(yīng)用功能的重要中介和基本形式[4]．喻平強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析屬于問(wèn)題解決范疇，因此可能有包含關(guān)系之嫌，但是，問(wèn)題解決具有的性質(zhì)是數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析不能涵蓋的[5]．另外，有學(xué)者強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模不同于傳統(tǒng)解題只將焦點(diǎn)放在問(wèn)題的數(shù)學(xué)表征和數(shù)學(xué)解答上，而將焦點(diǎn)從發(fā)現(xiàn)解答改變?yōu)檗D(zhuǎn)換與詮釋情境信息，辨別潛在的問(wèn)題，建立模型，再詮釋數(shù)學(xué)解答的前提、假設(shè)與可能的誤差[6].

在德國(guó)，Blum根據(jù)應(yīng)用數(shù)學(xué)教育的目的，總結(jié)了四種應(yīng)用觀(guān)點(diǎn)[7]：

①實(shí)用主義觀(guān)點(diǎn)：數(shù)學(xué)作為特殊的應(yīng)用工具，應(yīng)該有助于學(xué)生理解和應(yīng)對(duì)各種不同的數(shù)學(xué)情境；

②形式主義觀(guān)點(diǎn)：應(yīng)用可以促進(jìn)無(wú)法立即為特殊情況提供幫助的一般技能與態(tài)度的發(fā)展；

③科學(xué)哲學(xué)觀(guān)點(diǎn)：應(yīng)用為學(xué)生提供了一個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)的整體印象；

④學(xué)習(xí)心理學(xué)觀(guān)點(diǎn)：應(yīng)用被看作是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種幫助.

21世紀(jì)初，Kaiser和Sriraman對(duì)學(xué)校數(shù)學(xué)建模的理論視角進(jìn)行了分類(lèi)[8]．隨后，不同傾向的理論視角在德國(guó)建模的討論中進(jìn)一步分化，主要有以下四種[7]：

①現(xiàn)實(shí)應(yīng)用建模(Realistic and applied modeling)：建模被看作是解決實(shí)際問(wèn)題的行為，側(cè)重于解決實(shí)際問(wèn)題、理解實(shí)際、鼓勵(lì)提高建模技能；

②教學(xué)(法)建模(Pedagogical modeling)：建模完全包含于教學(xué)，一方面鼓勵(lì)建模的學(xué)習(xí)過(guò)程，另一方面包括通過(guò)建模實(shí)例來(lái)引入并練習(xí)新的數(shù)學(xué)方法；

③社會(huì)批判建模(Socio-critical modeling)：建模旨在批判性地考查數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)在社會(huì)中的一般作用；

④認(rèn)知建模(Cognitive modeling)：注重分析和理解學(xué)生在建模問(wèn)題中發(fā)生的認(rèn)知過(guò)程.

2.2 建模循環(huán)的不同描述

基于不同的建模理論視角，研究者提出了對(duì)建模過(guò)程的不同描述，兩國(guó)研究均將建模過(guò)程視作一個(gè)循環(huán)，即建模循環(huán).

20世紀(jì)末，我國(guó)葉其孝教授就指出，數(shù)學(xué)建模是建立數(shù)學(xué)模型過(guò)程的縮略表示，數(shù)學(xué)建模的過(guò)程可用圖1中的框圖體現(xiàn)，并強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模是上述框圖多次循環(huán)執(zhí)行的過(guò)程[9]．目前，我國(guó)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出數(shù)學(xué)建?？赏ㄟ^(guò)圖2體現(xiàn)[2].

自20世紀(jì)80年代以來(lái)，德國(guó)對(duì)數(shù)學(xué)建模的關(guān)注大大加強(qiáng)．Blum的建模循環(huán)是德國(guó)最著名的建模循環(huán)[7](見(jiàn)圖3)．2005年，Blum和Lei?又一起創(chuàng)建了一個(gè)建模循環(huán)[7](見(jiàn)圖4)．該建模循環(huán)指出，個(gè)體將實(shí)際情境轉(zhuǎn)化為實(shí)際模型時(shí)，會(huì)主動(dòng)構(gòu)建對(duì)實(shí)際情境的心理表征，即情境模型.

