走進(jìn)教材 追溯源頭

范大陽

【教材重現(xiàn)】蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級上冊第三章第一節(jié)“平均數(shù)”第二課時（99～100頁）.

問題1：為了解某市九年級學(xué)生開展“綜合與實踐”活動的情況，抽樣調(diào)查了該市200名九年級學(xué)生上學(xué)期參加“綜合與實踐”活動的天數(shù)，并根據(jù)調(diào)查所得的數(shù)據(jù)繪制條形統(tǒng)計圖（圖1）如下：

圖1

求這200名學(xué)生參加“綜合與實踐”活動的平均天數(shù).

小麗的算式為：

你認(rèn)為上述兩種算法哪一個正確？為什么？

這200名學(xué)生參加“綜合與實踐”活動的平均天數(shù)，不僅與參加活動的天數(shù)有關(guān)，還與相應(yīng)的人數(shù)有關(guān)，因此小麗的算法是正確的.

這里的人數(shù)10，30，60，50，50分別是天數(shù)2，3，4，5，6的“權(quán)”.那什么叫做“權(quán)”呢？

一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，不僅與這組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)的值有關(guān)，而且與各個數(shù)據(jù)的“重要程度”有關(guān).我們把衡量各個數(shù)據(jù)“重要程度”的數(shù)值叫做“權(quán)”.這樣算出來的平均數(shù)4.5就是數(shù)2，3，4，5，6的“加權(quán)平均數(shù)”.

由“問題1”而產(chǎn)生的變式問題在各地中考中極其常見，下面就讓我們一起去探究吧.

例1為迎接“六一”兒童節(jié)的到來，某校學(xué)生參加獻(xiàn)愛心捐款活動，隨機(jī)抽取該校部分學(xué)生的捐款數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計分析，相應(yīng)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖（圖2）如下:

圖2

（1）該樣本的容量是_______，樣本中捐款15元的學(xué)生有________人.

（2）若該校一共有500名學(xué)生，據(jù)此樣本估計該校學(xué)生的捐款總數(shù).

【解析】（1）50，10.

（2）樣本中平均每人的捐款數(shù)為：

所以9.5×500=4750（元）.

這里的15，25，10分別是捐款數(shù)5，10，15的“權(quán)”，9.5就是5，10，15的“加權(quán)平均數(shù)”.

關(guān)于這種統(tǒng)計圖的題目還有很多，下面我們再看一例.

例2為了解某種電動汽車的性能，對這種電動汽車進(jìn)行了抽檢，將一次充電后行駛的里程數(shù)分為A，B，C，D4個等級，其中相應(yīng)等級的里程依次為200千米，210千米，220千米，230千米，獲得如下不完整的統(tǒng)計圖（圖3）.

圖3

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）問這次被抽檢的電動汽車共有幾輛？并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖.

（2）估計這種電動汽車一次充電后行駛的平均里程數(shù)為多少千米？

本題考點：條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、加權(quán)平均數(shù).

【解析】（1）具體過程略.共有100輛電動汽車被抽檢，補(bǔ)全統(tǒng)計圖如圖（圖4）所示：

圖4

這里的10，30，40，20分別是里程數(shù)200，210，220，230的“權(quán)”，217就是200，210，220，230的“加權(quán)平均數(shù)”.

【總結(jié)】看了這兩道題目之后，不知同學(xué)們是否發(fā)現(xiàn)了規(guī)律.這類求平均數(shù)的問題，分母總是權(quán)數(shù)的和，分子是各個項目的權(quán)與代表該項目的具體數(shù)值的乘積的和.同學(xué)們，你們發(fā)現(xiàn)了嗎？

當(dāng)然，這類問題不止是以統(tǒng)計圖的形式出現(xiàn)，還有以表格的形式出現(xiàn)，我們再看一例.

例3貴陽市“陽光小區(qū)”開展“節(jié)約用水，從我做起”的活動，一個月后，社區(qū)居委會從小區(qū)住戶中抽取10個家庭與他們上月的用水量進(jìn)行比較，統(tǒng)計出節(jié)水情況如下表：

節(jié)水量（m2）0.3 0.4 0.5 0.6 0.7家庭數(shù)（個）2 2 4 1 1

那么這10個家庭的節(jié)水量（m2）的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）.

A.0.47和0.5 B.0.5和0.5

C.0.47和4 D.0.5和4

【解析】這10個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：

處于中間的兩個數(shù)的平均數(shù)是0.5.故選：A.

這里的2，2，4，1，1分別是節(jié)水量0.3，0.4，0.5，0.6，0.7的“權(quán)”，0.47就是0.3，0.4，0.5，0.6，0.7的“加權(quán)平均數(shù)”.