數學模型思想的課堂培養(yǎng)研究

韓加坤

（海警學院 基礎部，浙江 寧波 315801）

地方高校的社會責任是培養(yǎng)優(yōu)秀的應用技術型人才；行業(yè)院校的目標是培育滿足行業(yè)發(fā)展所需的專門人才.企業(yè)或行業(yè)要求畢業(yè)生掌握扎實的基礎知識的同時兼具實用與特色.高等院校希望學生通過對知識習得過程的歷練，養(yǎng)成工作及社會生活中需要的各種能力.

在各項能力的培養(yǎng)中，模型思想舉足輕重.數學建模是連接抽象的數學與多彩世界的橋梁.從提出問題，思考、提煉問題，到用數學語言描述問題，解決問題并指導現實生活的這種方法即為模型思想.作為公共基礎課的數學課程，在模型思想的構建過程中具有十分重要的作用.

1 高等數學課堂教學現狀及教改情況

現在的高等數學課堂教學以講授法為主.教師大多采用多媒體課件授課，課堂以教師為主導.學生聽課過程中如有疑問，舉手，教師現場解答，學生課后復習，做作業(yè)，預習.這是一種不利于學生能力養(yǎng)成的授課方式.

許多教師在嘗試改變這種課堂教學狀況，來提高知識、能力傳承的效率.以學生為中心，教師從利于學生接受的角度備課，即達到“有效教學”[1]的目的.從提高學生數學核心素養(yǎng)[2]的視角，有學者研究了抽象、推理與模型思想在學生課堂學習中的重要地位.在他們的研究文章中，均提到了數學模型思想在學生能力培養(yǎng)中的獨特作用[3].

2 模型思想課堂培養(yǎng)的必要性

數學建模訓練被認為是提高學生創(chuàng)新能力最有效的方法.該過程成功的把現實問題、數學知識與計算機技術有機地融合在一起，讓學生在用數學的過程中充分認識了數學的實用性.但對大部分非數學專業(yè)的學生而言，他們的培養(yǎng)計劃中不會開設數學建模課程.為了提高模型思想在學生能力培養(yǎng)中的貢獻，數學教師需要在學生四年學習時間里尋找合適的時機，對建模類內容進行及時補充.大部分院校會以選修課的形式實現，主要面向知識儲備相對成熟的大三學生.通過系統(tǒng)培訓，學生可以組隊參加各類建模競賽.每年的競賽獲獎學生成長為優(yōu)秀畢業(yè)生的概率明顯高于平均水平，可見模型思想的益處.

學習建模課程的學生比較少.因大部分同學害怕了數學課程的抽象，不會主動選修建模課程.同時，由于名額的限制，致使想要選課的同學只有少部分能成功選修.

鑒于此，數學類公共基礎課教師應該積極行動起來，適時的在課堂上給學生播下數學建模思想的種子.講課過程中，通過生動的現實事例，讓學生了解建模的基本方法步驟.通過課堂實踐，提高學生的課堂參與度，督促學生思考，真正提高學生的抽象、演繹能力.同時，通過專業(yè)案例的引入，還可以縮小數學與專業(yè)的距離，幫助學生養(yǎng)成用數學語言思考專業(yè)問題的習慣.

3 備課案例

案例庫建設的質量將直接影響授課的效果.就《高等數學》課程而言，按知識類型劃分，案例庫大致可以分為極限類、導數微分類、積分類、微分方程類、級數類等.以下以軍事類專業(yè)為例，給出幾個實戰(zhàn)類案例.

例1（戰(zhàn)斗機著陸曲線） 導函數的作用與意義

step1提出問題

完成任務后返航的戰(zhàn)機接近機場準備降落，請幫自動駕駛系統(tǒng)設計一條合理的戰(zhàn)斗機著陸曲線.

step2分析問題

經過查閱資料，飛機的著陸曲線是一條三次拋物線，設該函數為y=ax3+bx2+cx+d，系數待定.

step3數學問題

設飛機的已知飛行為h,與機場的水平距離為d.建立笛卡爾坐標系，x為水平方向，y為豎直方向，著陸點為坐標原點.

step4求解數學問題

由飛機的飛行軌跡可知：y(0)=0,y(d)=h,

由飛機的姿態(tài)可知：y'(0)=0,y'(d)=0,

step5結果分析

圖1 著陸曲線（h=1,d=2）

由圖1可知，該曲線先凸后凹，二階導函數連續(xù)，比較光滑，能保證戰(zhàn)機飛行的平順性.

例2（艦船橫向液貨補給軟管[4]形狀） 微分方程的求解

step1提出問題

現代軍艦無論是在戰(zhàn)爭狀態(tài)還是日常訓練狀態(tài)，物質消耗巨大，彈藥、油、水、食物補給任務艱巨.為提高補給效率，需設計滿足補給任務強度的補給軟管及補給支架.請為設計師描繪出軟管的形狀.

step2分析問題

相對于軍艦的體積，補給軟管可以近似為一條曲線，且該曲線處處受力平衡.

step3數學問題

求一條兩端固定的不可伸縮的軟繩在重力作用下所呈現出的形態(tài)所滿足的方程.

step4求解數學問題

設曲線如圖2所示，A為曲線的最低點，M為曲線上任意一點，ρ為曲線的線密度，s為曲線段AM的弧長，|OA|=a.

圖2 補給軟管受力分析

設A點所受的水平張力為H，M點所受的切向張力為T.對M點做受力分析可知水平方向：Tcosθ=H 豎直方向：Tsinθ=ρgs.

step5結果分析

懸鏈線是高壓輸電線、橋梁拉索等工程中比較常見的曲線，通過對其方程的求解，加深學生對它的印象.在該曲線的求解過程中用到了受力分析、二階可降階微分方程等方面的知識.

4 總結

數學類公共基礎課在講授數學知識、鍛煉學生邏輯思維能力的同時，增加對學生后續(xù)專業(yè)課的關注，將有利于學生專業(yè)課程的學習.模型思想的引入能夠讓學生在成材的道路上更加順利.符合專業(yè)的實戰(zhàn)案例，將會使數學課程更加生動多彩.