基于合理素材選擇的小學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力培養(yǎng)

張琪

[摘 要]

在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，觀察、分析、合情推理的能力是非常重要的。通過合情推理能力可以打開學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，從而更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。因此，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力是十分重要的。以教材為依托，如何在教學(xué)實(shí)踐當(dāng)中培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力，針對學(xué)生的差異，實(shí)行針對性的教學(xué)，值得探討。

[關(guān)鍵詞]

小學(xué)數(shù)學(xué)；合理素材；推理能力；培養(yǎng)策略

數(shù)學(xué)是一門博大精深的科學(xué)知識，其中潛在蘊(yùn)含著自然界的發(fā)展規(guī)律。在我國的數(shù)學(xué)發(fā)展過程中，各種數(shù)學(xué)思想不斷涌現(xiàn)，數(shù)學(xué)推理能力作為一種重要的能力，自古以來一直被沿用。直到今天，也是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要學(xué)習(xí)方法。運(yùn)用數(shù)學(xué)推理能力能夠輕松地解決很多數(shù)學(xué)問題。熟練掌握合情推理能力是小學(xué)階段數(shù)學(xué)的重要要求和技能，也是小學(xué)生們訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維和提高數(shù)學(xué)運(yùn)用能力的重要保障。

小學(xué)數(shù)學(xué)推理能力是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)重要目標(biāo)之一，應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們在學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式，小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）把“推理思想”列為三大數(shù)學(xué)基本思想之一。遺憾的是，很多教師對合情推理的認(rèn)識和實(shí)踐都存在一定問題。

落后理念和評價(jià)欠缺引發(fā)“短視”，部分教師不重視培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。日常教學(xué)中，部分教師常以平視“看”到“數(shù)學(xué)內(nèi)容”，沒有“看”到之上的“數(shù)學(xué)思想、基本能力”等，甚至還存在認(rèn)識偏差：“我教的是知識，無暇顧及其他?！蓖瑫r(shí)，當(dāng)前對小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的評價(jià)還側(cè)重傳統(tǒng)意義上的“雙基”，在評價(jià)導(dǎo)向作用下，教師對數(shù)學(xué)思想和基本能力，往往以時(shí)間緊為借口將它作為一個(gè)“軟任務(wù)”擠掉。這樣的短視和認(rèn)識，導(dǎo)致教師不重視對學(xué)生推理等能力的培養(yǎng)。此外，重演繹推理、輕合情推理的現(xiàn)象較廣泛存在。一直以來，教師存在重演繹推理、輕合情推理的狀況，往往只滿足于證明現(xiàn)成結(jié)論，不夠重視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索結(jié)論、提出猜想等的活動(dòng)過程，違背了新課標(biāo)所倡導(dǎo)的兩者“并重”理念。令人可惜的是，部分教師知道合情推理在教學(xué)中的價(jià)值，但缺少相應(yīng)理論學(xué)習(xí)和實(shí)踐探索，導(dǎo)致問題頗多。對合情推理等基本概念缺乏認(rèn)知，對培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力缺少方法支撐。

綜上，我們有必要深入認(rèn)識合情推理的意義和價(jià)值，并在實(shí)踐中強(qiáng)化其應(yīng)用。筆者選擇“圖形與幾何”作為內(nèi)容對象，這是因?yàn)檫@一板塊本身所具有空間特性和內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)性，更適合我們就推理能力的培養(yǎng)進(jìn)行研究。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)合情推理能力的重要性

學(xué)術(shù)觀點(diǎn)認(rèn)為，人類區(qū)別于動(dòng)物的重要一點(diǎn)，就是人類具有理性思維的遺傳基因，僅需在后天學(xué)習(xí)中激活。數(shù)學(xué)推理就是這樣的理性思維，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)承擔(dān)“激活”的職責(zé)，重視培育學(xué)生的推理能力，該出發(fā)點(diǎn)基于如下思考。

