Copula方法在金融領(lǐng)域的應(yīng)用

張文丑 張卓群

Copula模型是一種多元聯(lián)合分布建模工具。由于其構(gòu)造靈活、能夠更好地捕捉真實(shí)經(jīng)濟(jì)序列特性等優(yōu)點(diǎn)，近年來被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)問題研究之中。具體到金融領(lǐng)域，Copula模型在市場(chǎng)相關(guān)性測(cè)度、投資組合風(fēng)險(xiǎn)度量、信用衍生品定價(jià)等方面具有突出優(yōu)勢(shì)，已經(jīng)成為學(xué)界和業(yè)界研究金融問題的重要定量方法。

金融時(shí)間序列特性及傳統(tǒng)分析困境

上個(gè)世紀(jì)八十年代之后，隨著發(fā)達(dá)國(guó)家金融市場(chǎng)規(guī)模不斷擴(kuò)大、金融工具品種不斷創(chuàng)新，金融時(shí)間序列的量化研究進(jìn)入新紀(jì)元。大量研究表明，金融時(shí)間序列與其他經(jīng)濟(jì)序列具有顯著區(qū)別，主要表現(xiàn)出以下幾個(gè)特征：第一，尖峰厚尾；第二，異方差性和波動(dòng)聚集。尖峰指的是金融資產(chǎn)收益率的實(shí)際分布相較于正態(tài)分布在中部具有更高的概率密度，厚尾指的是實(shí)際分布在左右尾部比正態(tài)分布要厚一些。發(fā)生這種現(xiàn)象的一個(gè)解釋是，資產(chǎn)收益率的變化相較于其他經(jīng)濟(jì)序列數(shù)值差異過大。這種特性也表明金融市場(chǎng)中的交易容易獲得暴利，也容易遭受損失。異方差性指的是資產(chǎn)收益率的條件方差具有時(shí)變性。波動(dòng)聚集指的是資產(chǎn)收益率出現(xiàn)較大波動(dòng)時(shí)，通常會(huì)緊隨出現(xiàn)一系列較大波動(dòng)；出現(xiàn)較小波動(dòng)時(shí)，同樣可能緊隨出現(xiàn)一系列小波動(dòng)。造成異方差性和波動(dòng)聚集的一個(gè)解釋為金融時(shí)間序列存在短記性，并且受到市場(chǎng)景氣周期的影響。

金融時(shí)間序列的這些特性，為其分析預(yù)測(cè)帶來了困難。1982 年，Engle提出了ARCH模型，允許金融時(shí)間序列的方差在過去新息的基礎(chǔ)上，隨著時(shí)間變化而變化，也就是條件異方差的概念，該模型較好地解決了異方差性和波動(dòng)聚集的問題。一系列衍生模型，如GARCH、EGARCH、IGARCH等相繼被創(chuàng)造出來，形成了GARCH族模型。Engle本人也憑借在金融時(shí)序分析領(lǐng)域做出的突出貢獻(xiàn)，與Granger共同獲得了2003年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。此外，對(duì)于尖峰厚尾問題的研究成為了金融量化研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)。顯然，依靠正態(tài)分布、t分布難以刻畫資產(chǎn)收益率的真實(shí)分布，也難以捕捉多個(gè)序列之間的相關(guān)關(guān)系，強(qiáng)行使用會(huì)產(chǎn)生謬誤。而基于Copula函數(shù)的建模方法為解決此類問題提供了一條可行路徑。

Copula模型的優(yōu)勢(shì)

Copula的概念最早由Sklar于1959年提出，其本質(zhì)上是一種連接函數(shù)，用于概率測(cè)度空間領(lǐng)域的相關(guān)研究之中。二十世紀(jì)七十年代，Schweizer將Copula方法逐步引入到了統(tǒng)計(jì)、計(jì)量領(lǐng)域，進(jìn)一步拓展了Copula函數(shù)的研究范圍。不過由于Copula函數(shù)形式較為復(fù)雜，依靠人工計(jì)算的可行性較差，因此九十年代之前相關(guān)研究多停留在理論層面。隨著近二十年計(jì)算機(jī)的普及， Copula方法在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，特別是在金融領(lǐng)域的應(yīng)用得到了蓬勃發(fā)展。與傳統(tǒng)的建模工具相比，Copula模型具有以下幾個(gè)優(yōu)勢(shì)。

第一，兩步建模方法極大提升了模型的靈活性。在多元正態(tài)分布的建立過程中，首先假設(shè)每一個(gè)隨機(jī)變量的邊緣分布均服從正態(tài)分布，隨后使用相關(guān)系數(shù)矩陣刻畫相關(guān)性。顯然，這種假設(shè)既不具有靈活性，又與實(shí)際分布相差甚遠(yuǎn)。Copula方法克服了這個(gè)缺陷。Copula模型的建立分為兩步：首先根據(jù)每個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)生成過程擬合邊緣分布，隨后選用適合的Copula函數(shù)將多個(gè)邊緣分布相連接，形成多元聯(lián)合分布。

