中考概率題型梳理

王 磊

同學(xué)們，“等可能條件下的概率”是中考中常見的考查內(nèi)容，其考試題型包含選擇、填空和解答題.課標(biāo)對(duì)此部分的要求較為基礎(chǔ)，所以題目難度不大，但要能獲得全部分?jǐn)?shù)，還是需要十分的仔細(xì)和認(rèn)真.下面讓我們通過(guò)幾個(gè)例子，了解一下概率問(wèn)題在中考中的常見類型.

一、面積問(wèn)題

例1 （2018·江蘇常州）中華文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng).下圖是中國(guó)古代文化符號(hào)的太極圖，圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于圓心中心對(duì)稱.在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取黑色部分的概率是 .

【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，得到圓中的黑色部分和白色部分面積相等，所以此點(diǎn)取黑色部分和白色部分的概率相等.

【解答】∵圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于圓心中心對(duì)稱，

∴圓中的黑色部分和白色部分面積相等，

【點(diǎn)評(píng)】本題利用面積估計(jì)概率，結(jié)合生活中常見的圖形，滲透了一定的人文教育價(jià)值.掌握中心對(duì)稱圖形的知識(shí)，理解概率估測(cè)方法是解題的關(guān)鍵.

二、角度問(wèn)題

例2 （2018·江蘇連云港）如圖，任意轉(zhuǎn)動(dòng)正六邊形轉(zhuǎn)盤一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針指向大于3的數(shù)的概率是（ ）.

【分析】指針指向結(jié)果有1，2，3，4，5，6共6種情況，其中大于3的情況有4，5，6三種情況，∴P（指針指向大于3的數(shù)）=.

【解答】D.

【點(diǎn)評(píng)】本題從形式上看，是通過(guò)數(shù)數(shù)字來(lái)解決問(wèn)題，但其背后的原理是：正六邊形的每條邊對(duì)應(yīng)的中心角都相等，故指針轉(zhuǎn)到每個(gè)區(qū)域的概率都相等.中考中，這樣類型的題目還有很多，例如轉(zhuǎn)盤問(wèn)題也是利用類似的幾何原理設(shè)計(jì)的.

三、摸球問(wèn)題

例3 （2018·江蘇南京）甲口袋中有2個(gè)白球、1個(gè)紅球，乙口袋中有1個(gè)白球、1個(gè)紅球，這些球除顏色外無(wú)其他差別.分別從每個(gè)口袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球.

（1）求摸出的2個(gè)球都是白球的概率.

（2）下列事件中，概率最大的是 .

A.摸出的2個(gè)球顏色相同

B.摸出的2個(gè)球顏色不相同

C.摸出的2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球

D.摸出的2個(gè)球中至少有1個(gè)白球

【分析】（1）先畫出樹狀圖展示所有6種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出2個(gè)球都是白球所占的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.

（2）根據(jù)概率公式分別計(jì)算出每種情況的概率，然后即可得出答案.

【解答】（1）畫樹狀圖如下：

由樹狀圖知，共有6種等可能結(jié)果，其中摸出的2個(gè)球都是白球的有2種結(jié)果，所以摸出的2個(gè)球都是白球的概率為.

∴概率最大的是摸出的2個(gè)球中至少有1個(gè)白球.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了用列表法與樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，適合兩步完成的事件；樹狀圖法適用于兩步或兩步以上完成的事件.解題時(shí)還要注意，是放回試驗(yàn)，還是不放回試驗(yàn).要熟練掌握某一事件發(fā)生的概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，結(jié)果要化為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù).

四、綜合問(wèn)題

例4 （2018·內(nèi)蒙古通遼）為提升學(xué)生的藝術(shù)素養(yǎng)，學(xué)校計(jì)劃開設(shè)4門藝術(shù)選修課：A.書法；B.繪畫；C.樂(lè)器；D.舞蹈.為了解學(xué)生對(duì)4門功課的喜歡情況，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取若干名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查（每個(gè)被調(diào)查的學(xué)生必須選擇而且只能選擇其中一門）.將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)結(jié)合圖中所給信息解答下列問(wèn)題：

（1）本次調(diào)查的學(xué)生共有多少人？扇形統(tǒng)計(jì)圖中∠α的度數(shù)是多少？

（2）請(qǐng)把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.

學(xué)生選修課程條形統(tǒng)計(jì)圖

（3）學(xué)校為舉辦2018年度校園文化藝術(shù)節(jié)，決定從書法（A）、繪畫（B）、樂(lè)器（C）、舞蹈（D）4項(xiàng)藝術(shù)形式中選擇其中兩項(xiàng)組成一個(gè)新的節(jié)目形式，請(qǐng)用列表法或樹狀圖求出選中書法與樂(lè)器組合在一起的概率.

【分析】（1）用選A科目人數(shù)除以其對(duì)應(yīng)的百分比可得總?cè)藬?shù)，用360°乘C對(duì)應(yīng)的百分比可得∠α的度數(shù).

（2）用總?cè)藬?shù)乘C科目對(duì)應(yīng)的百分比即可得出選C科目的人數(shù)，從而補(bǔ)全圖形.

（3）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出恰好是“書法”“樂(lè)器”的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.

【解答】（1）本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為：4÷10%=40（人），∠α=360°×（1-10%-20%-40%）=108°.

（2）選C科目人數(shù)為：40×（1-10%-20%-40%）=12（人），補(bǔ)全圖形如下：

學(xué)生選修課程條形統(tǒng)計(jì)圖

（3）畫樹狀圖為：

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中恰好是書法與樂(lè)器組合在一起的結(jié)果數(shù)為2，所以書法與樂(lè)器組合在一起的概率為

【點(diǎn)評(píng)】本題是一道綜合類問(wèn)題，考查內(nèi)容包括：概率與統(tǒng)計(jì)、幾何計(jì)算、圖形繪制等，當(dāng)然閱讀量也比較大，綜合性較強(qiáng)，難度較大，也是近些年中考中常見的考查形式.同學(xué)們?cè)诮鉀Q這類問(wèn)題的時(shí)候，一定要耐心和細(xì)致.