《反比例的意義》教學(xué)設(shè)計與思考

浙江溫州市仰義第一小學(xué) 林志輝 許建云

教學(xué)內(nèi)容：人教版六年級下冊第47頁內(nèi)容。

教材分析：

《反比例》是人教版六年級下冊“比例”單元第五課時內(nèi)容。通過對正比例與反比例知識的學(xué)習(xí)，可以加深學(xué)生對比例的理解及對數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識，初步滲透函數(shù)思想，為今后學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ)。

新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求是通過具體情境，與學(xué)生的生活結(jié)合起來，淡化脫離現(xiàn)實背景判斷比例關(guān)系。認(rèn)識成反比例的量，能找出在生活中成反比例的實例，并進行交流。顯然，理解反比例的意義，判斷兩個量是否成反比例是本課的教學(xué)目標(biāo)，也是本課的重難點。

教學(xué)目標(biāo)：

1.在具體情境中，理解反比例的意義，并能判斷兩種量是否成反比例關(guān)系。

2.經(jīng)歷對比歸納、抽象模型的學(xué)習(xí)過程，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，初步滲透函數(shù)思想。

3.在自主探索與合作交流中獲得積極的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感體驗。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入，揭示課題

1．對比分類

師出示“前測學(xué)習(xí)單”中的4張表格：

A.用60元購買筆記本，筆記本的單價和數(shù)量如下表:

單價（元/本）數(shù)量（本）1.5 40 2 3 4 5 6 30 20 15 12 10… …

B.用60元購買筆記本，已花的錢和剩下的錢情況如下表:

已花的錢剩下的錢10 50 15 45 20 40 30 30 40 20… …

C.一輛車以同樣的速度前行，行駛的路程和時間如下表：

時間（時）路程（千米）1 2 3 4 5 90 180 270 360 450… …

D.小明讀完一本書，平均每天看的頁數(shù)和看完全書所需天數(shù)情況如下表：

平均每天看書的頁數(shù)看完全書所需的天數(shù)10 12 15 8 20 6 30 4 40 3… …

教師出示分類結(jié)果（C和A、B、D），提問：誰看明白了它是根據(jù)怎樣的變化規(guī)律來分類的？

學(xué)生根據(jù)分類結(jié)果反推分類標(biāo)準(zhǔn)。

（設(shè)計意圖：（1）觀察表格中的兩個量，發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律，滲透函數(shù)思想。（2）給表格分分類，在分類中倒逼學(xué)生思考分類的標(biāo)準(zhǔn)，從中解讀出增減變化趨勢。（3）學(xué)習(xí)單里的素材貫穿本節(jié)課始終，更好體現(xiàn)了結(jié)合學(xué)生熟悉的具體情境這一教學(xué)目標(biāo)）

2．復(fù)習(xí)正比例

教師提問：表格C中的兩個量之間成什么關(guān)系呢？怎樣的兩個量成正比例關(guān)系？

追問：你能想象出它的圖像是什么形狀嗎？教師運用幾何畫板演示正比例的圖像。

（設(shè)計意圖：結(jié)合具體情境，組織學(xué)生復(fù)習(xí)正比例的意義和判斷方法。通過學(xué)生對原有正比例知識的喚醒，加強解讀不變的量、變化趨勢、函數(shù)圖像。通過結(jié)合幾何畫板演示正比例的函數(shù)圖像，再次感受一增一減的變化趨勢）

3．出示課題

師：表C中的兩個量成正比例關(guān)系，一個量增加，另一個也增加；而表格A、B、D中的兩個量，一個量增加，另一個量反而減少，那它們之間成什么關(guān)系呢？

學(xué)生猜測，教師出示課題：反比例。

二、構(gòu)建概念理解模型

1．自學(xué)反比例

本報訊近日，晉煤金石化工投資集團有限公司成立扭虧脫困項目部，重點推進“系統(tǒng)提取LNG、節(jié)能升級改造”等多個項目。

學(xué)生帶著“如何判斷兩個量是否成反比例關(guān)系”這個核心問題進行自學(xué)。

2．對比判斷

教師組織學(xué)生匯報自學(xué)情況，判斷表A、B、D三張表格中的兩個量是否成反比例關(guān)系。

（1）立。師：表A中的兩個量是否成反比例關(guān)系？學(xué)生先獨立思考，再同桌交流。

師小結(jié)：像這樣單價增加，數(shù)量減少，總價一定，這兩個量就成反比例關(guān)系。

（2）破。師：表B中，總價也是一定的，都是60元，教師判斷這兩個量是否成反比例關(guān)系，同意的請舉手。

預(yù)設(shè)此時大部分學(xué)生先會舉手贊同，慢慢地學(xué)生存在質(zhì)疑，然后在辨析中明理。

師小結(jié)：已花的錢+剩下的錢=總價（一定），和一定，不是乘積一定，所以不成反比例。

（3）立。師：那我們來觀察表D，表中的兩個量到底成不成反比例關(guān)系呢？

學(xué)生回答，落實反比例的判斷方法。

小結(jié)：每天看的頁數(shù)×所需天數(shù)=總頁數(shù)（一定），成反比例關(guān)系。

（設(shè)計意圖：在“立—破—立”的過程中，學(xué)生構(gòu)建反比例概念理解模型。在破與立的思維碰撞中激發(fā)學(xué)生的興趣，多角度、立體式的感知、觸摸反比例的本質(zhì)）

