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    讓數(shù)學建模更接地氣

    2018-11-26 09:46張衛(wèi)星
    內(nèi)蒙古教育·綜合版 2018年9期
    關鍵詞:邊形多邊形內(nèi)角

    張衛(wèi)星

    數(shù)學模型是對某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量依存關系概括或近似表述的數(shù)學關系結(jié)構,是相應系統(tǒng)中各變量及其相互關系的數(shù)學表達。數(shù)學中的各種概念、公式和理論是由現(xiàn)實世界的原型抽象出來的數(shù)學結(jié)構,實質(zhì)上都是數(shù)學模型。在日常數(shù)學教學中,教師適時創(chuàng)設建模機會,讓學生參與建模的全過程,可以讓學生的思維更凝練,方法更精準,從而達到“一例帶一串”的教學目的,為大面積提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)奠定基礎。但兒童畢竟是兒童,如果數(shù)學模型太復雜或者建構過程太抽象,那么,學生就很難理解模型的來龍去脈。因此,作為數(shù)學教師一定要靜下心來精心設計建模過程,力求讓建模適合學生的認知水平,讓數(shù)學模型能被大多數(shù)學生理解。唯有這樣,數(shù)學建模才接地氣。

    【案例呈現(xiàn)】

    在學生探索出三角形、四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和之后,筆者順勢把板書補充完整(如表1)。在此基礎上,筆者及時引導學生反思,和他們一起經(jīng)歷如下的教學片斷:

    師:看了這個板書,你們有什么發(fā)現(xiàn)?

    生1:圖形每增加一條邊,圖形內(nèi)角和就增加180°。

    生2:圖形每增加一條邊,包含的三角形個數(shù)就增加1個。

    生3:圖形每增加一條邊,包含的三角形個數(shù)就增加1個,內(nèi)角和就增加180°。

    師:嗯!你們的眼睛真亮!按照你們剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,如果是七邊形,那么,包含的三角形個數(shù)及內(nèi)角和又是多少呢?

    生:如果是七邊形,應該包含5個△,內(nèi)角和是900°。(先課件驗證,然后在板書下面添加)

    師:如果是八邊形呢?

    生:如果是八邊形,應該包含6個△,內(nèi)角和是1080°。(師繼續(xù)添加板書)

    師:如果是九邊形呢?

    生:如果是九邊形,應該包含7個△,內(nèi)角和是1260°。(師繼續(xù)添加板書)

    師:如果是十二邊形呢?

    生:如果是十二邊形,應該包含10個△,內(nèi)角和是1800°。(師繼續(xù)添加板書)

    師:如果是二十二邊形呢?

    生:如果是二十二邊形,應該包含20個△,內(nèi)角和是3600°。(師繼續(xù)添加板書)

    師:你們真聰明!再看看圖形的邊數(shù)和包含的三角形個數(shù)之間有什么關系?

    生1:我發(fā)現(xiàn)包含的三角形個數(shù)都比圖形的邊數(shù)少2。

    生2:我發(fā)現(xiàn)圖形的邊數(shù)都比包含的三角形個數(shù)多2。

    生3:我發(fā)現(xiàn)“圖形的邊數(shù)-包含的三角形個數(shù)=2”。

    師:圖形的邊數(shù)-包含的三角形個數(shù)=2,是真的嗎?請大家根據(jù)板書驗證一下。

    (不一會兒,學生紛紛表示同意)

    師:剛才的結(jié)論經(jīng)過驗證果然是正確的!請大家再看一下,包含的三角形個數(shù)和內(nèi)角和之間又有什么關系?

    生:三角形的個數(shù)×180°=內(nèi)角和。

    師:真的嗎?再驗證一下?。▽W生一驗證,發(fā)現(xiàn)結(jié)論是成立的)

    師:那現(xiàn)在我要考考大家了,看看誰算得又對又快?請大家準備好筆和紙。

    師:如果是三十邊形,有幾個三角形?內(nèi)角和是多少?(不一會兒,有學生舉手發(fā)言)

    生:30-2=28(個),28×180°=5040°。(添加板書)

    師:嗯!速度真快!如果是一百零二邊形呢?(同樣,不一會兒,大家紛紛舉手)

    生:102-2=100(個),100×180°=18000°。(添加板書)

    師:真厲害!如果是N邊形呢?(一個男生把小手舉得高高的)

    生:應該是(N-2)個,內(nèi)角和是(N-2)×180°。(其他同學先是一愣,馬上回過神來,并報以熱烈的掌聲,筆者趁勢添加板書,完整板書,如表2)

    師:四(2)班的同學真棒!現(xiàn)在請你們大聲地說出如何求N邊形的內(nèi)角和?

