基于凸約束下泰勒估計(jì)的主瓣干擾抑制算法

王 偉, 李 壯, 姜 維, 李 欣

(1. 中國電子科技集團(tuán)公司第二十九研究所, 電子信息控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 四川 成都 610000; 2. 哈爾濱工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引 言

近年來,自適應(yīng)波束形成器被廣泛應(yīng)用于無線通信、語音處理、雷達(dá)、聲納、醫(yī)學(xué)成像和其他領(lǐng)域[1-3]。傳統(tǒng)的自適應(yīng)波束形成算法如采樣矩陣求逆[4-5]、迭代自適應(yīng)[6-7]、自適應(yīng)旁瓣對消[8]等,在白噪聲環(huán)境下,對旁瓣干擾具有很好的干擾抑制效果[9]。當(dāng)存在主瓣干擾時(shí),利用傳統(tǒng)方法進(jìn)行波束形成,算法會(huì)在方向圖主瓣內(nèi)形成零陷造成主波束畸變、旁瓣電平升高等問題,輸出信干噪比(signal-to-interference noise ratio, SINR)也會(huì)大幅度下降[10]。目前,解決主瓣干擾問題的方法有很多,如文獻(xiàn)[11]的大孔徑天線陣列,文獻(xiàn)[12]的正交極化陣列,上述方法抑制主瓣干擾都是以增加系統(tǒng)復(fù)雜度為代價(jià)的。文獻(xiàn)[13]對阻塞矩陣預(yù)處理(blocking matrix preprocess, BMP)類方法進(jìn)行了總結(jié),包括傳統(tǒng)BMP、對角加載BMP以及線性約束BMP。文獻(xiàn)[14]改進(jìn)了阻塞矩陣的構(gòu)造方法。BMP類算法在已知信號(hào)到達(dá)角的條件下具有良好的主瓣干擾抑制效果,但存在損失系統(tǒng)自由度和破壞白噪聲特性的問題[15]。文獻(xiàn)[16]將特征投影矩陣法與干擾噪聲協(xié)方差矩陣(interference noise covariance matrix,INCM)重構(gòu)法[17]相結(jié)合,解決了傳統(tǒng)特征投影預(yù)處理(eigen-projection matrix preprocessing, EMP)方法存在的方向圖主波束峰值偏移問題。EMP方法由于是在特征空間進(jìn)行操作,相較于BMP方法魯棒性更好,且不會(huì)造成陣列自由度的損失,但功率較大的主瓣干擾會(huì)使得波束形成時(shí)旁瓣零陷變淺。文獻(xiàn)[18]利用Capon空間譜估計(jì)方法構(gòu)建主瓣干擾信號(hào)分量,削弱主瓣干擾對旁瓣零陷的影響。

以上主瓣干擾抑制算法都是基于INCM建立的。EMP方法利用INCM而不是信號(hào)協(xié)方差矩陣主要出于兩點(diǎn)原因,一是在波束形成時(shí)避免由于期望信號(hào)相消導(dǎo)致的旁瓣電平升高問題;二是防止期望信號(hào)的混入導(dǎo)致主瓣干擾對應(yīng)特征矢量篩選錯(cuò)誤。實(shí)際中,由于期望信號(hào)存在于訓(xùn)練序列中,INCM往往無法直接獲得。文獻(xiàn)[19]將迭代自適應(yīng)角度估計(jì)與EMP方法相結(jié)合,利用迭代自適應(yīng)法得到的空間譜重構(gòu)出INCM。但迭代自適應(yīng)算法[20]精度受網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)制約,網(wǎng)格點(diǎn)選取越密集,計(jì)算量越大。

上述的各種方法都是利用采樣協(xié)方差矩陣(sampling covariance matrix,SCM)近似代替真實(shí)協(xié)防差矩陣。當(dāng)采樣信號(hào)獨(dú)立同分布時(shí),SCM為真實(shí)協(xié)方差矩陣的最大似然估計(jì)。然而實(shí)際中,采樣點(diǎn)數(shù)較少或采樣信號(hào)存在重尾現(xiàn)象,此時(shí)SCM將與真實(shí)協(xié)方差矩陣存在較大誤差[21],導(dǎo)致后續(xù)波束形成和干擾抑制性能下降。文獻(xiàn)[22]對泰勒協(xié)方差矩陣估計(jì)進(jìn)行改進(jìn)[23],提出了泰勒估計(jì)加凸約束的協(xié)方差矩陣估計(jì)方法,該方法計(jì)算量低,收斂速度快,在低采樣點(diǎn)和低網(wǎng)格點(diǎn)條件下可以得到更為精確的估計(jì)協(xié)方差矩陣。