第二，多種變量分布能夠較好地?cái)M合真實(shí)時(shí)序。在第一步中，Copula模型對(duì)隨機(jī)變量的邊緣分布沒有硬性限制，可以使用正態(tài)、t、GED等多種參數(shù)分布擬合，也可以使用核密度估計(jì)等非參數(shù)方法擬合，甚至可以使用經(jīng)驗(yàn)分布擬合。對(duì)于金融時(shí)序來說，可以使用上述一種或多種方法組合刻畫邊緣分布，能夠較好地解決尖峰厚尾問題。在第二步中，Copula函數(shù)具有多種多樣的形式，如橢圓族Copula、阿基米德族Copula等。通過選取不同的Copula函數(shù)，可以刻畫隨機(jī)變量之間復(fù)雜的相關(guān)關(guān)系。將不同邊緣分布與不同Copula函數(shù)相組合，可以構(gòu)建出多種多樣的聯(lián)合分布，能夠更有效地捕捉真實(shí)金融時(shí)序的特征。

第三，層次構(gòu)建思想更為有利于拆分金融風(fēng)險(xiǎn)。兩步構(gòu)建模型實(shí)際體現(xiàn)了層次建模思想。這種拆分使得單個(gè)資產(chǎn)的波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)體現(xiàn)在了邊緣分布之中，資產(chǎn)之間相互聯(lián)動(dòng)的相關(guān)性風(fēng)險(xiǎn)體現(xiàn)在了Copula函數(shù)之中，實(shí)現(xiàn)了風(fēng)險(xiǎn)的逐層分解。更有利于分析相關(guān)金融問題，有利于強(qiáng)化金融風(fēng)險(xiǎn)管控體系。

Copula方法在金融領(lǐng)域的主要應(yīng)用

基于Copula模型的上述優(yōu)點(diǎn)，目前該方法在金融領(lǐng)域的學(xué)術(shù)研究和實(shí)際應(yīng)用方面取得了一批顯著的成果，以下將就主要的三個(gè)方向進(jìn)行介紹。

第一，市場(chǎng)相關(guān)性測(cè)度。股市、外匯、期貨等金融市場(chǎng)之間存在普遍聯(lián)系，國(guó)家與國(guó)家之間的金融市場(chǎng)同樣相互依存。2008 年，由美國(guó)爆發(fā)的次貸危機(jī)在很短的時(shí)間內(nèi)沿著資本流動(dòng)路徑傳染至全球主要金融市場(chǎng)，引發(fā)國(guó)際金融危機(jī)。因此研究市場(chǎng)之間的相關(guān)性對(duì)于我國(guó)防控輸入性金融風(fēng)險(xiǎn)、保障國(guó)家金融安全具有重要意義。顯而易見，在金融市場(chǎng)關(guān)聯(lián)高度復(fù)雜化的今天，傳統(tǒng)的線性相關(guān)系數(shù)或者系數(shù)矩陣愈發(fā)趨于無效。Copula函數(shù)作為一種新的解決方案，它的一個(gè)顯著特性就是能夠捕捉隨機(jī)變量之間的非線性和非對(duì)稱相關(guān)關(guān)系。特別是能夠捕捉尾部相關(guān)關(guān)系，也就是能夠測(cè)度出當(dāng)一個(gè)市場(chǎng)發(fā)生極端上漲或極端下跌時(shí)，其他關(guān)聯(lián)市場(chǎng)上漲或下跌的可能性，這對(duì)監(jiān)測(cè)市場(chǎng)異動(dòng)的發(fā)生具有重要作用。此外，近幾年一種基于二元Copula函數(shù)逐層疊加的圖模型——Vine Copula模型逐步興起。Vine Copula模型不但能夠捕捉多個(gè)市場(chǎng)之間的復(fù)雜關(guān)系，更能夠依據(jù)一定的路徑，刻畫市場(chǎng)之間相互影響的相關(guān)性結(jié)構(gòu)，使得更為全面地認(rèn)識(shí)市場(chǎng)之間的聯(lián)動(dòng)成為可能。

