滿(mǎn)子范疇的反變有限性與同調(diào)滿(mǎn)同態(tài)

連穎穎，彭 楨，沈 燕

(1.安陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 安陽(yáng) 455000；2.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

反變有限子范疇的概念是由Auslander等[1]于1980年提出的.此后，Auslander等[2]對(duì)反變有限子范疇做了進(jìn)一步的推廣，研究了由代數(shù)A的投射維數(shù)有限的有限生成模構(gòu)成的滿(mǎn)子范疇p<∞(A)的反變有限性，且其與投射維數(shù)不超過(guò)1的傾斜模之間存在緊密的聯(lián)系.這些研究引起了代數(shù)學(xué)家的關(guān)注并在后續(xù)研究中得到了很多重要結(jié)論，如Angeleri-Hügel等[3]證明了對(duì)于有限維代數(shù)A，其有限維數(shù)有限當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)A上的傾斜模T，使得T的右正交滿(mǎn)子范疇與p<∞(A)的右正交滿(mǎn)子范疇一致，給出了著名的有限維數(shù)猜想的一個(gè)充要條件[4].這些研究使得對(duì)于p<∞(A)的反變有限性的研究有了一定的理論價(jià)值.

導(dǎo)出范疇的概念是由Grothendieck在20世紀(jì)60年代提出并由Verdier完成了其核心構(gòu)造[5].自該概念被提出以來(lái)，導(dǎo)出范疇與許多學(xué)科產(chǎn)生了緊密的聯(lián)系，如偏微分方程、李理論、幾何以及代數(shù)等.在代數(shù)表示理論中，代數(shù)的導(dǎo)出范疇之間的等價(jià)給出了代數(shù)的一種等價(jià)關(guān)系，是代數(shù)之間的3種重要等價(jià)關(guān)系之一，它保持代數(shù)的許多同調(diào)性質(zhì)，如導(dǎo)出等價(jià)保持K理論[6]、保持代數(shù)的有限維數(shù)的有限性等[7].此外，導(dǎo)出等價(jià)與穩(wěn)定等價(jià)也聯(lián)系緊密[8].而環(huán)的同調(diào)滿(mǎn)同態(tài)誘導(dǎo)了兩個(gè)環(huán)的導(dǎo)出范疇之間的粘合，可以看作導(dǎo)出等價(jià)的推廣，它在代數(shù)表示理論和代數(shù)K理論等的研究中起到了重要作用.作者考慮同調(diào)滿(mǎn)同態(tài)能不能保持代數(shù)的一些性質(zhì)，為代數(shù)工作者進(jìn)一步討論代數(shù)的關(guān)系提供了一定的理論基礎(chǔ).

論文研究了p<∞(A)的反變有限性在代數(shù)的導(dǎo)出等價(jià)下的關(guān)系，證明了p<∞(A)的反變有限性是導(dǎo)出等價(jià)下的不變量.

定理1給定域k上的有限維代數(shù)A,B，設(shè)存在同調(diào)滿(mǎn)同態(tài)：φ:A→B，如果B作為A-模是投射維數(shù)有限的，且p<∞(A)在A中反變有限，那么p<∞(B)在B中反變有限.

1 預(yù)備知識(shí)

給定一個(gè)k-代數(shù)A,B，對(duì)于代數(shù)同態(tài)φ:A→B，若滿(mǎn)足給定任意的代數(shù)同態(tài)f1,f2:B→C滿(mǎn)足φf(shuō)1=φf(shuō)2，都有f1=f2,則稱(chēng)φ是一個(gè)滿(mǎn)同態(tài)，顯而易見(jiàn)，代數(shù)之間的滿(mǎn)同態(tài)其實(shí)是代數(shù)范疇內(nèi)的一個(gè)滿(mǎn)態(tài)射.

引理1[9]設(shè)φ:A→B是一個(gè)代數(shù)同態(tài)，則下列各條等價(jià)

(1)φ是一個(gè)滿(mǎn)同態(tài)；

(2) 乘法映射：μB:B?AB→B是一個(gè)B-雙模同構(gòu)；

(3)φ誘導(dǎo)的函子：φ*:B-mod→A-mod是一個(gè)忠實(shí)滿(mǎn)函子；

(4) 存在函子間的自然等價(jià)：λ：(B?A-)φ*→1B-mod.

上述引理給了滿(mǎn)同態(tài)的定義的同時(shí)也刻畫(huà)了滿(mǎn)同態(tài)的性質(zhì).

引理2[10]給定代數(shù)滿(mǎn)同態(tài)φ:A→B，下列各條等價(jià)

滿(mǎn)足上述條件的代數(shù)滿(mǎn)同態(tài)叫做同調(diào)滿(mǎn)同態(tài).

給定代數(shù)A,A-mod的滿(mǎn)子范疇C，如果滿(mǎn)足對(duì)任意的A-模M，都存在一個(gè)右C-逼近，那么C稱(chēng)為反變有限的[1].

引理3[11]給定域k上的A,B，對(duì)任意的左A-模X，以及任意的左B-模Y，存在如下的自然同構(gòu)

2 定理的證明

定理1的證明根據(jù)定義要證p<∞(B)在B-mod中反變有限，那么對(duì)于任意的B-模X，PX∈p<∞(B)，以及A-模同態(tài)αX:PX→X，對(duì)任意的P∈p<∞(B)以及B-模同態(tài)α:P→X，都存在B-模同態(tài)f:P→PX，使得下面的交換圖成立

(1)

現(xiàn)對(duì)于B-模X以及任意的P∈p<∞(B)和B-模同態(tài)α:P→X，根據(jù)引理1，X是一個(gè)A-模，若B作為A-模是投射維數(shù)有限的，故P∈p<∞(A)α:P→X是A-模同態(tài).因?yàn)閜<∞(A)在A-mod中反變有限，所以存在QX∈p<∞(A)以及A-模同態(tài)βX:QX→X，對(duì)A-模X，以及P∈p<∞(A)，A-模同態(tài)α:P→X，存在A-模同態(tài)g:P→QX，使得下面的交換圖成立

(2)

令PX=B?AQX，由引理3知

(3)

由于∈p<∞(A)，故由(3)式得PX∈p<∞(B).令

(4)

接下來(lái)驗(yàn)證交換圖(1)成立.

根據(jù)交換圖(2)得到下面的交換圖

再由(4)式可得下面的交換圖

由于P∈p<∞(B)，α:P→X是B-模同態(tài)，再由引理1，得到下面的交換圖

于是得到交換圖(1)，從而證明了p<∞(B)在B-mod中反變有限.