受該文獻(xiàn)啟發(fā),提出了基于凸約束下泰勒估計(jì)的主瓣干擾抑制算法。相比于現(xiàn)有方法[24-25],本文方法模擬了實(shí)際中采樣信號(hào)可能出現(xiàn)的低快拍和重尾現(xiàn)象且適用于期望信號(hào)存在于訓(xùn)練序列條件。利用估計(jì)出的主瓣干擾導(dǎo)向矢量篩選主瓣干擾特征矢量,省去繁瑣的INCM重構(gòu)過程的同時(shí)增加了算法魯棒性。最后,利用線性約束法進(jìn)行自適應(yīng)波束形成,避免由于期望信號(hào)相消導(dǎo)致方向圖畸變、輸出SINR降低等問題。仿真結(jié)果證明了本文方法具有更穩(wěn)健波束形成效果和更高的輸出SINR。

1 陣列模型

考慮N個(gè)陣元組成的均勻線陣,假設(shè)陣元間各向同性并忽略陣元間互耦作用,陣元間距為半波長,接收信號(hào)模型可表示為

x=Aβ+ε

(1)

式中,A=[a1,a2,…,aL],L為信號(hào)個(gè)數(shù);β和ε分別代表零均值的信號(hào)和噪聲;a為信號(hào)的導(dǎo)向矢量,可以表示為

a=[ej2πdsin θ/λ,…,ej2π(N-1)dsin θ/λ]

(2)

信號(hào)協(xié)方差矩陣可以表示為

Σ

(3)

式中,pj為對應(yīng)信號(hào)的方差;Σ=diag(σ1,σ2,…,σN)為NCM。定義P=diag(p1,p2,…，pL),則R可以寫作R=APAH+Σ。

傳統(tǒng)方法利用SCM近似替代真實(shí)協(xié)方差矩陣,假設(shè)采樣點(diǎn)數(shù)為K,則SCM可以表示為

(4)

這種做法存在兩個(gè)缺點(diǎn),其一,當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)較少時(shí)協(xié)方差矩陣估計(jì)精度較低;其二,實(shí)際中采樣數(shù)據(jù)往往存在重尾現(xiàn)象或存在異常值,在這種情況下,用該方法估計(jì)得到協(xié)方差存在較大誤差。

2 凸結(jié)構(gòu)約束下的泰勒估計(jì)

針對低采樣點(diǎn)條件下傳統(tǒng)方法SCM估計(jì)精度不夠的問題,尋找一種高魯棒性的協(xié)方差矩陣估計(jì)方法是解決問題的關(guān)鍵。泰勒估計(jì)是一種穩(wěn)健的極值估計(jì)方法,表達(dá)式為

(5)

s.t.R=APAH

(6)

對任意P>0,代價(jià)函數(shù)可以表示為

(7)

凸約束下的泰勒估計(jì)迭代過程如表1所示。

表1 凸約束下的泰勒估計(jì)

表1中,

(8a)

(8b)

(8c)

通過迭代過程可以看出,該方法用對特征值的迭代替代了傳統(tǒng)泰勒估計(jì)方法對整個(gè)協(xié)方差矩陣的迭代。這樣做大大減少了算法的復(fù)雜度,迭代收斂速度更快。

在得到高精度的估計(jì)協(xié)方差矩陣的基礎(chǔ)之上,針對傳統(tǒng)EMP方法主瓣干擾特征矢量篩選困難,需要重構(gòu)INCM,輸出SINR較低等問題,本文將空間譜估計(jì)與EMP方法相結(jié)合,提出了改進(jìn)抗主瓣干擾自適應(yīng)波束形成算法。

3 本文算法

EMP方法的難點(diǎn)在于準(zhǔn)確的篩選出主瓣干擾對應(yīng)的特征矢量。傳統(tǒng)方法利用特征矢量與期望信號(hào)的相關(guān)性來篩選主瓣干擾特征矢量,這就要求協(xié)方差矩陣中不能含有期望信號(hào),否則會(huì)導(dǎo)致特征矢量篩選錯(cuò)誤,主瓣干擾無法得到有效抑制。然而,當(dāng)期望信號(hào)存在于訓(xùn)練序列時(shí),INCM無法直接獲得,重構(gòu)INCM的過程計(jì)算量較大,且與真實(shí)INCM往往存在較大誤差,這些都會(huì)導(dǎo)致算法干擾抑性能下降。本文方法將空間譜估計(jì)與EMP方法相結(jié)合,重新定義主瓣干擾對應(yīng)特征矢量篩選標(biāo)準(zhǔn),在期望信號(hào)存在于訓(xùn)練序列條件下,主瓣干擾抑制以及自適應(yīng)波束形成性能優(yōu)異。