圖1 數(shù)學(xué)建模的主要過(guò)程(葉其孝)

圖2 (中國(guó))數(shù)學(xué)建模過(guò)程

圖3 Blum的建模循環(huán)

圖4 Blum和Leiβ的建模循環(huán)

圖5 一個(gè)建模循環(huán)問(wèn)題的理想問(wèn)題解決過(guò)程

圖5是建模循環(huán)的一個(gè)例子[7]．為了計(jì)算容器中沙子的體積，首先必須簡(jiǎn)化這一問(wèn)題．例如，假設(shè)沙子均勻地分布在容器中，容器的填充水平與裝載量大致相當(dāng)；容器的材料厚度忽略不計(jì)，即認(rèn)為容器的外部尺寸和內(nèi)部尺寸相等；容器也沒(méi)有碰撞或其他不平整現(xiàn)象．之后為了將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立梯形棱柱模型，并計(jì)算該棱柱的體積，得到數(shù)學(xué)解，該解可以解釋為容器中沙子的體積．而為了驗(yàn)證解是否合理，還要將數(shù)學(xué)解應(yīng)用于實(shí)際情境進(jìn)行檢驗(yàn).

2.3 數(shù)字工具與建模

當(dāng)代數(shù)字工具(比如計(jì)算機(jī)、計(jì)算器等)的迅速發(fā)展普及，對(duì)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)產(chǎn)生了極大影響．我國(guó)和德國(guó)均注重?cái)?shù)字工具在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用.

早在20世紀(jì)末，我國(guó)學(xué)者張思明曾強(qiáng)調(diào)，計(jì)算機(jī)是數(shù)學(xué)建模的重要工具，并以中學(xué)的數(shù)學(xué)建模為例，指出計(jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)建模中具有以下重要功能：計(jì)算；數(shù)據(jù)處理；模擬；資料搜索；文字、圖像、表格的處理[10]．隨著電子計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，利用計(jì)算機(jī)工具并結(jié)合數(shù)學(xué)方法求解數(shù)學(xué)模型，已是建模循環(huán)中重要的一個(gè)步驟(見(jiàn)圖6).

圖6 數(shù)學(xué)建模的過(guò)程(張思明)

一方面，數(shù)字工具在數(shù)學(xué)建模中可執(zhí)行模擬、計(jì)算、可視化、控制和驗(yàn)證等任務(wù)．使用數(shù)字工具解決建模問(wèn)題需要兩個(gè)轉(zhuǎn)化過(guò)程：①理解并簡(jiǎn)化建模問(wèn)題，將其轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)；②數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)翻譯成計(jì)算機(jī)語(yǔ)言，計(jì)算機(jī)得出的結(jié)果轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言．這樣的轉(zhuǎn)化過(guò)程可從圖7[11]中體現(xiàn)．另一方面，計(jì)算機(jī)的不同能力又可表示為建模循環(huán)中的一系列步驟．Greefrath對(duì)Blum和Leiβ的建模循環(huán)(圖4)進(jìn)行了修改，得到圖8“建模中數(shù)字工具的可能能力”(見(jiàn)斜體)[11].

圖7 拓展的建模循環(huán)(Siller和Greefrath，2010)

圖8 建模中數(shù)字工具的可能能力

3 具體做法

主要從課程設(shè)置、教材處理、建模評(píng)價(jià)和教師培訓(xùn)四個(gè)角度介紹兩國(guó)數(shù)學(xué)應(yīng)用與建模方面的做法.

