高職“邏輯函數(shù)化簡”教學手記

【摘要】高職院校邏輯函數(shù)化簡的教學，是個難點。如果在教學中注意循循善誘，引導學生積極參與適時總結(jié)，將會收到滿意的教學效果。

【關鍵詞】常用運算律；一題多解；卡諾圖

邏輯函數(shù)化簡的意義是節(jié)省集成電路數(shù)目，焊接點減少，還可大大提高電路的可靠性。

在實際問題中，往往首先將電路化簡成最簡與或式，用代數(shù)法化簡的過程中，還常用到普通代數(shù)的提取公因式法、分組法、去括號法等，有時還根據(jù)需要利用公式進行添加項后，再進行分組化簡。在邏輯運算基本公式中，我們應當牢記以下幾個常用結(jié)論。

①零律1+A=1，O·A=O。

②冪等律A+A=A，A·A=A。

③排中律和矛盾律。

④D·摩根律。

⑤兩個吸收律A+AB=A+B，AB+AC+BC=AB+AC。

例化簡F=AB+C+ACD+BCD

解一F=AB+C+C（A+B）D（提取公因式）

=AB+C+（A+B）D（吸收律）

=AB+ABD+C（反演律）

=AB+D+C（吸收律）

解二F=（AB+ACD+BCD）+BCD+C（吸收律）

=AB+CD+C（提取公因式）

=AB+D+C（吸收律）

解三F=AB+（C+ACD）+（C+BCD）

=AB+C+AD+C+BD（吸收律）

=（AB+AD+BD）+C+BD（吸收律）

=AB+AD+D+C（提取公因式）

=AB+D+C（提取公因式）

由上述例題看出，代數(shù)法化簡邏輯函數(shù)，既需要牢記一些公式，又帶有技巧性，掌握起來比較困難，但作為數(shù)字電路化簡的一個基本工具，還是應該掌握一些常用的代數(shù)化簡法。對多變量函數(shù)的化簡，相對代數(shù)化簡法，卡諾圖法要容易得多。

我們知道，凡兩個邏輯相鄰項可合并成一項，按照這個規(guī)律，可以把邏輯函數(shù)中的各個最小項用圖形表示出來，這種圖就叫卡諾圖。需要強調(diào)的是，為了符合相鄰原則，兩個邏輯變元（或其否定）的乘積的排列順序必須是00、01、11、10，這樣排列就保證了縱橫相鄰小方格里的最小項都是相鄰的。

因為卡諾圖的每一個小方格都唯一地對應一個最小項，所以要用卡諾圖來表示某邏輯函數(shù)，應該先將函數(shù)表達式化成最小項之和（主析取范式）。這比較麻煩。如果函數(shù)表達式已經(jīng)是析取范式，則可以快速填寫卡諾圖。

例填寫函數(shù)F=A·B+AC+BC+B·C·D的卡諾圖。

解由變量及知道，這是一個四變元函數(shù)。

由第一項A·B知道，它與C、D無關，可以寫作A·Bxx，在對應A·B=00的所有小格內(nèi)（第一行四個小方格）填入1。由第二項AC知道，它與B、D無關，可以寫作A×c×，即在所有既符合A=1又符合C=1的格內(nèi)填入1即可，即在下邊兩行（11、10行）符合A=1，右邊兩列（11、10列）符合C=1，因而應在右下角這兩行和兩列交叉的四個格內(nèi)填入1。

由第三項BC知道，它與A、D無關，可以寫作×BC×，在既符合B=1（01、11兩行）又符合C=1（11、10兩列）的交叉方格內(nèi)填入1即可。由第四項B·C·D知道，它與A無關，可以寫作×B·C·D，在卡諾圖中0000格和1000格內(nèi)填入1即可。至此可得到函數(shù)F的卡諾圖。剩下未填入1的格內(nèi)應為。，這里省去是為了使卡諾圖更加清晰。

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的一般步驟：

①確定變元的個數(shù)，畫出相應的卡諾圖，并把函數(shù)F表達式中的相應項填入1，其余小方格內(nèi)填入。或者省去不填。

②對卡諾圖中有“1”的方格畫相鄰區(qū)域圈，畫圈時要按2、4、8、16格為單位，遵循的原則是：圈越大越好，這樣各與項中所含變元就越少；圈的總數(shù)越少越好，與項的項數(shù)就越少。

③將每個圈中的公有變元因子找出來，得到對應的“與”項，并把各個圈得到的與項相加（或）起來，便得到化簡后的最簡與或表達式（主析取范式）。

具體操作時，要特別注意四角相鄰、左列與右列相鄰、頂行與底行相鄰。首先將與其他任何“1”方格都不相鄰的孤立“1”方格單獨圈出來；其次找出那些僅與另一個“1”方格唯一相鄰的"1”方格，將它們兩兩相圈組成含有兩個“1”方格的相鄰區(qū)域；最后，再依次將含有四個“1”方格、八個“1”方格的相鄰區(qū)域畫出來。

在畫相鄰區(qū)域時，有些“1”方格可以被多個圈公用，這種區(qū)域間的重疊現(xiàn)象是允許的，但每個圈中必須含有至少一個新“1”，即別的圈中都未包含進去的1。這樣做，就可以避免在化簡后的函數(shù)中出現(xiàn)多余項，使化簡后的與或表達式為最簡形式（主析取范式）。 例化簡F=∑（0，1，2，3，4，5，6，8，9，10，11，12，13，14）

解這是個四變元函數(shù)，其卡諾圖如圖所示。可畫出三個圈分別如圖（a）、（b）、（c）所示，仔細檢查，每個圈中都包含有至少一個其他兩個圈未包括進去的新1，故沒有多余的圈。

圖（a）圈中八個最小項的公共部分為D；圖（b）圈中八個最小項的公共部分為C；圖（c）圈中八個最小項的公共部分為B，因而該函數(shù)化簡結(jié)果為F=B+C+D。

參考文獻：

[1]王信峰.計算機數(shù)學基礎[M].高等教育出版社，2009.

[2]許智勇.如何讓高職數(shù)學課生動起來[J].河南教育旬刊，2011（6）.