(9)

MUSIC空間譜可以表示為

(10)

使θ變化,通過尋找波峰得到各信號(hào)的估計(jì)到達(dá)角。主瓣干擾信號(hào)到達(dá)角可以通過主瓣寬度進(jìn)行判別,可得

(11)

(12)

傳統(tǒng)方法通過下式篩選主瓣干擾對應(yīng)特征矢量um,即

θ0)|2≥c|a(θ0)|2

(13)

式中,c(c>0)是一個(gè)依據(jù)經(jīng)驗(yàn)選取的系數(shù),在實(shí)際中難以直接獲得。文獻(xiàn)[16]對傳統(tǒng)方法進(jìn)行了改進(jìn),利用相關(guān)性篩選主瓣干擾對應(yīng)特征矢量

(14)

式中,ρ是相關(guān)系數(shù),可以通過式(15)求取

(15)

式中,v1,v2為維度相同的向量;‖·‖表示歐式范數(shù)。

當(dāng)協(xié)方差矩陣中存在期望信號(hào)分量時(shí),利用上述算法篩選主瓣干擾對應(yīng)特征矢量,由于期望信號(hào)相關(guān)度更高,會(huì)導(dǎo)致特征矢量篩選錯(cuò)誤,造成嚴(yán)重的后果。本文方法由于估計(jì)出了主瓣干擾的到達(dá)角,通過與估計(jì)主瓣干擾導(dǎo)向矢量的相關(guān)性判別主瓣干擾特征矢量,在期望信號(hào)存在于協(xié)方差矩陣條件下,將不會(huì)產(chǎn)生特征矢量篩選錯(cuò)誤問題。主瓣干擾特征矢量篩選標(biāo)準(zhǔn)可以更新為

(16)

特征投影矩陣求解公式為

(17)

式中,I為N×N的單位矩陣,陣列輸出可以表示為

Y=Bx

(18)

利用最小方差無失真響應(yīng)(minimum variance distortionless response,MVDR)等方法進(jìn)行波束形成,由于特征投影矩陣B的存在,波束形成時(shí)會(huì)產(chǎn)生峰值偏移,輸出SINR降低等問題。本文方法由于對信號(hào)到達(dá)角進(jìn)行估計(jì),因此可以考慮通過線性約束進(jìn)行波束形成。為了使得期望信號(hào)方向形成最大增益,自適應(yīng)波束方向圖應(yīng)盡可能的逼近靜態(tài)方向圖。同時(shí)還要在旁瓣干擾處形成零陷,達(dá)到抑制干擾,提升輸出SINR的目的。上述問題可以通過式(19)描述。

(19)

式中,wq為靜態(tài)權(quán)矢量,C是除主瓣干擾信號(hào)以外的所有信號(hào)導(dǎo)向矢量組成的矩陣,f是列向量,線性約束部分可以表示為

(20)

通過構(gòu)造拉格朗日函數(shù)可以求解自適應(yīng)權(quán)值矢量,即

J(w)=‖w-wq‖2+Re{ηH(CHw-f)}

(21)

式中,η為拉格朗日乘子,令η=2λ,對式(21)求導(dǎo)得到

λ=0

(22)

將式(22)代入式(20)整理得到自適應(yīng)權(quán)矢量為

w=(I-C(CHC)-1CH)wq-C(CHC)-1f

(23)

最后,陣列輸出可以表示為

Z=wHY=wHBx

(24)

本文提出的算法流程如圖1所示。

圖1 本文所提算法流程框圖Fig.1 Processing block diagram of the proposed algorithm

對比文獻(xiàn)[19]中算法流程,可以看出,本文算法更為簡潔,省去了多次對INCM進(jìn)行重構(gòu)的過程,算法復(fù)雜度大大降低。利用凸約束下的泰勒估計(jì)對信號(hào)協(xié)方差矩陣進(jìn)行估計(jì),使得估計(jì)出的協(xié)方差矩陣非常接近真實(shí)協(xié)方差矩陣,為低采樣點(diǎn)條件下提高波達(dá)方向(direction of arrival, DOA)估計(jì)精度和譜峰檢測概率奠定了基礎(chǔ)。利用MUSIC算法進(jìn)行空間譜估計(jì),并利用估計(jì)出的主瓣干擾導(dǎo)向矢量篩選主瓣干擾對應(yīng)特征矢量,在期望信號(hào)存在于訓(xùn)練序列條件下提升了算法的魯棒性。利用線性約束求解自適應(yīng)權(quán)矢量,解決了期望信號(hào)存在于訓(xùn)練序列條件下,MVDR等傳統(tǒng)自適應(yīng)波束形成算法由于期望信號(hào)相消造成的方向圖畸變問題。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

