一道高考雙曲線與拋物線試題的探索

遼寧省撫順市四方高級中學(113122) 孟慶杰

題目1(2015山東)平面直角坐標系xOy中,雙曲線的漸近線與拋物線C2:x2=2py(p＞0)交于點O,A,B,若△OAB的垂心為C2的焦點,則C1的離心率為___.

圖1

解如圖1,由題意,拋物線焦點,漸近線OA方程為bx-ay=0,聯(lián)立C2方程,得A點坐標.由漸近線的對稱性,得△OAB為等腰三角形且所以當AF⊥OB時,△OAB的垂心為C2的焦點即kAF·kOB=-1.所以,解得為所求C1的離心率.

一、縱向探索

1.上述“題目1”中“△OAB的垂心為C2的焦點”改為“△OAB的重心為C2的焦點”,則C1的離心率為____.

解如圖1,由上述“題目1”中的解答,得為等腰三角形,OC垂直且平分AB,所以當焦點為△OAB的重心時,,即8b2=3a2,所以所求C1的離心率.

2.上述“題目1”中“△OAB的垂心為C2的焦點”改為“△OAB的內(nèi)心為C2的焦點”,則C1的離心率為___.

解如圖1,由上述“題目1”中的解答,得,△OAB為等腰三角形,OC垂直AB且平分∠AOB, 所以當焦點為△OAB 的內(nèi)心時, 點F到OA的距離等于|FC|,即,整理得a3+a2c=4b2c(c為半焦距),解得為所求C1的離心率.

3.上述“題目1”中“△OAB的垂心為C2的焦點”改為“△OAB的外心為C2的焦點”,是否可求C1的離心率.

解如圖1,由上述“題目1”中的解答,得△OAB為等腰三角形,OC垂直且平分AB,所以當焦點為△OAB的外心時,|FA|=,即,整理得無解,所以C的焦點不可能為△OAB的外2心,當然C2的焦點也不可能為△OAB的中心即△OAB不可能為正三角形.

二、橫向探索

(一)把“C2:x2=2py(p＞ 0)”改為“C2:y2=2px(p＞0)”

圖2

題目2平面直角坐標系xOy中,雙曲線1(a＞0,b＞0)的漸近線與拋物線C2:y2=2px(p＞0)交于點O,A,B,若△OAB的垂心為C2的焦點,則C1的離心率為____.

解如圖2,由題意,拋物線焦點,漸近線OA方程為bx-ay=0,聯(lián)立C2方程,得A點坐標.由漸近線的對稱性,得△OAB為等腰三角形且OF⊥AB,所以當AF⊥OB時,△OAB的垂心為C2的焦點,即kAF·kOB=-1.所以,解得5b2=4a2,即為所求C1的離心率.

1.上述“題目2”中“△OAB的垂心為C2的焦點”改為“△OAB的重心為C2的焦點”,則C1的離心率為____.

解如圖2,由上述“題目2”中的解答,得,△OAB為等腰三角形,OC垂直且平分AB,所以當焦點為△OAB的重心時,,即3b2=8a2,所以所求C1的離心率.

2.上述“題目2”中“△OAB的垂心為C2的焦點”改為“△OAB的內(nèi)心為C2的焦點”,則C1的離心率為____.

解如圖2,由上述“題目2”中的解答,得,△OAB為等腰三角形,OC垂直AB且平分∠AOB,所以當焦點為△OAB的內(nèi)心時,點F到OA的距離等于|FC|,即,整理__得b3+b2c=4a2c(c為半焦距),解得為所求C1的離心率.

3.上述“題目2”中“△OAB的垂心為C2的焦點”改為“△OAB的外心為C2的焦點”,是否可求C1的離心率.

解如圖2,由上述“題目2”中的解答,得,△OAB為等腰三角形,OC垂直且平分AB,所以當焦點為△OAB的外心時,|FA|=即,整理得無解,所以C的焦點不可能為△OAB的外2心,當然C2的焦點也不可能為△OAB的中心即△OAB不可能為正三角形.

(二)把“C2:x2=2py(p＞ 0)”改為“”

圖3

題目3平面直角坐標系xOy中,雙曲線0,b1＞0)的漸近線與橢圓C2:交于點A,B,如圖3,若△OAB的垂心為C2的焦點F(0,c),已知橢圓的離心率為e,則C1的離心率e1=____.

解如圖3,由題意,漸近線OA方程為b1x-a1y=0,聯(lián)立C2方程,得A點坐標由漸近線的對稱性,得△OAB為等腰三角形且OF⊥AB,所以當AF⊥OB時,△OAB的垂心為C2的焦點F(0,c),即kAF·kOB=-1.所以,整理化簡,得當b1＞a1時,橢圓離心率e和雙曲線離心率e1滿足：.若給出e就可求e1,如當時,.

1.上述“題目3”中“△OAB的垂心為C2的焦點F(0,c)”改為“△OAB的重心為C2的焦點F(0,c)”,則C1的離心率為____.

解如圖3,由上述“題目3”中的解答,得,△OAB為等腰三角形,OC垂直且平分AB,所以當焦點F(0,c)為△OAB的重心時,,整理化簡,得當時,.若給出e就可求e1,如當時,.

2.上述“題目3”中“△OAB的垂心為C2的焦點F(0,c)”改為“△OAB的內(nèi)心為C2的焦點F(0,c)”,則C1的離心率為___.

圖4