（一）小學(xué)是進(jìn)行推理思想啟蒙和推理能力培養(yǎng)的重要階段

推理并不是一個(gè)獨(dú)立于知識技能之外的內(nèi)容體系，也不是一個(gè)單列的教學(xué)體系，而是蘊(yùn)含于日常內(nèi)容之內(nèi)、融合在日常教學(xué)之中的組成部分，它可用具體事例、漸進(jìn)過程讓學(xué)生去體驗(yàn)、感悟并沉淀，是可以為小學(xué)生所學(xué)習(xí)接納的。因此，對小學(xué)生進(jìn)行推理思想啟蒙和能力培養(yǎng)，是可行且必要的。

（二）合情推理能夠調(diào)動(dòng)小學(xué)生學(xué)習(xí)積極性

相比演繹推理，小學(xué)生更愿意接受觀察、猜測、比較、不完全歸納等學(xué)習(xí)方式，“非嚴(yán)謹(jǐn)、可猜測”的合情推理，作為“發(fā)現(xiàn)的工具”，小學(xué)生一定愿意接納。因此，要重視合情推理價(jià)值，研究其應(yīng)用策略。

“圖形與幾何”所涉及的圖形抽象、分類、公式推導(dǎo)等內(nèi)涵豐富，具有推理教學(xué)的廣闊空間，具有獨(dú)特優(yōu)勢。綜上，在小學(xué)“圖形與幾何”教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力，是可行的，是必要的。如何培養(yǎng)？需要尋求對策。

二、小學(xué)生數(shù)學(xué)合情推理能力培養(yǎng)策略

基于思考和長期教學(xué)實(shí)踐，筆者就在“圖形與幾何”教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力提出了策略架構(gòu)：

<＼＼Pc-006＼tm＼中小學(xué)＼2018＼7期＼t7q-34.tif>

這一架構(gòu)闡明，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理可以采取三種主要策略：階段差異化實(shí)施策略、類別針對性實(shí)施策略和教學(xué)優(yōu)化的實(shí)施策略。

（一）基于年段差異，實(shí)施漸進(jìn)式、差別化的培養(yǎng)策略

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：推理貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，推理能力的形成和提高需要一個(gè)長期的、循序漸進(jìn)的過程。因此，合情推理能力要從小學(xué)入學(xué)就開始引導(dǎo)培養(yǎng)，并應(yīng)持續(xù)進(jìn)行。同時(shí)，我們應(yīng)基于學(xué)生年齡特點(diǎn)，在低、中、高段按漸進(jìn)原則差異化實(shí)施。

1.小學(xué)低段：引導(dǎo)學(xué)生初步感受合情推理過程

低段所涉及的推理，主要是一些“簡單推理”，屬于“二值邏輯”范疇，即要么屬于某種情況要么不屬于某種情況。在“圖形與幾何”板塊中，可以提供直觀圖形讓學(xué)生有順序、有條理地判斷，特別是要讓學(xué)生能用自己的語言描述，感受推理過程。主要策略：創(chuàng)造機(jī)會(huì)，更多讓學(xué)生感受推理過程。關(guān)鍵詞是“感受”，讓學(xué)生經(jīng)歷推理全過程，積累經(jīng)驗(yàn)是主要目標(biāo)。

[案例1]材料的個(gè)數(shù)

出示材料：●○●○○●○○○●（ ）●○○○○○○，括號內(nèi)應(yīng)填（ ），要填（ ）個(gè)。

感受1：顏色推理。讓學(xué)生用自己的語言描述，感受判斷依據(jù)。

感受2：個(gè)數(shù)推理。根據(jù)規(guī)律判斷個(gè)數(shù)，感受判斷過程。

感受3：適當(dāng)抽象。引導(dǎo)學(xué)生用類似“1，1，1，2，1，3……”的方式，逐漸感受“黑球總是1個(gè)”，“白球逐漸增加”的分布規(guī)律。

