有限任務(wù)間隔時(shí)間內(nèi)的裝備選擇性維修決策研究

王少華, 張仕新, 李 勇, 劉宏祥

(1. 陸軍裝甲兵學(xué)院裝備保障與再制造系, 北京 100072; 2. 陸軍裝甲兵學(xué)院科研學(xué)術(shù)處, 北京 100072)

0 引 言

在軍事裝備保障領(lǐng)域,保持和恢復(fù)裝備的戰(zhàn)備完好性、確保裝備在任務(wù)期間的可靠性是維修保障工作的最主要目標(biāo),但是受維修保障任務(wù)強(qiáng)度、任務(wù)間隔時(shí)間以及可用保障資源等諸多因素的影響,往往無(wú)法對(duì)裝備實(shí)施“應(yīng)修盡修”[1],特別是在相鄰任務(wù)周期內(nèi),在給定維修時(shí)間的條件下,必須實(shí)施選擇性維修,即對(duì)有限的維修工作進(jìn)行組合,以滿(mǎn)足相關(guān)約束,并盡量提高下次任務(wù)周期內(nèi)的裝備可靠度,為確保任務(wù)成功提供支撐[2-4]。

選擇性維修決策主要包括維修對(duì)象的選擇以及維修行為的選擇,研究者已經(jīng)對(duì)選擇性維修進(jìn)行了一定的研究。Bris[5]以系統(tǒng)可用度為約束,以費(fèi)用最小化為目標(biāo),提出了復(fù)雜系統(tǒng)的選擇性維修決策方法,Laggoune[6]和Wang[7]等采用與Bris同樣的假設(shè),采用不同的求解算法對(duì)選擇性維修方法進(jìn)行了研究。但上述模型假設(shè)系統(tǒng)各部件皆為隨機(jī)失效并且只進(jìn)行換件修理,不適于描述擁有劣化期的復(fù)雜系統(tǒng)。Moghaddam[8]等考慮了系統(tǒng)役齡,以維修費(fèi)用為約束,以系統(tǒng)可靠性最大化為目標(biāo),研究了選擇性維修決策方法,但該模型未考慮最小維修等情況。Cassady[9]等以威布爾模型描述部件可靠度,以維修時(shí)間為約束,以系統(tǒng)可靠度最大化為目標(biāo),考慮了最小維修和換件維修,建立了多部件系統(tǒng)的選擇性維修決策模型。但并未提出有效的優(yōu)化求解算法。為此,本文以最小維修和換件修理構(gòu)成部件待選方案,為多部件系統(tǒng)在有間隔任務(wù)過(guò)程中的選擇性維修決策建模和求解算法進(jìn)行研究[10-11]。

1 多任務(wù)間隔的裝備狀態(tài)變化模型

對(duì)于裝甲裝備來(lái)說(shuō),其系統(tǒng)構(gòu)成往往十分復(fù)雜,根據(jù)系統(tǒng)功能與任務(wù)之間的映射關(guān)系,可將裝備簡(jiǎn)化為復(fù)雜的串并聯(lián)系統(tǒng)。為了便于分析,將裝備視為由子系統(tǒng)i(i=1,2,…,m)串聯(lián)而成的復(fù)雜系統(tǒng),子系統(tǒng)i由ni(i=1,2,…,m)個(gè)相同部件并聯(lián)組成,將子系統(tǒng)i中第j個(gè)部件表示為Si,j,各部件、子系統(tǒng)、系統(tǒng)狀態(tài)為正?；蚬收蟍12-13]。

根據(jù)軍事裝備運(yùn)用規(guī)律,假設(shè)裝備系統(tǒng)連續(xù)執(zhí)行多個(gè)作戰(zhàn)任務(wù),各任務(wù)之間存在一定的時(shí)間間隔,在有限的任務(wù)間隔期內(nèi)可以對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部件進(jìn)行事后維修或預(yù)防性維修,以提高后續(xù)任務(wù)的可靠度[14]。假設(shè)系統(tǒng)內(nèi)各部件具有唯一的故障模式,部件的維修行為包括:事后維修和預(yù)防性維修,其中故障后可采用最小維修或事后更換,預(yù)防性維修為預(yù)防性更換。從合理性上分析,預(yù)防性更換時(shí)間應(yīng)低于最小維修時(shí)間,而最小維修時(shí)間應(yīng)小于事后更換時(shí)間,最小維修的成本低于預(yù)防性更換,而預(yù)防性更換的成本應(yīng)低于事后更換。

在作戰(zhàn)任務(wù)之間,維修行為將改變各部件的狀態(tài),影響任務(wù)周期內(nèi)的系統(tǒng)可靠性。這里以k(k=1,2,…)表示系統(tǒng)的任務(wù)周期數(shù),分別以Xi,j(k)和Yi,j(k)表示部件Si,j在第k次任務(wù)開(kāi)始前和結(jié)束后的狀態(tài),則

(1)

