對數(shù)正態(tài)分布條件下某光耦步進(jìn)加速退化試驗優(yōu)化設(shè)計

張烜工, 穆希輝, 馮 靜

(1.陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)，石家莊 050000； 2.湖南銀杏數(shù)據(jù)科技有限公司，長沙 410100)

0 引言

加速退化試驗的設(shè)計與優(yōu)化是統(tǒng)計分析的逆問題，研究在一定的約束條件下，如何進(jìn)行加速退化試驗以獲得可靠度和壽命的準(zhǔn)確估計。當(dāng)前關(guān)于加速試驗優(yōu)化設(shè)計有著諸多研究，總體來說有兩類方法：解析法和仿真法。根據(jù)查閱到的文獻(xiàn)來看，解析法和仿真法最早均由NELSON提出[1-2]，仿真法在國內(nèi)最早由汪亞順系統(tǒng)梳理總結(jié)并應(yīng)用[3]。TSENG和YU提出了退化試驗終止準(zhǔn)則,使數(shù)據(jù)統(tǒng)計結(jié)果更準(zhǔn)確[4]；WU和CHANG在費用約束條件下以p階分位壽命的均方誤 差最小為目標(biāo),建立退化率服從指數(shù)分布的退化試驗 優(yōu)化設(shè)計方法[5]；YU和TSENG以p階分位壽命方差最小為目標(biāo),在費用約束條件下,分別對退化率服從對數(shù)正態(tài)分布和倒數(shù)Weibull分布的退化試驗進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計研究,得到了最優(yōu)的樣本數(shù)、監(jiān)測頻率和試驗監(jiān)測次數(shù)[6-7];王浩偉等研究了基于加速因子不變原則的加速退化試驗優(yōu)化設(shè)計方法[8]。以上都是通過解析的方法對加速退化試驗進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。由于解析方法的推導(dǎo)過程比較復(fù)雜，并且在諸多場合下難以求出或者沒有解析解，進(jìn)而導(dǎo)致獲取最優(yōu)方案十分困難。鑒于此，目前的主流研究方向是選擇仿真基的方法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。汪亞順和張春華[9]給出了仿真基混合效應(yīng)模型加速退化試驗方案優(yōu)化設(shè)計的一般流程；潘剛[10]在給定樣本量的前提下使用蒙特卡羅仿真方法研究了小樣本條件下步降加速退化試驗優(yōu)化設(shè)計；譚源源[11]研究了在競爭失效條件下的仿真基加速退化試驗優(yōu)化方案；羅賡[12]則基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)使用仿真基方法研究了在選定四應(yīng)力水平下加速壽命試驗的優(yōu)化設(shè)計；葛蒸蒸[13]采用非參數(shù)統(tǒng)計分析的方法使用仿真基對應(yīng)力水平以及各水平下樣本分配進(jìn)行了優(yōu)化。但是仿真方法面臨的主要問題在于指定退化軌跡模型形式，并且指定某些系數(shù)服從倒數(shù)Weibull分布，進(jìn)而指定產(chǎn)品壽命分布服從Weibull分布,這對其來說是很大的掣肘。從理論上來說，仿真基的優(yōu)化設(shè)計方法與解析法殊途同歸，只不過仿真基的方法在于預(yù)先指定系數(shù)分布和壽命分布，避免了不存在解析解的困擾，同時設(shè)立解池，在其中挑選最優(yōu)解，進(jìn)而獲取最優(yōu)方案?；诖耍Y(jié)合實際的工程應(yīng)用背景，本文使用改進(jìn)的仿真基優(yōu)化方法對光耦進(jìn)行加速退化試驗優(yōu)化設(shè)計。

本文首先確定基于蒙特卡羅仿真的優(yōu)化設(shè)計理論框架，再構(gòu)建步進(jìn)加速退化試驗的統(tǒng)計分析模型，對步進(jìn)退化數(shù)據(jù)進(jìn)行折算，然后在建立極大似然函數(shù)的基礎(chǔ)上，對現(xiàn)有的仿真基優(yōu)化設(shè)計方法進(jìn)行改進(jìn)，最終建立優(yōu)化設(shè)計的算法并對光耦的加速退化試驗進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，得出最優(yōu)的試驗方案，同時也為壽命分布滿足對數(shù)正態(tài)分布的產(chǎn)品加速試驗設(shè)計提供參照依據(jù)。

1 基于蒙特卡羅仿真的優(yōu)化設(shè)計理論框架

仿真基優(yōu)化設(shè)計方法采用蒙特卡羅方法，其大致流程為仿真、統(tǒng)計分析和優(yōu)化，對優(yōu)化設(shè)計亦即統(tǒng)計分析的逆問題最終又轉(zhuǎn)變?yōu)槟M試驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計和分析，極大降低了優(yōu)化設(shè)計的難度，其設(shè)計過程既可以簡化又可以流程化實現(xiàn)。經(jīng)過歸納總結(jié)，其理論框架如圖1所示。

