淺析數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

張英圳

摘 要：數(shù)形結(jié)合作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，是培養(yǎng)學(xué)生探究性學(xué)習(xí)能力的重要途徑，也是初中數(shù)學(xué)深入實(shí)施素質(zhì)教育的必然要求，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的概念、作用及數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體運(yùn)用進(jìn)行了探索分析。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；教學(xué)

初中數(shù)學(xué)新課標(biāo)要求深入開(kāi)展素質(zhì)教育，初中數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要使學(xué)生掌握基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，更要使學(xué)生形成數(shù)學(xué)思想，提高其數(shù)學(xué)運(yùn)用與創(chuàng)新能力。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的橋梁，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想是實(shí)施數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的必然要求。作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合思想是培養(yǎng)初中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和使其形成數(shù)學(xué)思想的關(guān)鍵內(nèi)容，應(yīng)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中加以積極運(yùn)用。

一、數(shù)形結(jié)合思想的概念

數(shù)學(xué)是研究客觀事物數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科，數(shù)形結(jié)合思想是指在數(shù)學(xué)教育和學(xué)習(xí)中，將“代數(shù)”與“幾何”的知識(shí)、方法相結(jié)合，充分運(yùn)用“數(shù)”的抽象精確性與“形”的形象具體性進(jìn)行“以數(shù)化形”和“以形變數(shù)”，數(shù)形互換，從而更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)與實(shí)際運(yùn)用。

二、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合對(duì)理解抽象數(shù)學(xué)概念、提高學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決能力、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和幫助學(xué)生數(shù)學(xué)思想的形成等方面都具有重要作用。

（一）有助于數(shù)學(xué)概念理解

充分理解數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，初中階段，絕大部分學(xué)生抽象性思維較為缺乏，而數(shù)學(xué)概念的高度概括性和抽象性往往成為初中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“攔路虎”，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，利用數(shù)形結(jié)合思想闡釋數(shù)學(xué)概念，將日常生活中的“數(shù)”與“形”相互聯(lián)系，就能使數(shù)學(xué)概念化繁為簡(jiǎn)，化抽象為具體，使學(xué)生更容易理解，達(dá)到良好的教學(xué)效果。例如，在講解有序?qū)崝?shù)對(duì)的概念時(shí)，授課教師利用以數(shù)化形、數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)平面直角坐標(biāo)系，把數(shù)軸的坐標(biāo)和平面中的點(diǎn)結(jié)合起

來(lái)，厘清坐標(biāo)平面上的點(diǎn)（x，y）與有序數(shù)對(duì)（a，b）之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，就能使學(xué)生很容易地理解有序?qū)崝?shù)對(duì)的概念。

（二）有助于提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力

提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要目標(biāo)?！皵?shù)無(wú)形，少直觀，形無(wú)數(shù)，難入微”，有些數(shù)學(xué)問(wèn)題單純用代數(shù)或幾何方式求解較為困難，但利用數(shù)形結(jié)合思想，可以將抽象、深?yuàn)W的數(shù)學(xué)問(wèn)題求解與直觀的幾何圖形位置關(guān)系與變化趨勢(shì)判斷相結(jié)合，通過(guò)問(wèn)題巧妙轉(zhuǎn)換使數(shù)學(xué)問(wèn)題化難為易、輕松求解。例如，已知點(diǎn)N（3a+1，3-a）到x軸的距離等于到y(tǒng)軸距離的2倍，求a的值是多少？教師在問(wèn)題講解時(shí)啟發(fā)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想思考，將點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離和數(shù)的絕對(duì)值相聯(lián)系，以形變數(shù)、數(shù)形結(jié)合，N（3a+1，3-a）到x軸的距離可用代數(shù)表示為3a+1，N（3a+1，3-a）到y(tǒng)軸的距離可用代數(shù)表示為3-a，由題意可得3a+1=23-a，即3a+1=2（3-a）或3a+1=-2（3-a），即a=1或a=-7，通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想，啟發(fā)學(xué)生思考幾何和代數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，開(kāi)拓學(xué)生解題思路，使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)、化難為易，大大提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

（三）有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思想形成

數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)事物和理論經(jīng)過(guò)概括后的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，掌握數(shù)學(xué)思想是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)用能力的關(guān)鍵。數(shù)形結(jié)合思想包含豐富的數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)換和邏輯表達(dá)過(guò)程，日常教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法來(lái)解釋數(shù)學(xué)概念和求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)思想的形成。