在低段，合情推理還處在啟蒙階段，教學(xué)時(shí)要注意給學(xué)生提供感受機(jī)會(huì)，增加經(jīng)驗(yàn)。

2.小學(xué)中段：引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)體驗(yàn)合情推理方法

小學(xué)中段學(xué)生，思維水平有了較大發(fā)展，本階段重心是引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)體驗(yàn)合情推理的方法。主要策略：基于循序漸進(jìn)原則，讓中段學(xué)生從簡單枚舉推理開始，體驗(yàn)合情推理方法，最后引導(dǎo)進(jìn)行科學(xué)歸納推理。

[案例2]周長相等的長方形的面積變化規(guī)律

<＼＼Pc-006＼tm＼中小學(xué)＼2018＼7期＼t7q-35.tif>

①出示材料：用長40cm的細(xì)繩圍一個(gè)邊長為整厘米數(shù)的長方形，怎樣才能使面積達(dá)到最大？

②教學(xué)組織

以“獨(dú)立思考—枚舉比較—猜想驗(yàn)；證想—獲得規(guī)律—推廣應(yīng)用”的方式組織。

本節(jié)課，首先學(xué)生用枚舉初步推測，再根據(jù)算式與結(jié)果的關(guān)系合情推理。一方面，經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過程完整呈現(xiàn)數(shù)學(xué)推斷的基本程序；另一方面，獲得的結(jié)果具有厚實(shí)的事實(shí)基礎(chǔ)，這一推斷成果將成為學(xué)生今后獨(dú)立探索的成功范例，影響深遠(yuǎn)。

3.小學(xué)高段：指導(dǎo)學(xué)生利用合情推理解決問題

小學(xué)高段是與中學(xué)銜接的關(guān)鍵學(xué)習(xí)期，有必要強(qiáng)化合情推理的應(yīng)用指導(dǎo)。主要策略：指導(dǎo)學(xué)生充分運(yùn)用生活經(jīng)驗(yàn)、已有數(shù)學(xué)知識以及推理方法獨(dú)立推理、解決問題，使學(xué)生在這一過程中，逐步構(gòu)成程序化的操作形成“數(shù)學(xué)方法”解決問題。

[案例3]問題出發(fā)的合情推理基本材料：“經(jīng)過這座大橋，自行車約轉(zhuǎn)了多少周？”

師：單憑問題，猜想已知條件是怎樣的？

生：可能會(huì)已知大橋長度和車輪直徑。

師：解決這個(gè)問題，算式可能是？

生：我推測是大橋長度÷車輪周長。

師：如果用2000÷（3.14×0.6）解決這個(gè)問題，你有什么推測？

生：我推測2000是橋長，0.6是車輪直徑，整個(gè)算式是求車輪轉(zhuǎn)的周數(shù)。

本案例，從問題啟動(dòng)學(xué)生逆向思考，逼迫學(xué)生基于個(gè)人經(jīng)驗(yàn)和知識進(jìn)行合情推理，逐步明晰完整情境，最后解決問題。相比較教師常用的“例題講解—獲得方法—練習(xí)鞏固”這樣固定的“單行線教學(xué)”，本案例所實(shí)踐的“提出問題—合情推理—解決問題”這樣的“逆向結(jié)構(gòu)”，使常見的“正向教學(xué)、反復(fù)操練”為“雙向構(gòu)建”，充分利用合情推理解決問題，對高段學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種方法上的完善。

綜上，合情推理開展策略在各年級段要循序漸進(jìn)：低段重推理感受—中段重推理方法—高段重推理應(yīng)用，但三者應(yīng)相互交融，在每個(gè)階段都有完整體驗(yàn)。

（二）基于類別特點(diǎn)，實(shí)施針對性、相融合的應(yīng)用策略

合情推理包括不完全歸納和類比推理兩種，在“圖形與幾何”教學(xué)中，我們既應(yīng)根據(jù)這兩種推理的內(nèi)在特點(diǎn)，又要基于學(xué)生發(fā)展和學(xué)習(xí)內(nèi)容特點(diǎn)，實(shí)施包括演繹推理在內(nèi)多種推理融合性的應(yīng)用策略。