第二，投資組合風(fēng)險(xiǎn)度量。Copula函數(shù)不但能夠測(cè)度市場(chǎng)間的相關(guān)性，同樣能夠測(cè)度不同資產(chǎn)間的相關(guān)性，這就引申出來該模型的另一重要應(yīng)用——投資組合風(fēng)險(xiǎn)度量。對(duì)于機(jī)構(gòu)投資者和個(gè)人投資者來說，風(fēng)險(xiǎn)度量和控制是投資過程中最重要的工作，目前國(guó)際通用的做法是計(jì)算投資組合的在險(xiǎn)價(jià)值（VaR）。VaR指的是在一定置信水平下和一定持有期內(nèi)，某一投資組合可能面臨的最大損失。目前計(jì)算VaR的主要方法有正態(tài)分布法、歷史模擬法和蒙特卡洛模擬法等。Copula方法開辟了一條新的路徑，以兩種資產(chǎn)投資組合為例，其計(jì)算方法如下：首先，選取適當(dāng)?shù)倪吘壏植己虲opula函數(shù)對(duì)兩種資產(chǎn)的收益率構(gòu)建最優(yōu)Copula模型；其次，采用蒙特卡洛模擬技術(shù)根據(jù)選取的Copula 函數(shù)生成相關(guān)的二維隨機(jī)樣本；再次，根據(jù)各資產(chǎn)收益率的邊緣分布做逆概率變換，得到收益率，根據(jù)兩種資產(chǎn)的比重計(jì)算得到收益率樣本集；最后，根據(jù)置信水平，計(jì)算兩種資產(chǎn)組合收益率的樣本分位數(shù)，得到VaR。上述過程可以重復(fù)多次，直到VaR收斂為止。使用Copula函數(shù)計(jì)算資產(chǎn)投資組合VaR，既利用了蒙特卡洛模擬仿真的計(jì)算思想，又克服了正態(tài)分布法無法捕捉收益率尖峰厚尾特征的缺陷。在大多數(shù)投資組合VaR的度量研究中， Copula方法可以取得持平或者優(yōu)于傳統(tǒng)方法的效果。

第三，信用衍生品定價(jià)。除了市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)以外，金融機(jī)構(gòu)面臨的另外一個(gè)重要風(fēng)險(xiǎn)是信用風(fēng)險(xiǎn)，Copula方法在此領(lǐng)域同樣具有用武之地。信用衍生品是上個(gè)世紀(jì)九十年代創(chuàng)造出來的新型信用風(fēng)險(xiǎn)管理工具，其具有分散信用風(fēng)險(xiǎn)、增強(qiáng)資產(chǎn)流動(dòng)性、提升資本回報(bào)率、擴(kuò)大金融市場(chǎng)規(guī)模、提高金融市場(chǎng)效率等幾方面的功效。信用衍生品的種類很多，以擔(dān)保債務(wù)憑證（CDO）為例，創(chuàng)始銀行取得擁有現(xiàn)金流的資產(chǎn)組合之后，將其轉(zhuǎn)移給特殊目的實(shí)體（SPE）進(jìn)行分割和重新打包，以私募或公開的形式發(fā)行給投資人，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)信用風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)化配置。在CDO的定價(jià)過程中， 資產(chǎn)之間的違約相關(guān)性是影響CDO信用風(fēng)險(xiǎn)的主要因素。2000 年，Li提出使用Copula函數(shù)測(cè)度違約相關(guān)系數(shù)，這種方法一經(jīng)提出，就得到了廣泛的應(yīng)用。與傳統(tǒng)定價(jià)方法相比，Copula函數(shù)具有靈活易用、能夠較好刻畫資產(chǎn)復(fù)雜相關(guān)性等優(yōu)點(diǎn)，保證其能夠達(dá)到同等或更為優(yōu)良的定價(jià)效果。目前，基于Copula函數(shù)的信用衍生品定價(jià)在學(xué)界得到了極大的發(fā)展，出現(xiàn)了許多關(guān)聯(lián)研究； 在業(yè)界已經(jīng)嵌入多種計(jì)量分析軟件，成為CDO定價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)方法之一。

除了上述領(lǐng)域之外，Copula方法在以相關(guān)性為基礎(chǔ)的其他金融問題研究領(lǐng)域，如資產(chǎn)最優(yōu)組合選擇、信用評(píng)級(jí)等方面，同樣具有廣闊的應(yīng)用前景。值得注意的是，計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型是基于一定假設(shè)條件下對(duì)于經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的高度提煉與濃縮，使用Copula方法對(duì)金融問題研究可以起到很好的量化效果，但最終利益相關(guān)者的決策不能完全依賴模型結(jié)果，需要就具體問題開展更為深入分析和研究。

（本研究得到中國(guó)社會(huì)科學(xué)院學(xué)科建設(shè)“登峰戰(zhàn)略”資助計(jì)劃項(xiàng)目“數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)”資助）

（作者單位：中國(guó)社會(huì)科學(xué)院研究生院，中國(guó)社會(huì)科學(xué)院數(shù)量經(jīng)濟(jì)與技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究所）