3．對比歸納

師：通過剛才的學(xué)習(xí)，你能用自己的話來說說，怎樣的兩個量成反比例關(guān)系？

學(xué)生通過對A、B、D三張表格進行對比，用自己的語言概括歸納反比例的意義。

小結(jié)：一個量增加，另一個量反而減少，它們的乘積一定，這兩個量成反比例關(guān)系。用字母表示：xy=k（一定）。

（設(shè)計意圖：對比三個表格中兩個量的變化規(guī)律，用自己的話來說一說怎樣的兩個量成反比例關(guān)系。不同的學(xué)生有不同的表達形式，可以是具體直觀的數(shù)據(jù)說明，可以是半抽象的增減趨勢，還可以是抽象的表達形式，引導(dǎo)學(xué)生從直觀到抽象，構(gòu)建反比例的意義）

三、構(gòu)建函數(shù)圖像模型

1．出示圖1

師：誰能快速地判斷表中的兩個量成反比例關(guān)系？

追問：那成反比例的兩個量的圖像是什么形狀呢？（教師利用幾何畫板動態(tài)演示反比例的圖像）

師：當(dāng)時間是1小時，速度是？

生：240米/小時。

師：當(dāng)時間是2小時，速度是？

生：120米/小時。

師：當(dāng)時間是3小時，速度是？

生：80米/小時。

師：時間越來越大，速度？

生：越來越慢。

師：感受到了嗎？在變化的過程中有一個量始終保持不變，是哪個量？

生：路程。

師：那你在圖像上能找到嗎？

生：反比例圖像上黃色部分的面積始終是240，保持不變。

師生小結(jié)：像這樣一個量增加，另一個量減少，而它們的乘積始終保持不變，我們就說這兩個量成反比例關(guān)系。

圖1

（設(shè)計意圖：反比例的教學(xué)都是從具體問題情境入手的，也就是從特殊到一般學(xué)習(xí)反比例問題，但問題情境千差萬別，容易干擾學(xué)生的注意力，而反比例的圖像表征卻始終保持了一致性，對學(xué)生理解反比例的本質(zhì)起著“直擊要害”的作用）

2．對比辨析

師：同樣都是速度、時間、路程，為什么左邊的兩個量成反比例關(guān)系，而右邊的兩個量成正比例關(guān)系呢？（圖2）

圖2

追問 ：那如果時間一定，路程和速度之間成什么比例？

（設(shè)計意圖：結(jié)合正反比例的表格、圖像、數(shù)量關(guān)系式等，在速度、時間、路程這個具體情境中更深入地去思考正反比例的異同點。在辨析的過程中加深對反比例的意義的理解，掌握判斷反比例的方法）

四、構(gòu)建練習(xí)推進模型

1．生活的例子

預(yù)設(shè)學(xué)生舉例：大米的總重量一定，每袋大米的重量和袋數(shù)成反比例；長方形的面積一定，長和寬成反比例等。

2．拓展提升

判斷：下面兩個量是否成反比例關(guān)系？并說明理由。

A.一個數(shù)和它的倒數(shù)。（成反比例關(guān)系）

B.圓的周長一定，圓的半徑和圓周率。（不成比例）

C.房間的面積一定，正方形地磚邊長和塊數(shù)。（不成比例）

學(xué)生先手勢判斷，再說明理由。

師：房間的面積一定，正方形地磚邊長和塊數(shù)，成反比例關(guān)系嗎？手勢判斷。

師請判斷認(rèn)為成反比例關(guān)系的學(xué)生說明理由。

生1：地磚的邊長增加，地磚的塊數(shù)就會減少，房間的面積始終不變，所以地磚的邊長和塊數(shù)成反比例關(guān)系。

師：誰不贊成他的觀點？

生2：房間的面積一定，應(yīng)該是地磚的面積×塊數(shù)=房間的面積，而不是地磚的邊長乘塊數(shù)，所以不成反比例。

生1：假如房間的面積是64平方米，地磚的邊長擴大2倍，那么塊數(shù)就要縮小1/2。

師：剛才這位同學(xué)借助表格來說明，那老師就把這個表格拿出來。（師出示表格）

房間的面積一定，正方形地磚邊長和塊數(shù)。

地磚邊長/cm所需的塊數(shù)/塊20 400 40 100 50 64 80 25… …

生1：它們不成反比例關(guān)系。地磚的邊長和塊數(shù)的乘積不一定。

師：請問哪個量是一定的？

生：房間的面積。

師：房間的面積不變，直接相關(guān)聯(lián)的是哪兩個量？

生：地磚的面積和塊數(shù)。

（師出示表格）

房間的面積一定，正方形地磚面積和塊數(shù)。

地磚面積/cm2所需的塊數(shù)/塊400 400 1600 100 2500 64 6400 25… …

生：實際上地磚的面積和塊數(shù)成反比例關(guān)系。

小結(jié)：成反比例關(guān)系的兩個量，一個量增加，另一個量減少，而這兩個量的乘積是一定的。

（設(shè)計意圖：拋出問題，不局限學(xué)生的思維，通過思維的逐層推進，借助抽象的表格再現(xiàn)學(xué)生的思維路徑，從而提升思維水平，構(gòu)建練習(xí)推進模型）

五、構(gòu)建課堂教學(xué)模型

回顧：今天這節(jié)課我們是怎么學(xué)習(xí)的？

學(xué)生靜靜感受這節(jié)課中滲透的數(shù)學(xué)方法。（對比分類，對比判斷，對比歸納，對比辨析）

（設(shè)計意圖：最后在課堂回顧時，我們著重突出對學(xué)習(xí)方法的滲透。讓學(xué)生感受到在整堂課的學(xué)習(xí)中，始終貫穿著對比分析的研究方法。這樣同中求異、異中求同，將對比分析的學(xué)習(xí)方法從這一課的學(xué)習(xí)推向一類課的學(xué)習(xí)，它既是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一種模型，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一種模型）?