淺析第一類換元積分法被積函數(shù)的特點(diǎn)

摘要：在多年的高職高等數(shù)學(xué)執(zhí)教經(jīng)歷中發(fā)現(xiàn)，不定積分的教學(xué)需要花費(fèi)較長的時(shí)間，原因在于學(xué)生不容易理解和掌握求解方法，尤其是第一類換元積分法，究其根源在于沒有掌握被積函數(shù)的特點(diǎn)。本文著重分析了第一類換元積分法被積函數(shù)的特點(diǎn)，方便大家掌握第一類換元積分法。

關(guān)鍵詞：不定積分；第一類換元積分法；被積函數(shù)

微積分主要內(nèi)容為微分和積分，積分有不定積分和定積分之分，在求解積分時(shí)，只要會(huì)求解不定積分，那定積分的求解就沒問題。不定積分的求解方法主要有直接積分法、第一類換元積分法（湊微分法）、第二類換元積分法和分部積分法。直接積分法是對(duì)被積函數(shù)化簡后直接套用積分公式求解積分的一種方法，比較簡單；第二類換元積分是直接換元求解積分的方法，比較容易掌握；分部積分被積函數(shù)特點(diǎn)明顯，有七種被積函數(shù)，但有的需要先湊微分。如此看來，第一類換元積分法（湊微分法）是不定積分教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

在多年的高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)，要想掌握好第一類換元積分法就要理解和掌握被積函數(shù)的特點(diǎn)，本文著重分析了第一類換元積分法被積函數(shù)的特點(diǎn)。

一、 第一類換元積分法積分原理

定理設(shè)f（u）有原函數(shù)，u=φ（x）可導(dǎo)，則有換元公式

∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f（u）du|u=φ（x）

即∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f[φ（x）]dφ（x）

=令u=φ（x）∫f（u）du（也稱湊微分法）

從定理中可以看出，被積函數(shù)是兩項(xiàng)的乘積且有導(dǎo)數(shù)關(guān)系，故當(dāng)被積函數(shù)有以下特點(diǎn)時(shí)，可以考慮使用第一類換元積分法求解，即先湊微分后換元，再求解不定積分。

二、 第一類換元積分被積函數(shù)的特點(diǎn)

（一） 被積函數(shù)是一個(gè)函數(shù)乘本身的導(dǎo)數(shù)時(shí)，先用導(dǎo)數(shù)項(xiàng)湊微分，再換元。

【例1】求∫sinxcosxdx；

分析：在這一不定積分中，被積函數(shù)是兩項(xiàng)的乘積，且這兩項(xiàng)之間有導(dǎo)數(shù)關(guān)系：（sinx）′=cosx，滿足定理?xiàng)l件，所以可以先用cosx去湊微分，即cosxdx=dsinx，湊微分之后被積函數(shù)中還剩下sinx，剛好可以換元，然后套用基本積分公式求解不定積分。

解：∫sinxcosxdx=∫sinx（sinx）′dx=湊微分∫sinxdsinx=換元u=sinx∫udu=12u2+C=變量回代12sin2x+C。

（二） 被積函數(shù)是復(fù)合函數(shù)乘中間變量的導(dǎo)數(shù)時(shí)，先用導(dǎo)數(shù)項(xiàng)湊微分，再換元。

【例2】求∫ln2xxdx

分析：被積函數(shù)可以看成復(fù)合函數(shù)ln2x乘1x，且復(fù)合函數(shù)中間變量lnx的導(dǎo)數(shù)是1x，即（lnx）′=1x。兩項(xiàng)之間有導(dǎo)數(shù)關(guān)系，所以可以使用第一類換元法求解，先用導(dǎo)數(shù)項(xiàng)湊微分，然后換元，再求解不定積分。

解：∫ln2xxdx=∫ln2x·1xdx=∫ln2x·（lnx）′dx=湊微分∫ln2xdlnx=換元令u=lnx∫u2du=13u3+C=變量回代13ln3x+C。

（三） 當(dāng)導(dǎo)數(shù)相差常數(shù)倍時(shí)，先用導(dǎo)數(shù)項(xiàng)湊微分后換元，再求解不定積分。

【例3】求∫1xsinxdx。

分析：被積函數(shù)是復(fù)合函數(shù)sinx乘1x，且復(fù)合函數(shù)中間變量x的導(dǎo)數(shù)為12x，即1x=2（x）′，則可以湊微分1xdx=2dx，故而可以使用第一類換元法求解該積分。此題的技巧在于先“湊齊”導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)相差多少倍便補(bǔ)齊多少倍，這樣方便后續(xù)解題步驟。

解：∵（x）′=12x，∴1x=2（x）′，則1xdx=2dx。

原式=∫sinx·1xdx=∫sinx·2（x）′dx=湊微分∫sinx·2dx=換元令u=x2∫sinudu=-2cosu+C=變量回代-2cosx+C。

（四） 被積函數(shù)與基本積分公式相近，此時(shí)，被積函數(shù)也可以看成是兩項(xiàng)的乘積，并且兩項(xiàng)之間有導(dǎo)數(shù)關(guān)系。

【例4】求∫（5x-3）10dx。

分析：被積函數(shù)雖然是一個(gè)冪函數(shù)，但不能直接套用基本積分公式求解，而且由于次數(shù)較高，展開來計(jì)算也不簡單，所以要考慮使用其他方法來計(jì)算。在此題中，如果將dx換成d（5x-3），題目就簡單許多，這就需要先湊微分。湊微分時(shí)，將被積函數(shù)看成（5x-3）10乘1，其中復(fù)合函數(shù)中間變量（5x-3）′=5，與1相差常數(shù)倍，則1=15（5x-3）′，湊微分后的結(jié)果為1dx=15d（5x-3），被積函數(shù)中還剩下（5x-3）10，從而可以換元然后求解積分。

解：∫（5x-3）10dx=∫（5x-3）10·1dx=∫（5x-3）10·15（5x-3）′dx=湊微分∫（5x-3）10·15d（5x-3）=換元令u=5x-315∫u10du=155u11+C=變量回代155（5x-3）11+C。

在近幾年的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，只要掌握了被積函數(shù)的特點(diǎn)，掌握了湊微分的技巧，第一類換元積分法就不再是難題。當(dāng)然，由于本人實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)有限，文中還存在不足之處，歡迎廣大讀者批評(píng)指正。

作者簡介：

陳小燕，云南省昆明市，云南機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院。