圖1 基于蒙特卡羅仿真的優(yōu)化設(shè)計理論框架Fig.1 The theoretical framework of optimal designbased on Monte-Carlo simulation

2 基于對數(shù)正態(tài)分布的步進(jìn)退化加速試驗的統(tǒng)計分析模型建立

2.1 混合效應(yīng)模型和加速模型的基本假設(shè)

2.1.1 混合效應(yīng)模型

根據(jù)文獻(xiàn)[9]，假設(shè)被測性能參數(shù)的退化軌跡可用混合效應(yīng)模型描述如下，即

y(t)=β1tβ2+C

(1)

β1～LNμβ,σ2β>。

(2)

文獻(xiàn)[9]中假設(shè)退化率β1服從倒數(shù)Weibull分布，而本文假設(shè)β1服從對數(shù)正態(tài)分布。上式中，β2和C是固定的。β2>0，認(rèn)為β2與失效機(jī)理相關(guān)，因此是常數(shù)；C是被測性能參數(shù)的初值，簡化起見，也令C為常數(shù)。

2.1.2 加速模型

(3)

式中,D為被測性能參數(shù)的失效閾值。

2.2 步進(jìn)加速退化試驗的應(yīng)力施加過程

步進(jìn)加速退化試驗應(yīng)力施加過程如圖2所示。

圖2 步進(jìn)加速退化試驗應(yīng)力施加過程Fig.2 Stressing process of step-up accelerated degradation test

以溫度作為加速應(yīng)力對光耦進(jìn)行步進(jìn)加速退化試驗，共有m個應(yīng)力水平。設(shè)正常的應(yīng)力水平為S0，加速應(yīng)力為S1，S2，…，Sm，S0

2.3 退化數(shù)據(jù)的折算

對于在步進(jìn)加速試驗中得到的退化數(shù)據(jù)，除了在S1下測得的數(shù)據(jù)為真實的退化數(shù)據(jù)外，其余應(yīng)力水平下的測試數(shù)據(jù)均為累積退化性能數(shù)據(jù)。必須對數(shù)據(jù)進(jìn)行折算，才能得到真實的退化數(shù)據(jù)。根據(jù)NELSON提出的累積損傷假定，結(jié)合前面給出的退化模型，利用被測性能參數(shù)的退化速率僅與當(dāng)前應(yīng)力水平有關(guān)而與前面經(jīng)歷的退化過程無關(guān)這個特性，其累積加速退化軌跡可描述為

(4)

式中：m是應(yīng)力的個數(shù);wi是在Si下的等效起始時間，由于在第一個應(yīng)力下不存在等效起始時間，因此w1=0。所謂等效起始時間，就是指在應(yīng)力Si下試驗wi時間的退化量與截止到Si-1應(yīng)力水平下產(chǎn)生的退化量相同的這段時間。根據(jù)之前的假定，式(4)可以表述為

(5)

式中，wi滿足式(6)。

(6)

將式(6)變形，有

(7)

式中:w1=0;τ0=0。前文已述，退化率β1i服從對數(shù)正態(tài)分布，為了使后續(xù)的計算簡便，設(shè)第j個樣本在應(yīng)力Si下的退化率為β1i=ξjexp(α1+α2·Si)，其中,ξj～LN(0，σβ)，j=1,2,…，n。式(7)是一個迭代式，使用起來并不方便，利用歸納法可以得到式(7)的最終表達(dá)式為

(8)

至此，結(jié)合式(5)和式(8)，建立了光耦步進(jìn)退化加速試驗的統(tǒng)計分析模型。

3 仿真基加速退化試驗優(yōu)化方法研究

3.1 仿真數(shù)據(jù)的獲取

1) 根據(jù)式(8)，計算應(yīng)力水平Si下的等效起始時間wi。

2) 由于ξj服從對數(shù)正態(tài)分布，對ξj～LN(0，σβ)進(jìn)行n次抽樣，獲取n個ξ值。由β1i=ξjexp(α1+α2*Si)，計算每個樣本在不同應(yīng)力下的偽退化率。