    生:N邊形的內(nèi)角和=(N-2)×180°。

    【教后反思】

    “多邊形內(nèi)角和”是人教版四年級數(shù)學下冊的內(nèi)容,其字母公式是學生求多邊形內(nèi)角和的最好依據(jù),在實際教學中,教師理應引導學生參與這一模型的建立。如果學生參與這一模型的建立,那么后續(xù)教學就會變得更容易。那么,如何讓這一模型建立接近學生實際,如何讓模型建立更接地氣呢?結(jié)合上述案例,筆者認為應做到以下幾點:

    1.建模要果斷

    教材在新課編排中沒有涉及“多邊形內(nèi)角和”字母公式的建立,但在接下來的“練習十六”中卻有意引導學生發(fā)現(xiàn)并建立這一模型。筆者認為,新課教學中的“做一做”已經(jīng)觸及到六邊形的內(nèi)角和,再稍微拓展一下就能較好地建立這一模型。事實表明,在新課教學中,應果斷引導學生建立這一模型,大部分學生能夠理解,實際效果比預想的還要好??梢姡瑪?shù)學模型的建立時機要根據(jù)實際情況靈活選擇,該果斷的時候就要果斷。唯有果斷,才能事半功倍。

    2.建模要充實

    數(shù)學建模的實質(zhì)是歸納與提煉的過程,而歸納與提煉需要足夠的例子來支撐。因此,教師在實際建模教學中要為學生提供一定量的例子。只有例子達到一定的量,學生才有充分感悟的時間和空間,從而使大部分的學生都能自己感悟數(shù)學模型的由來。為此,在上述“多邊形內(nèi)角和”最終模型得出之前,筆者和學生一起經(jīng)歷了11個多邊形內(nèi)角和的求解過程,同時將這些結(jié)論都在黑板上板書出來(如表2),從而有利于學生的歸納與提煉。如果再仔細分析,我們又會發(fā)現(xiàn)這11個多邊形內(nèi)角和的求解過程實際上分成三個層次。第一層次,即三角形到六邊形的內(nèi)角和是認真探究的過程,是新課的主體,也是教學的重點;第二層次,即七邊形到二十二邊形,這個過程是引導學生根據(jù)第一層次的經(jīng)驗主動拓展、提煉模型的過程,經(jīng)過這個過程,讓學生感受到圖形邊數(shù)與包含的三角形個數(shù)及內(nèi)角和之間的初步關系;第三層次,即三十邊形和一百零二邊形,這個過程是對“多邊形內(nèi)角和”初步模型的驗證及使用。通過這三個層次的探究,學生感受豐富,所以最終數(shù)學模型——N邊形的內(nèi)角和公式也就水到渠成了。

    3.建模要貼近

    數(shù)學建模一定要貼近學生的認知水平。只有貼近學生的實際,數(shù)學建模才有實效。筆者認為要達到這個目的,首先,要做到語言兒童化。只有這樣才能吸引學生主動參與建模過程。如在上述“多邊形內(nèi)角和”教學中,筆者努力讓問題兒童化,如“看了這個板書,你們有什么發(fā)現(xiàn)?”“嗯!你們的眼睛真亮!按照你們剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,如果是七邊形,那么,包含的三角形個數(shù)及內(nèi)角和又是多少呢?”“圖形的邊數(shù)-包含的三角形個數(shù)=2,是真的嗎?請大家根據(jù)板書驗證一下。”這些問題能引起學生的共鳴,能引起學生的響應,從而數(shù)學建模走向深入。其次,問題要精準。學生建模的過程就是學生探究的過程,而學生的探究需要精準的指向。因此,在引導學生建模的過程中,問題的指向性就顯得尤為重要?!岸噙呅蔚膬?nèi)角和”的模型建構既需要發(fā)散性的問題,但也需要指向精準的問題。筆者在發(fā)散性提問后,下述幾個問題的指向就非常精準——“你們真聰明!再看看圖形的邊數(shù)和包含的三角形個數(shù)之間有什么關系?”“請大家再看一下,包含的三角形個數(shù)和內(nèi)角和之間又有什么關系?”“如果是三十邊形,有幾個三角形?內(nèi)角和是多少?”當問題精準了,學生的思維指向就更精準,效率就更高了。

    可見,建模要貼近學生的實際認知水平是數(shù)學教學的必然要求。

    4.建模要精煉

    數(shù)學模型是數(shù)學歸納與提煉的結(jié)果,這個結(jié)果既應該是相應年級的學生能夠理解的,又應該是比較精煉的。事實上,數(shù)學模型精煉不精煉體現(xiàn)了教師鉆研教材的力度和深度,當教師研讀教材準確了,其預設的數(shù)學模型肯定是簡潔易懂的,如上述“多邊形內(nèi)角和”的模型。如果教師研讀教材不到位,其數(shù)學模型就可能比較煩瑣或模棱兩可,弄不好還會把學生搞糊涂。因此,筆者認為,一線教師要靜下心來仔細揣摩教材,認真梳理原有的教學經(jīng)驗,虛心向有經(jīng)驗的教師請教,力求引導學生建立一個簡潔、精煉、易懂的數(shù)學模型。唯有這樣,才能便于學生理解,便于學生識記。

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