三角恒等變換，重在掌握“變”法

金玉明

一、化歸方法，變的靈魂

化歸方法的含義是把待解決和未解決的問題，通過轉(zhuǎn)化，或再轉(zhuǎn)化，將原問題歸結(jié)為一個已經(jīng)解決，或比較容易解決的問題，最終求得原問題的解決.在三角恒等變換的學(xué)習(xí)過程中，常用的化歸方法主要有化同角、化同名、切弦互化、降冪運算等.

二、知識遷移，注重變式

運用遷移指導(dǎo)學(xué)習(xí)活動，就是在學(xué)習(xí)中，發(fā)現(xiàn)問題的相似之處，促進新知識的學(xué)習(xí)；同時注意在解題中實施變式研究，既注重基本又注重變化，做到舉一反三、觸類旁通、溫故知新.下面我們從幾個實例出發(fā)，談一談具體遷移的方法.

（一）給值求值（角）問題

本例是課本第105頁例3、第108頁例1、例2等例題的遷移.考點是三角恒等變換.三角函數(shù)的給值求值，關(guān)鍵是用已知角表示所求角.常見的問題主要有：（1）已知角為一個時，所求角一般與已知角成“倍的關(guān)系”或“互余互補”關(guān)系.（2）已知角為兩個時，所求角一般表示為已知角的和或差.本題顯然是題型（1），如果將本題進行知識遷移，方向可以是：已知條件變成兩個已知角的三角函數(shù)值，求另一個可以用已知角表示的未知角的三角函數(shù)值、求未知角的大小等問題.

（二）給角求值

本例是課本第110頁例5的遷移.“給角求值”將非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化，進而求出三角函數(shù)值.同時“化同角”又是解決問題的第一視角和切人點.求值過程中始終抓住化為同角的基本思路，觀察式子中每個因式之間角的關(guān)系，進行合理化簡.

（三）化簡問題

本例是課本第121頁例3的遷移，考點是考查三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，此類題目是三角函數(shù)問題中的典型題目.解答本題，首先要觀察函數(shù)表達式的結(jié)構(gòu)特征，因為在函數(shù)性質(zhì)探討中，最終目標(biāo)是要化簡成f（x） =Asin（ωx+ψ）+b的形式，所以關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡函數(shù)，進一步討論函數(shù)的性質(zhì)，能較好地考查同學(xué)們的基本運算求解能力及復(fù)雜式子的變形能力等.本題的化簡經(jīng)歷了多項式相乘、降冪、輔助角公式三個主要步驟，同時化同角、降冪的主要思路也是化簡成功的關(guān)鍵.

當(dāng)然本題還可以繼續(xù)深入研究函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)等，這就需要將三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)結(jié)合，解決問題.

（四）恒等式證明

對于恒等式證明，主要解決問題的方法仍然與化簡、求值相同.

本例是課本第120頁例2的遷移.解決問題的過程中，首先考察的是等式左邊，比較復(fù)雜，所以要化簡，而等式兩邊角的不同，考慮“化同角”，化同角的同時也在升冪，這也符合等式右邊的4次特征.由此合理使用二倍角公式以及完全平方公式，即可解決問題.觀察等式兩邊結(jié)構(gòu)特征，進而選擇合理的化歸公式解決問題，是三角恒等式證明的關(guān)鍵.

三、歸納總結(jié)，量變引起質(zhì)變

在學(xué)習(xí)過程中，可以多聯(lián)系課本和練習(xí)題，尋找題目之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理歸類.比如三角恒等變換的內(nèi)容，在觀察式子結(jié)構(gòu)特征后，通常先從“化同角”作為切人點，然后進行“切弦互換”、“降冪”、“化同名”等，基本就可以找到解決問題的方法.通過推廣、類比、逆向等思維方式進行知識遷移，相信你一定能在三角恒等變換的空間里自由翱翔，