3.1 課程設(shè)置

我國(guó)和德國(guó)均沒(méi)有設(shè)置專(zhuān)門(mén)的數(shù)學(xué)建模課程．在我國(guó)，要求將數(shù)學(xué)建模的思想方法融入課堂教學(xué)，數(shù)學(xué)建模活動(dòng)很少在常規(guī)的數(shù)學(xué)課堂中進(jìn)行，比較常見(jiàn)的是以校本課程、興趣小組、論文報(bào)告、選修課及課外活動(dòng)等方式進(jìn)行．然而，有學(xué)者提出，以興趣小組的形式開(kāi)展數(shù)學(xué)建模的話(huà)，由于選擇面比較廣，很少有學(xué)生會(huì)選擇數(shù)學(xué)方面的，從而導(dǎo)致實(shí)施狀況不佳[12]．在德國(guó)，單一的建模課程以及整個(gè)建模教學(xué)單元的設(shè)計(jì)一直是其研究的重點(diǎn)．為了將數(shù)學(xué)建模課程實(shí)施到學(xué)校，德國(guó)一些大型項(xiàng)目研究(如DISUM、STRATUM、KOMMA等)致力于收集各種建模任務(wù)、設(shè)計(jì)不同建模問(wèn)題、創(chuàng)建不同目標(biāo)的教學(xué)單元等，旨在通過(guò)不同的方式研究并培養(yǎng)學(xué)生的建模能力.

3.2 教材處理

數(shù)學(xué)建模在教材中一般具有兩個(gè)基本功能：一是反映函數(shù)模型在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用；二是通過(guò)數(shù)學(xué)建模引入新的數(shù)學(xué)內(nèi)容．我國(guó)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教材設(shè)置了“綜合與實(shí)踐”欄目，包含許多與實(shí)際相關(guān)的問(wèn)題，需要教師發(fā)現(xiàn)并將其運(yùn)用于數(shù)學(xué)建模的教學(xué)．研究發(fā)現(xiàn)，高中階段的數(shù)學(xué)教材所使用的問(wèn)題大部分是應(yīng)用題性質(zhì)的問(wèn)題，已經(jīng)過(guò)加工，結(jié)構(gòu)良好，可以直接套用某種函數(shù)模型；但總體上問(wèn)題與真實(shí)情境有較大遷移距離[13]．隨著教材編制理念的多元化，課程標(biāo)準(zhǔn)的開(kāi)放及評(píng)價(jià)方式的改變，我國(guó)的數(shù)學(xué)教材在建模材料組織方式上將會(huì)有更多形式和導(dǎo)向性.

德國(guó)的數(shù)學(xué)教材一般包含許多與實(shí)際相關(guān)的例題，其背景取材傾向于社會(huì)生活實(shí)例．比如德國(guó)巴伐利亞州最新的數(shù)學(xué)課程大綱強(qiáng)調(diào)來(lái)自自然、技術(shù)以及經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的豐富例子會(huì)使學(xué)生認(rèn)識(shí)到增長(zhǎng)以及衰變過(guò)程的重大意義，建議選擇人口增長(zhǎng)或者放射性衰變等例子來(lái)認(rèn)識(shí)如何使用指數(shù)函數(shù)來(lái)模擬增長(zhǎng)或者衰變過(guò)程[14]．有研究表明，比起我國(guó)，德國(guó)教材更加強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的實(shí)用性，比如德國(guó)教材《Elememte der Mathematik 10》每章都安排了研究性的專(zhuān)題學(xué)習(xí)內(nèi)容——“關(guān)注點(diǎn)”，該部分側(cè)重于選擇一些與本章內(nèi)容有關(guān)的、跨學(xué)科的、復(fù)雜而有趣的現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)一系列的觀(guān)察、實(shí)踐等操作收集數(shù)據(jù)、建立模型，從而利用數(shù)學(xué)真正地解決實(shí)際問(wèn)題[15].