（四）有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

教師在教學(xué)過(guò)程中，如利用數(shù)形結(jié)合思想向?qū)W生講解函數(shù)自變量取值范圍與動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)系、拋物線開(kāi)口方向與二次函數(shù)系數(shù)關(guān)系，通過(guò)教學(xué)過(guò)程展示，能夠讓學(xué)生深刻感受到數(shù)學(xué)“數(shù)”的精確之美和“形”的形象之美以及數(shù)形轉(zhuǎn)換的美妙與技巧，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在降低數(shù)學(xué)問(wèn)題求解難度中的巨大作用，可減少學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的畏難情緒，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

三、數(shù)形結(jié)合思想在課堂教學(xué)中的具體運(yùn)用

教師根據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律和具體的課堂教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行合理的教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)組織，將數(shù)形結(jié)合思想科學(xué)運(yùn)用于課堂教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，能收到良好的教學(xué)效果。

（一）課堂教學(xué)導(dǎo)入

良好的課堂導(dǎo)入是課堂教學(xué)成功的基礎(chǔ)，教師在進(jìn)行相關(guān)內(nèi)容教學(xué)時(shí)，可通過(guò)學(xué)生日常生活中熟悉的數(shù)學(xué)圖形、圖像運(yùn)用實(shí)例來(lái)導(dǎo)入相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)。比如，用太陽(yáng)照射物體成影與實(shí)物大小比例關(guān)系來(lái)導(dǎo)入講解三角形斜率問(wèn)題；用弧形橋梁（拋物線）設(shè)計(jì)原理來(lái)導(dǎo)入一元二次函數(shù)與圖像知識(shí)教學(xué)。課堂教學(xué)導(dǎo)入采用老師啟發(fā)提問(wèn)、學(xué)生思考回答的互動(dòng)式教學(xué)模式，將代數(shù)概念和幾何圖象相互融合，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和課堂專(zhuān)注度，為下一步的教學(xué)開(kāi)展提供良好的課堂氣氛。

（二）課堂教學(xué)展開(kāi)

課堂教學(xué)展開(kāi)環(huán)節(jié)，例如，教師在數(shù)學(xué)定理的教學(xué)過(guò)程中，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想帶領(lǐng)學(xué)生探究數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，將抽象的數(shù)量關(guān)系變化和直觀的圖像圖形變化相互聯(lián)系，探尋發(fā)現(xiàn)定理的形成過(guò)程；在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題教學(xué)中，教師積極帶領(lǐng)學(xué)生分析問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合思想，變換數(shù)學(xué)問(wèn)題，尋找“數(shù)”與“形”內(nèi)在的邏輯關(guān)系，變抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題為直觀具體圖形、圖像判斷問(wèn)題，數(shù)形合一，尋找問(wèn)題求解線索、分析問(wèn)題求解思路與基本步驟，將數(shù)學(xué)問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，化難為易。

舉例：已知二次函數(shù)y=ax2-（b+1）x-3a的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（4，10），交x軸于A（x1，0），B（x2，0）兩點(diǎn)（x1

求：二次函數(shù)的解析式。

分析：該題是求解二次函數(shù)解析式問(wèn)題，教師在課堂講解時(shí)，首先講解拋物線圖像與函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)a、一次項(xiàng)系數(shù)b及常數(shù)項(xiàng)C的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想分析二次函數(shù)（圖像）與一元二次方程的數(shù)形關(guān)系，得出關(guān)于a、b關(guān)系的等式①16a-4（b+1）-3a=10；之后，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)轉(zhuǎn)化，又得到關(guān)于a、b關(guān)系的等式②b+1=2a；最后，通過(guò)求解①②方程組即可得到二次函數(shù)解析式。在求解過(guò)程中，可通過(guò)數(shù)形結(jié)合，逐步勾勒出一元二次函數(shù)的大致圖像（如圖），用于問(wèn)題求解幫助。本例具體解法如下：

（三）課堂教學(xué)總結(jié)反思

在課堂結(jié)束前，教師帶領(lǐng)學(xué)生把課堂上運(yùn)用到的數(shù)形結(jié)合知識(shí)重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行提煉歸納，總結(jié)數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用的具體策略和技巧；同時(shí)，教師給學(xué)生布置適當(dāng)?shù)臄?shù)形結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)習(xí)題作業(yè)，讓學(xué)生進(jìn)行課后練習(xí)鞏固；教師通過(guò)批改學(xué)生作業(yè)，了解、掌握學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想理解和運(yùn)用能力的情況，分析、反思數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)效果，以便進(jìn)行更好的教學(xué)設(shè)計(jì)和組織優(yōu)化。

數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，教師進(jìn)行相關(guān)教學(xué)時(shí)需要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際情況合理進(jìn)行教學(xué)安排和設(shè)計(jì)，“授人以魚(yú)，不如授人以漁”，不僅要讓學(xué)生掌握利用數(shù)形結(jié)合解題的技巧，更要讓學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用思想，這是提高學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)和創(chuàng)新能力的關(guān)鍵，更為學(xué)生日后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

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