(25)

實(shí)驗(yàn)1信號(hào)協(xié)方差矩陣估計(jì)誤差

信號(hào)協(xié)方差矩陣的估計(jì)誤差會(huì)對特征子空間類的算法產(chǎn)生較大影響。傳統(tǒng)算法利用采樣協(xié)方差矩陣近似替代真實(shí)協(xié)方差矩陣,對協(xié)方差矩陣的估計(jì)誤差很少深入分析。事實(shí)上,在采樣點(diǎn)數(shù)較小或采樣信號(hào)存在重尾現(xiàn)象的條件下,采樣協(xié)方差矩陣的估計(jì)誤差很大,導(dǎo)致后續(xù)算法性能嚴(yán)重下降。本實(shí)驗(yàn)利用標(biāo)準(zhǔn)均方誤差(normalized mean square error, NMSE)來評估協(xié)方差矩陣的估計(jì)誤差,即

(26)

每一組數(shù)據(jù)都由100次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)取平均值,信號(hào)數(shù)=5,陣元數(shù)=16,仿真結(jié)果如圖2所示。本實(shí)驗(yàn)對比了3種協(xié)方差矩陣估計(jì)方法,傳統(tǒng)SCM法,泰勒估計(jì)法和本文采用的凸約束下的泰勒估計(jì)法。

圖2 信號(hào)協(xié)方差矩陣估計(jì)誤差Fig.2 Estimation error of the SCM

通過觀察圖2仿真結(jié)果可以看出,隨著采樣點(diǎn)數(shù)的增加,3種方法的估計(jì)精度都有所提高。低采樣點(diǎn)數(shù)條件下,SCM估計(jì)存在較大誤差,而本文所采用的凸約束泰勒估計(jì)方法估計(jì)精度高,且采樣點(diǎn)數(shù)變化對估計(jì)精度影響較小。

實(shí)驗(yàn)2MUSIC空間譜及估計(jì)誤差

主瓣干擾由于空間位置上與期望信號(hào)相近,且功率較大,在采樣點(diǎn)數(shù)較低的情況下,利用SCM進(jìn)行空間譜估計(jì)會(huì)存在譜峰偏移,譜峰消失等問題。本文仿真了3種信號(hào)協(xié)方差矩陣估計(jì)方法下MUSIC空間譜估計(jì)的性能,同時(shí)對估計(jì)誤差進(jìn)行了研究。MUSIC算法的估計(jì)誤差可以通過噪聲子空間的估計(jì)誤差來反映,定義估計(jì)誤差為

(27)

圖3是采樣點(diǎn)數(shù)N=20的條件下,3種方法MUSIC估計(jì)出的空間譜。

圖3 MUSIC DOA估計(jì)(N=20)Fig.3 DOA estimated by MUSIC (N=20)

通過仿真圖可以看出,傳統(tǒng)采樣協(xié)方差矩陣在低快拍條件無法分辨出期望信號(hào)和主瓣干擾信號(hào)。而本文所采用的方法譜峰清晰無偏移,通過譜峰搜索可以得到準(zhǔn)確的DOA估計(jì)值。圖4為噪聲子空間估計(jì)誤差隨采樣點(diǎn)數(shù)變化的曲線,蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)數(shù)為100。

圖4 噪聲子空間估計(jì)誤差Fig.4 Estimation error of noise subspace

通過曲線可以看出,本文方法對噪聲子空間估計(jì)精度較高,且性能受采樣點(diǎn)數(shù)影響較小。

實(shí)驗(yàn)3波束形成方向圖

圖5給出了本文方法、傳統(tǒng)EMP方法、文獻(xiàn)[16]提出的協(xié)方差矩陣重構(gòu)EMP方法的波束形成方向圖,采樣點(diǎn)數(shù)為20。

