利用概率解決“游戲是否公平”類問題

楊 波

判斷游戲公平與否，關(guān)鍵是根據(jù)規(guī)則用“樹狀圖”或者“列表法”算出各自的概率，概率均等，則游戲公平，否則就不公平.設(shè)計(jì)游戲規(guī)則時(shí)，應(yīng)先根據(jù)題意求出隨機(jī)事件的各種可能出現(xiàn)的情況的概率，再根據(jù)其中概率相等時(shí)的情況設(shè)計(jì)公平的游戲規(guī)則，也可根據(jù)概率不相等時(shí)的情況設(shè)計(jì)公平的游戲規(guī)則.為了幫助同學(xué)們更好地理解，本文選取教材中具有代表性的習(xí)題進(jìn)行分析，總結(jié)解題規(guī)律，并舉例由此改編的中考題.

蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級上冊4.3習(xí)題第3題：

如圖1，A轉(zhuǎn)盤的4個(gè)扇形的面積相等，B轉(zhuǎn)盤的6個(gè)扇形的面積相等，有人設(shè)計(jì)了如下游戲規(guī)則：甲、乙兩人分別任意轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤A、B各一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，將指針?biāo)渖刃沃械?個(gè)數(shù)字相乘.如果所得的積是偶數(shù)，那么甲獲勝；如果所得的積是奇數(shù)，那么乙獲勝.

（1）你認(rèn)為這樣的規(guī)則公平嗎？為什么？

（2）如果不公平，請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)你認(rèn)為公平的規(guī)則，并說明理由.

圖1

【解析】根據(jù)題意畫出樹狀圖.如圖2所示，所有出現(xiàn)的等可能結(jié)果有24種，其中積為偶數(shù)的有18種結(jié)果，積為奇數(shù)的有6種結(jié)果.因此積為偶數(shù)的概率為，積為奇數(shù)的概率為，所以游戲規(guī)則不公平.

新游戲規(guī)則：把所得的兩個(gè)數(shù)相加，若和為偶數(shù)，則甲勝；若和為奇數(shù)，則乙勝.（答案不唯一）

圖2

【點(diǎn)評】本題主要考查概率與公平性、用樹狀圖計(jì)算概率.

根據(jù)題意畫出樹狀圖，求出“積為偶數(shù)”和“積為奇數(shù)”兩種情況的概率.若概率相同，則游戲公平；若概率不相同，則游戲不公平，需要修改游戲規(guī)則使游戲公平.

例1 （2018·浙江嘉興）小明和小紅玩拋硬幣游戲，連續(xù)拋兩次，小明說：“如果兩次都是正面，那么你贏；如果兩次是一正一反，則我贏.”小紅贏的概率是_____，據(jù)此判斷該游戲______（填“公平”或“不公平”）.

【解析】所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下表所示：

正反正 反（正，正）（反，正）（正，反）（反，反）

例2 （2018·山東青島）小明和小亮計(jì)劃暑期結(jié)伴參加志愿者活動(dòng).小明想?yún)⒓泳蠢戏?wù)活動(dòng)，小亮想?yún)⒓游拿鞫Y儀宣傳活動(dòng).他們想通過做游戲來決定參加哪個(gè)活動(dòng)，于是小明設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲，游戲規(guī)則是：在3張完全相同的卡片上分別標(biāo)記4、5、6三個(gè)數(shù)字，一人先從3張卡片中隨機(jī)抽出一張，記下數(shù)字后放回，另一人再從中隨機(jī)抽出一張，記下數(shù)字，若抽出的兩張卡片標(biāo)記的數(shù)字之和為偶數(shù)，則按照小明的想法參加敬老服務(wù)活動(dòng)，若抽出的兩張卡片標(biāo)記的數(shù)字之和為奇數(shù)，則按照小亮的想法參加文明禮儀宣傳活動(dòng).你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？請說明理由.

【解析】不公平，列表如下：

10 11 12小明小亮 和6 5 9 1 0 4 5 6 4 8 9 1 0 11

由表可知，共有9種等可能結(jié)果，其中和為偶數(shù)有5種結(jié)果，和為奇數(shù)有4種結(jié)果，所以按照小明的想法參加敬老服務(wù)活動(dòng)的概率為，按照小亮的想法參加文明禮儀宣傳活動(dòng)的概率為，因?yàn)椤?，所以這個(gè)游戲不公平.