1.不完全歸納推理的應(yīng)用策略——厚積薄發(fā)

不完全歸納是根據(jù)特殊推斷一般的推理方式，以部分對象所具有的屬性推斷全部對象，這有助于通過觀察思考發(fā)現(xiàn)新規(guī)律，但也有結(jié)論不科學(xué)的后果。在教學(xué)中，我們要根據(jù)這一特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生多觀察多思考，重視過程體驗(yàn)，同時(shí)注意：

①盡可能多而廣地考察事物對象，做到“厚積”再“薄發(fā)”。

②注意搜集可能出現(xiàn)的反面事例，培養(yǎng)質(zhì)疑習(xí)慣。

[案例4]長方形面積計(jì)算方法（不完全歸納推理）

<＼＼Pc-006＼tm＼中小學(xué)＼2018＼7期＼t7q-36.tif>

在方格中自由地涂出一個(gè)或幾個(gè)長方形，并記錄下來。讓學(xué)生都涂涂、記記、看看，推理長方形面積與什么有關(guān)？一方面讓學(xué)生體驗(yàn)公式由來，體驗(yàn)不完全歸納推理方法，抽象數(shù)學(xué)結(jié)論；另一方面，針對不完全歸納推理的“不完全”性，讓學(xué)生搜集盡可能多事例，為公式由來佐證，最后抽象計(jì)算方法，這樣的“厚積薄發(fā)”是一種科學(xué)態(tài)度，也是應(yīng)對不完全歸納結(jié)果或然性特點(diǎn)的重要策略。

2.類比推理的應(yīng)用策略——瞻前顧后

類比推理是特殊到特殊的推理方法，是一種“由此及彼”的推斷，進(jìn)行類比推理應(yīng)用，我們要引導(dǎo)學(xué)生“瞻前顧后”：遇到新問題，想想有可能與哪些“前”知識有關(guān)；學(xué)習(xí)新知識，聯(lián)想可能會(huì)采用同樣方法的“后”知識。教學(xué)時(shí)要注意以下方面：

①盡可能多地搜集共有屬性，積極探尋兩個(gè)對象系統(tǒng)顯性和隱性的共同點(diǎn)。

②重視差異性分析，獲得盡可能的完整認(rèn)知。

[案例5]圓柱體積公式的推導(dǎo)

圓面積公式推導(dǎo)→圓柱體積公式推導(dǎo)

<＼＼Pc-006＼tm＼中小學(xué)＼2018＼7期＼t7q-37.tif>

教學(xué)中不要“就事論事”，而要“瞻前顧后”，把圓柱體積推導(dǎo)上升到一個(gè)體系之中，不僅要整理好平面圖形面積推導(dǎo)系列、立體圖形體積推導(dǎo)系列的共同特點(diǎn)，也要由此及彼引發(fā)對數(shù)學(xué)其他問題的類似思考。

3.合情推理與演繹推理的融合——取長補(bǔ)短

演繹推理和合情推理各有特點(diǎn)，前者重在嚴(yán)謹(jǐn)思考、結(jié)論可靠性高，后者重在探索發(fā)現(xiàn)、結(jié)論可靠性相對低，各有所長。在“圖形與幾何”教學(xué)中，我們可以基于兩種推理的不同內(nèi)涵和學(xué)生年齡特點(diǎn)，取長補(bǔ)短，進(jìn)行融合。

[案例6]正方形與內(nèi)接圓面積的關(guān)系

<＼＼Pc-006＼tm＼中小學(xué)＼2018＼7期＼t7q-38.tif>

在正方形內(nèi)畫一個(gè)最大的圓，研究圓面積與正方形面積的關(guān)系。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，不同學(xué)生設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)不同，但圓面積都占正方形的78.5%。是巧合？此時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)理證明。從前期簡單枚舉到后期嚴(yán)謹(jǐn)推理，讓學(xué)生經(jīng)歷合情推理和演繹推理相融合的過程，獲得完整認(rèn)識。