3.3 建模評(píng)價(jià)

由于建模問(wèn)題的復(fù)雜性及開(kāi)放性，建模評(píng)價(jià)需要考慮多方面的因素，其評(píng)價(jià)方式也多種多樣．我國(guó)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》強(qiáng)調(diào)，在數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的教學(xué)評(píng)價(jià)中，“應(yīng)引導(dǎo)每個(gè)學(xué)生都積極參加，可以是個(gè)體活動(dòng)，也可以是小組活動(dòng)”，“除了教師和學(xué)生，還可以邀請(qǐng)家長(zhǎng)、有關(guān)方面的專(zhuān)家，對(duì)研究報(bào)告或小論文作出評(píng)價(jià)”[2]．目前，我國(guó)的數(shù)學(xué)試卷含有應(yīng)用題，但它與真正的建模問(wèn)題并不等同．為了更好地評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的表現(xiàn)，我國(guó)部分地區(qū)開(kāi)展了數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽．1991年10月，上海市舉辦了首屆“金橋杯”中學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽(初賽)，并于翌年舉行決賽，成為我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用和建?；顒?dòng)的肇始．1997年，北京市舉辦了高中生數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽，在我國(guó)高中數(shù)學(xué)教育界產(chǎn)生了較大的影響.

基于能力的標(biāo)準(zhǔn)，德國(guó)的建模評(píng)價(jià)著重于對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的評(píng)價(jià)．目前，德國(guó)各地若干大學(xué)發(fā)起了建模實(shí)踐活動(dòng)的特殊形式：建模周或建模日，以評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果及建模能力．在建模周或建模日期間，不同年齡的學(xué)生(視特殊項(xiàng)目而定)需在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成一項(xiàng)高難度的任務(wù)．建模周通常持續(xù)一周，在校外進(jìn)行；而建模日僅需兩三天，在校內(nèi)進(jìn)行．比如自2001年以來(lái)，德國(guó)漢堡大學(xué)每年舉行兩次“建模周”活動(dòng)，約有200名來(lái)自漢堡及其周邊地區(qū)學(xué)校的高中生(16～18歲學(xué)生)參加.

在建模能力評(píng)價(jià)研究方面，我國(guó)除少數(shù)研究外(比如徐斌艷對(duì)建模能力水平的分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)[16]、徐稼紅對(duì)建模能力評(píng)價(jià)途徑和方法的闡述[17]等)，大多是教學(xué)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)、對(duì)建模能力培養(yǎng)的心得體會(huì)．相比我國(guó)，德國(guó)有關(guān)評(píng)價(jià)建模能力的研究更細(xì)化、更深入．比如，德國(guó)學(xué)者Niss和Jensen曾提出一個(gè)總體評(píng)價(jià)建模能力的幾何模型(見(jiàn)圖9)，該模型涉及三個(gè)維度的能力：覆蓋程度、行動(dòng)半徑和技術(shù)水平[18]．另外，德國(guó)還有評(píng)價(jià)教師建模能力的研究，比如Borromeo Ferri和Blum區(qū)分了五種不同的“教師建模能力”：理論導(dǎo)向的能力、任務(wù)相關(guān)的能力、教學(xué)能力、診斷能力、評(píng)價(jià)能力[7].

圖9 評(píng)價(jià)建模能力的可視化表征

3.4 教師培訓(xùn)

數(shù)學(xué)教師往往會(huì)在數(shù)學(xué)應(yīng)用與建模的教學(xué)中遇到各種障礙，因而數(shù)學(xué)應(yīng)用與建模的教師培訓(xùn)很有必要．然而，我國(guó)的教師培訓(xùn)大多以講座和網(wǎng)上培訓(xùn)的形式對(duì)所有科目的教師一起進(jìn)行培訓(xùn)，即便有單獨(dú)針對(duì)數(shù)學(xué)教師的培訓(xùn)，但以數(shù)學(xué)應(yīng)用與建模為主題的培訓(xùn)幾乎沒(méi)有.