3) 計算應(yīng)力的轉(zhuǎn)換時刻τi=f*li和測試時刻k*f(i=1,2,…，m，k=1,2,…,K)。

4) 由εj i k～N(0，σε)抽樣獲得每個樣本在每個應(yīng)力下的各個測量點的測試誤差εj i k。

3.2 極大似然函數(shù)的建立

無論是使用解析方法還是使用仿真基方法，極大似然函數(shù)的構(gòu)建都是優(yōu)化設(shè)計的根基。假定在應(yīng)力Si下對第j個樣本測量(li-li-1)次，不考慮初值的隨機(jī)性，認(rèn)為初值為一個常數(shù)。測試誤差為εj i k，其相互獨立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即εj i k～N(0，σε)。根據(jù)極大似然估計理論[15]，第j個樣品測試數(shù)據(jù)的極大似然函數(shù)為

(9)

當(dāng)共有n個樣本進(jìn)行試驗時，其對數(shù)似然函數(shù)為

(10)

式中，K為測試的總次數(shù)。由圖2可知，τi為應(yīng)力從Si轉(zhuǎn)到Si+1的時刻。前文已述，τi和每個應(yīng)力下最后一次測量的時刻相對應(yīng)，即τi=tli。wi是在Si下的等效起始時間，計算方法為式(8)。

3.3 仿真基優(yōu)化設(shè)計方法的改進(jìn)

本文研究的目的在于評定長儲后光耦的壽命，亦即其可靠度，因此優(yōu)化目標(biāo)為可靠度的估計精度。為了獲得光耦在長儲條件下貯存可靠度的精確估計，本文以正常應(yīng)力條件下t時刻的光耦貯存可靠度估計值的漸進(jìn)方差最小為目標(biāo)，對步進(jìn)加速方案進(jìn)行優(yōu)化。而正常應(yīng)力條件下t時刻的光耦貯存可靠度估計值的漸進(jìn)方差可以表示為

Var[R0(t)]=HF-1HT

(11)

式中：H是R0(t)分別對C，α1，α2，β2，σε和σβ的一階偏導(dǎo)的1×6矩陣，而R0(t)=1-Fe(t)，故R0(t)是上述參數(shù)除σε外的函數(shù)，對上述參數(shù)求偏導(dǎo)后可以求得具體的解析表達(dá)式;F為Fisher信息陣，是式(8)對各項參數(shù)的負(fù)二階偏導(dǎo)的期望。限于篇幅，這里不再給出F的表達(dá)式。

無論是解析方法還是仿真基方法的優(yōu)化設(shè)計，都無法回避對F的求解。但是，經(jīng)過計算，F(xiàn)里面的元素是無法求出解析解的，只能得出擬解析解。YU和TSENG通過解析方法研究了退化率服從對數(shù)正態(tài)分布時的退化試驗優(yōu)化設(shè)計情況[6]；陳文華也采用解析方法對退化率服從對數(shù)正態(tài)分布時進(jìn)行了加速壽命試驗的優(yōu)化設(shè)計[16]，但是他們都是在恒定應(yīng)力下進(jìn)行的優(yōu)化設(shè)計，不涉及數(shù)據(jù)折算，其對數(shù)似然函數(shù)自然與式(10)不同;汪亞順等進(jìn)行仿真基優(yōu)化設(shè)計時，往往都是指定退化率服從倒數(shù)威布爾分布，進(jìn)而指定壽命服從威布爾分布，因為威布爾分布條件下F中的元素是存在解析解的。但是本文通過之前的失效物理分析認(rèn)為光耦由退化導(dǎo)致的失效服從對數(shù)正態(tài)分布，并不是威布爾分布。通過目前查閱的仿真基優(yōu)化設(shè)計的文獻(xiàn)來看，在步進(jìn)應(yīng)力條件下，絕大多數(shù)仿真基文獻(xiàn)都是指定壽命服從威布爾分布，目前尚未查詢到步進(jìn)條件下指定壽命服從對數(shù)正態(tài)分布的仿真基文獻(xiàn)。理論上來說，可以通過取近似值的辦法來代替解析表達(dá)式中的擬解析解，但是即便如此，其二階偏導(dǎo)的推導(dǎo)過程也非常復(fù)雜和繁瑣，并不適合工程應(yīng)用。這也是仿真基優(yōu)化的文獻(xiàn)中通常不指定步進(jìn)應(yīng)力條件下壽命服從對數(shù)正態(tài)分布的原因，漸進(jìn)方差Var(R0(t))難以求出。

潘正強(qiáng)等指出，將漸進(jìn)方差的大小作為衡量壽命指標(biāo)估計優(yōu)劣的準(zhǔn)則是基于大樣本理論的，指出在絕大多數(shù)場合下估計的極限分布為正態(tài)分布[17]。因此，光耦的可靠度R0(t)的極大似然估計值可以視為漸進(jìn)服從均值為R0(t)、方差為Var(R0(t))的正態(tài)隨機(jī)變量?；谶@一理論，在不能或者難以求出Var(R0(t))的解析表達(dá)式的情況下，用Var(R0(t))的期望和標(biāo)準(zhǔn)離差來描述Var(R0(t))。顯然，其期望越小，方案的精度就越高，其標(biāo)準(zhǔn)離差越小，則方案的穩(wěn)健性越好。至此，將仿真基的優(yōu)化設(shè)計方法進(jìn)行了改進(jìn)，不再計算漸進(jìn)方差，而是計算漸進(jìn)方差的期望和標(biāo)準(zhǔn)離差，解決了無法獲得漸進(jìn)方差解析解的問題。其期望和標(biāo)準(zhǔn)離差的計算式在下文中給出。