圖5 自適應(yīng)陣列方向圖Fig.5 Beam pattern of adaptive array

通過仿真圖形可以看出,由于期望信號(hào)存在于訓(xùn)練序列中,且受到特征投影矩陣B的影響,傳統(tǒng)EMP方法波形畸變嚴(yán)重。在低采樣點(diǎn)條件下,協(xié)方差矩陣估計(jì)精度較低導(dǎo)致協(xié)方差矩陣重構(gòu)EMP方法也出現(xiàn)了旁瓣電平升高以及主波束峰值輕微偏移的問題。本文方法利用線性約束進(jìn)行波束形成,在低采樣點(diǎn)數(shù)和期望信號(hào)混入訓(xùn)練序列條件下仍具有良好的波束形成效果。波束形成方向圖在期望信號(hào)方向形成主瓣,主波束無畸變和偏移問題,旁瓣電平逼近靜態(tài)方向圖水平,同時(shí)在旁瓣干擾位置能夠準(zhǔn)確的形成-60～-70 dB的深零陷,相較于現(xiàn)有算法,本文方法具有明顯的性能優(yōu)勢。

實(shí)驗(yàn)4輸出SINR

圖6是訓(xùn)練序列中存在期望信號(hào)條件下幾種算法輸出SINR隨采樣點(diǎn)數(shù)變化的曲線。蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)數(shù)為100。

圖6 輸出SINR隨快拍數(shù)變化Fig.6 Output SINR versus the number of snapshots

分析仿真圖形,由于期望信號(hào)的存在以及特征投影矩陣B的影響,傳統(tǒng)EMP方法輸出SINR非常低,進(jìn)行協(xié)方差矩陣重構(gòu)后(文獻(xiàn)[16])輸出SINR有明顯改善,但期望信號(hào)相消仍然使得輸出SINR有所下降。文獻(xiàn)[19]方法由于利用迭代自適應(yīng)法重構(gòu)了INCM,解決了波束形成時(shí)期望信號(hào)相消的問題,在采樣點(diǎn)數(shù)較高的條件下輸出SINR與本文方法相近,但在低采樣點(diǎn)條件下,本文算法仍具有明顯優(yōu)勢。相較于泰勒估計(jì)方法,本文所采用的凸約束下泰勒估計(jì)法對信號(hào)協(xié)方差矩陣估計(jì)精度更高,對主瓣干擾抑制更加徹底,從仿真圖中可以看出,本文方法輸出SINR接近靜態(tài)輸出水平。

實(shí)驗(yàn)5均勻面陣仿真

上述實(shí)驗(yàn)對本文所提出方法的估計(jì)誤差,干擾抑制性能等進(jìn)行了詳細(xì)的分析,實(shí)驗(yàn)5將通過仿真驗(yàn)證算法拓展到二維陣列的有效性。實(shí)驗(yàn)采用10×10的均勻面陣,坐標(biāo)系建立參考文獻(xiàn)[27],陣元間距為半波長,期望信號(hào)SNR為0 dB,來波方向?yàn)楦┭?°,方位0°;主瓣干擾SINR為10 dB,方向?yàn)楦┭?°,方位5°;旁瓣干擾SINR為20 dB,方向?yàn)楦┭?5°,方位-30°。圖7為采樣點(diǎn)數(shù)為20的條件下,MUSIC估計(jì)出的空間譜。

圖7 均勻面陣MUSIC空間譜Fig.7 MUSIC space spectrum of uniform plane array

通過仿真圖可以看出,本文算法應(yīng)用于二維陣列在低采樣點(diǎn)條件下可以清晰的分辨出空間分布較近的期望信號(hào)與主瓣干擾信號(hào)。圖8為主瓣干擾抑制后的波束形成方向圖。

圖8 均勻面陣方向圖Fig.8 Beam pattern of uniform plane array

通過仿真圖可以看出,由于主瓣干擾被消除,方向圖主波束無畸變和峰值偏移的問題,在旁瓣干擾位置能夠準(zhǔn)確的形成零陷,可以對旁瓣干擾進(jìn)行有效抑制。

5 結(jié) 論

提出了基于凸約束下泰勒估計(jì)的抗主瓣干擾自適應(yīng)波束形成方法。本文方法適用于訓(xùn)練序列存在期望信號(hào)和低采樣點(diǎn)條件。相比現(xiàn)有EMP類主瓣干擾抑制算法,本文方法省去了繁瑣的重構(gòu)INCM的過程,方法復(fù)雜度更低。利用線性約束進(jìn)行自適應(yīng)波束形成,能夠在期望信號(hào)方向形成主瓣,旁瓣干擾位置準(zhǔn)確的形成深零陷,同時(shí)能夠獲得較低的旁瓣增益,避免了期望信號(hào)相消引起的波形畸變和輸出SINR降低問題。理論分析和仿真結(jié)果顯示,本文方法輸出SINR明顯高于其他對比算法,說明該算法對主、旁瓣干擾抑制更加充分,算法性能優(yōu)越。