在德國(guó)，存在以數(shù)學(xué)應(yīng)用與建模為主題的教師培訓(xùn)課程，比如在國(guó)際項(xiàng)目LEMA框架下開(kāi)發(fā)的教師培訓(xùn)課程．該課程圍繞以下四大類(lèi)別進(jìn)行設(shè)計(jì)：

①建模：為了將建模實(shí)施到課程中，教師需要與建模相關(guān)的背景信息(子類(lèi)別：建模是什么？為什么要建模？)；

②任務(wù)：設(shè)計(jì)課程時(shí)，教師需要學(xué)習(xí)如何為他們的學(xué)生選擇適當(dāng)?shù)娜蝿?wù)并預(yù)測(cè)建模結(jié)果．根據(jù)如何教授建模的相關(guān)假設(shè)，應(yīng)選擇各種各樣的任務(wù)(子類(lèi)別：任務(wù)的發(fā)現(xiàn)、任務(wù)的創(chuàng)建、任務(wù)的分類(lèi)和任務(wù)的變更)；

③課程：教師需要有關(guān)如何設(shè)計(jì)建模課程以及如何在課堂實(shí)施課程的信息(子類(lèi)別：教學(xué)方法、ICT的使用、支持建模能力的發(fā)展、通過(guò)建模聯(lián)系數(shù)學(xué)內(nèi)容)；

④評(píng)價(jià)：評(píng)價(jià)不該只為了評(píng)分，還應(yīng)用于通過(guò)反饋支持學(xué)習(xí)(子類(lèi)別：形成性評(píng)價(jià)、總結(jié)性評(píng)價(jià)和反饋)[19].

評(píng)估結(jié)果表明，就建模而言，該課程對(duì)教師的教學(xué)內(nèi)容知識(shí)和自我效能感具有較強(qiáng)的積極影響[19].

4 小結(jié)與建議

對(duì)以上介紹進(jìn)行小結(jié)：

①我國(guó)的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生的模型思想和應(yīng)用意識(shí)，提升其數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，德國(guó)的數(shù)學(xué)教育標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力；

②基于數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域的不同理論，兩國(guó)均出現(xiàn)了不同傾向的應(yīng)用觀(guān)點(diǎn)和建模視角；

③兩國(guó)都將數(shù)學(xué)建模的過(guò)程視作一個(gè)循環(huán)，且強(qiáng)調(diào)數(shù)字工具在建模循環(huán)中的作用；

④與我國(guó)相比，德國(guó)對(duì)“建模循環(huán)”的描述相對(duì)比較豐富有趣；

⑤我國(guó)和德國(guó)均沒(méi)有設(shè)置專(zhuān)門(mén)的數(shù)學(xué)建模課程；而在德國(guó)，建模課程的設(shè)計(jì)一直是其研究的重點(diǎn)；

⑥數(shù)學(xué)建模在兩國(guó)數(shù)學(xué)教材中的基本功能類(lèi)似；

⑦德國(guó)的建模評(píng)價(jià)著重于對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的評(píng)價(jià)；相比我國(guó)，德國(guó)有關(guān)建模能力評(píng)價(jià)的研究較細(xì)化、深入，且還有對(duì)“教師建模能力”評(píng)價(jià)的相關(guān)研究；

⑧我國(guó)以數(shù)學(xué)應(yīng)用與建模為主題的教師培訓(xùn)幾乎沒(méi)有，而德國(guó)有在國(guó)際項(xiàng)目框架下開(kāi)發(fā)的教師培訓(xùn)課程.

通過(guò)比較，學(xué)習(xí)德國(guó)數(shù)學(xué)應(yīng)用與建模比較好的方面，提出以下若干未來(lái)可能的研究方向及建議：

①重視數(shù)學(xué)建模能力的刻畫(huà)與評(píng)價(jià)，尤其要重視數(shù)學(xué)教師建模能力的刻畫(huà)與評(píng)價(jià)；

②豐富建模循環(huán)的理論研究；

③注重建模課程設(shè)計(jì)的大型項(xiàng)目研究；

④教材方面，可以為教師準(zhǔn)備專(zhuān)門(mén)的數(shù)學(xué)應(yīng)用與建模的材料(包括建模問(wèn)題、建模任務(wù)等)，即注重建模教材的開(kāi)發(fā)；

⑤注重建模理論與建模技能(如建模ICT技能)的結(jié)合，大力開(kāi)展以數(shù)學(xué)應(yīng)用與建模為主題的教師培訓(xùn).