（三）基于教學(xué)優(yōu)化，實(shí)施有預(yù)設(shè)、重體驗(yàn)的教學(xué)策略

課堂教學(xué)中培養(yǎng)合情推理能力，既要從整體理念、設(shè)計(jì)、實(shí)踐上探索培養(yǎng)方略，也要分環(huán)節(jié)、分要素、分重點(diǎn)深入研究培養(yǎng)策略。

1.基于課堂教學(xué)的整體優(yōu)化，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力

[案例7]自編教材：局部關(guān)系推理整體關(guān)系

①初步感受

學(xué)生解答：“820-3.14×42 820-3.14×22×4 820-3.14×12×16”觀察思考：不計(jì)算，對結(jié)果有什么猜想？

②同類再現(xiàn)

<＼＼Pc-006＼tm＼中小學(xué)＼2018＼7期＼t7q-39.tif>

出示首次出現(xiàn)在教材上的習(xí)題（人教版第九冊95頁第8題），引導(dǎo)學(xué)生反思：既然綠草面積與花的總面積相等，是否可用“18×12÷2”計(jì)算綠草面積？讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：在每個(gè)部分（分成四部分）中，草地與花的面積相等，那么總體上兩者面積也一定相等。

2.基于課堂教學(xué)的局部優(yōu)化，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力

精心設(shè)計(jì)材料，創(chuàng)設(shè)合情推理平臺教學(xué)。

[案例8]推理圖形與算式之間的聯(lián)系

提問：有一個(gè)長方形和兩個(gè)算式，請猜想，他們之中有什么聯(lián)系？

<＼＼Pc-006＼tm＼中小學(xué)＼2018＼7期＼t7q-40.tif>

這個(gè)環(huán)節(jié)沒有通常那樣提供完整的學(xué)習(xí)材料，而是留出空白，“長方形紙片”——“算式”之間的空白完全由學(xué)生在已有知識基礎(chǔ)上，合理推理“填補(bǔ)”：原來“空白”是旋轉(zhuǎn)后得到的圓柱體。以故意預(yù)設(shè)的“空白”激發(fā)學(xué)生根據(jù)已有信息推理，培育空間觀念，提升推理能力。

三、反思總結(jié)

合情推理具有一定的局限性。表現(xiàn)在所探究的問題須符合如下條件：第一，在合情推理后具有獲得問題答案雛形的可能。即學(xué)生通過推理，能對問題的“答案”有大致把握。第二，在合情推理前問題答案處于未知狀態(tài)，即學(xué)生對所探究問題的“答案”還處于模糊或無知狀態(tài)，使學(xué)生能產(chǎn)生通過合情推理解決未知問題的興趣和動(dòng)力。現(xiàn)實(shí)中，受限于教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際，可能使合情推理的應(yīng)用存在局限性。通過研究，筆者深刻感受到合情推理在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位，深刻領(lǐng)悟到合情推理能力對于學(xué)生未來發(fā)展的重要價(jià)值。因此，我們有必要實(shí)踐新課標(biāo)倡導(dǎo)的理念：合情推理能力的發(fā)展應(yīng)始終貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]梁仁東.合情推理在小學(xué)數(shù)學(xué)四個(gè)領(lǐng)域中的應(yīng)用[J].海峽科學(xué)，2013（7）.

[2]袁志祥.合情推理在小學(xué)數(shù)學(xué)中的運(yùn)用[J].教育藝術(shù)，2013（5）.

[3]陳祥彬.在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2012（11）.

[4]曹培英.小學(xué)數(shù)學(xué)合情推理的教學(xué)研究[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2015（1）.

[5]王曉利.小學(xué)生合情推理能力培養(yǎng)的策略研究[M].南京：南京師范大學(xué)，2011.

（責(zé)任編輯：李雪虹）