4 仿真基光耦步進(jìn)加速退化試驗優(yōu)化設(shè)計算法

4.1 基于極大似然估計的R0(t)的Matlab理論求解

(12)

4.2 仿真基光耦步進(jìn)加速退化試驗的優(yōu)化設(shè)計算法

現(xiàn)利用改進(jìn)的仿真基算法求取漸進(jìn)方差的期望和標(biāo)準(zhǔn)離差，進(jìn)而對光耦的步進(jìn)加速退化試驗進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。為了保證目標(biāo)函數(shù)的精度，仿真規(guī)模M和抽樣次數(shù)N均取1000。其具體步驟如下所述。

1) 設(shè)立解池，根據(jù)約束條件求出所有的測試次數(shù)分配。

2) 取出一組測試次數(shù)分配。

5) 計算可靠度估計值的偽方差，為

(13)

(14)

(15)

7) 重復(fù)步驟2)～6)，直到解池中所有的解求出μV和σV，在點對合集中尋找使μV和σV最小的方案即為最優(yōu)方案。

4.3 光耦步進(jìn)試驗優(yōu)化設(shè)計與結(jié)果分析

基于前面的理論推導(dǎo)，結(jié)合本文研究的實際背景，其具體參數(shù)設(shè)定如下：光耦的數(shù)量是固定的，即n=12；通過前期的摸底試驗，溫度應(yīng)力設(shè)定為70 ℃，90 ℃以及110 ℃；固定測試頻率f=8 次/h，當(dāng)給定總的試驗時間352 h后，總的測試次數(shù)44是固定的。因此各應(yīng)力下測試的次數(shù)分配是要優(yōu)化的方案。為了保證曲線擬合和外推的準(zhǔn)確性，規(guī)定每個應(yīng)力水平下測試次數(shù)不少于10次，并且滿足li>li+1(i=1，2，3)。由于解池中共有15種方案，方案種類并不是很多，這里采用了全部計算出目標(biāo)函數(shù)然后逐個比較尋優(yōu)的方法。經(jīng)過尋優(yōu)發(fā)現(xiàn)μV和σV最小同時出現(xiàn)在(23，11,10)這個方案中。而對于傳統(tǒng)試驗方案來說，各個應(yīng)力下的測試次數(shù)是均等分配的[18]。表1是測量次數(shù)均等分配的傳統(tǒng)試驗方案與優(yōu)化設(shè)計方案的對比。

表1 傳統(tǒng)試驗方案與優(yōu)化設(shè)計方案對比

由表1可以看出，優(yōu)化設(shè)計方案無論是在精度還是在穩(wěn)健性上都優(yōu)于傳統(tǒng)試驗方案。如果從加速模型的角度分析，優(yōu)化設(shè)計方案在低應(yīng)力水平下分配的試驗時間更長，測量的數(shù)據(jù)更多，亦即在低應(yīng)力水平下獲取了更多的退化信息，模型在外推時準(zhǔn)確度更高。因此優(yōu)化設(shè)計方案優(yōu)于傳統(tǒng)的試驗設(shè)計方案。

5 結(jié)束語

本文對壽命服從對數(shù)正態(tài)分布條件下的仿真基加速退化試驗優(yōu)化設(shè)計進(jìn)行了研究，推導(dǎo)了數(shù)據(jù)折算公式，進(jìn)而建立對數(shù)正態(tài)分布條件下的步進(jìn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析模型，對現(xiàn)有的仿真基算法進(jìn)行了改進(jìn)，給出在對數(shù)正態(tài)條件下仿真基優(yōu)化設(shè)計的一般算法。根據(jù)與傳統(tǒng)試驗方案對比，本文給出的優(yōu)化方案精度和穩(wěn)健性都更高。本文結(jié)合實際應(yīng)用背景對各應(yīng)力下的測試分配次數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，方法是通用的，也可以用于樣本量以及應(yīng)力分配的優(yōu)化，補(bǔ)充和完善了現(xiàn)有仿真基優(yōu)化的理論框架，為對數(shù)正態(tài)分布壽命的產(chǎn)品步進(jìn)加速試驗設(shè)計打下良好的工程應(yīng)用基礎(chǔ)。