同樣,分系統(tǒng)i的狀態(tài)也標(biāo)識(shí)為{0,1},其中,0表示故障,1表示正常,則

(2)

由多個(gè)分系統(tǒng)串聯(lián)而成的整裝可靠度為

(3)

當(dāng)任務(wù)k完成后,裝備系統(tǒng)以及其子系統(tǒng)的狀態(tài)同樣可采用相同方式進(jìn)行計(jì)算，即

(4)

(5)

(6)

采用可靠度函數(shù)來(lái)表示裝備系統(tǒng)內(nèi)各部件的狀態(tài),假定系統(tǒng)內(nèi)部件Si,j在任務(wù)k開(kāi)始時(shí)處于正常工作狀態(tài),將部件Si,j在第k次任務(wù)期間未發(fā)生故障的概率表示為

rij(k)=P(Yij(k)=1|Yij(k)=1)

(7)

假設(shè)部件的可靠度函數(shù)已知,則ri,j表示為部件Si,j的條件可靠度,部件Si,j在任務(wù)k開(kāi)始前、結(jié)束后役齡和任務(wù)周期長(zhǎng)度分別表示為Pi,j(k)、Qi,j(k)和L(k),顯然有Qi,j(k)=Pi,j(k)+L(k),即

rij(k)=R(Qij(k)|Pij(k))=

R(Pij(k)+L(k))/R(Pij(k))

(8)

假設(shè)系統(tǒng)內(nèi)各子系統(tǒng)內(nèi)部件的可靠度都符合威布爾分布模型,且同一子系統(tǒng)內(nèi)部件可靠度函數(shù)相同,第i個(gè)子系統(tǒng)內(nèi)部件的威布爾分布形狀參數(shù)和尺度參數(shù)分別為βi和ηi,即

(9)

部件Si,j在任務(wù)k結(jié)束時(shí)處于可用狀態(tài)的概率Ri,j(k)取決于任務(wù)周期內(nèi)的條件可靠度rij(k)和任務(wù)初始狀態(tài)Xi,j(k),即

Rij(k)=P(Yij(k)=1)=rij(k)Xij(k)

(10)

則裝備系統(tǒng)在任務(wù)k結(jié)束后的可靠度可表示為

(11)

2 多任務(wù)間隔的裝備維修行為

作為序貫執(zhí)行多項(xiàng)任務(wù)的軍事裝備,在有限的任務(wù)間隔期內(nèi)通過(guò)選擇性維修最大限度地提高裝備的任務(wù)可靠度是維修決策的關(guān)鍵。當(dāng)某次任務(wù)結(jié)束后,系統(tǒng)內(nèi)部件Si,j(i=1,2,…,m;j=1,2,…,ni)可能處于正?；蚬收蠣顟B(tài),對(duì)于故障部件,維修行為集合為{最小維修,事后更換};對(duì)于正常部件,維修行為集合為{不維修,預(yù)防性更換}。假定第k次任務(wù)已經(jīng)結(jié)束,針對(duì)部件狀態(tài)進(jìn)行相應(yīng)的維修,不同的維修行為對(duì)部件狀態(tài)和役齡產(chǎn)生的影響如表1所示。

表1 維修行為及其效果

由表1可知,不維修和最小維修在執(zhí)行前后并不改變部件的可靠性,只是通過(guò)維修達(dá)到排除故障的目的,部件在下個(gè)任務(wù)周期內(nèi)不發(fā)生故障的概率并未發(fā)生改變;事后更換和預(yù)防性更換則能夠通過(guò)換件將部件役齡歸零,對(duì)于威布爾分布形狀參數(shù)βi>1的部件,更換能夠提高部件在任務(wù)周期內(nèi)的可靠度。

對(duì)于給定的子系統(tǒng)i,其中部件Si,j(j=1,…,ni)的維修時(shí)間是相同的,將最小維修時(shí)間表示為tmi,事后更換時(shí)間表示為tfri,預(yù)防性更換時(shí)間表示為tpri,由于事后更換易造成較大的保障延遲,因此通常tri的值最大,為了簡(jiǎn)化模型,這里假定上述3個(gè)參數(shù)取值皆為常數(shù)。

這里以Wi,j(k)表示任務(wù)k結(jié)束后部件Si,j的最小維修決策變量,即

(12)

則在任務(wù)k結(jié)束后裝備進(jìn)行最小維修的總時(shí)間可以表示為

(13)

同樣,可以得到任務(wù)k結(jié)束后部件Si,j的更換決策變量為

(14)

在任務(wù)k結(jié)束后裝備進(jìn)行部件更換的總時(shí)間TR(k)可以分為事后更換時(shí)間TFR(k)和TPR(k),TFR(k)的計(jì)算式為:

(15)

TPR(k)的計(jì)算式為

(16)

則在一個(gè)任務(wù)間隔期內(nèi),對(duì)裝備進(jìn)行維修的總時(shí)間為

T(k)=TM(k)+TFR(k)+TPR(k)

(17)

3 多任務(wù)間隔的裝備選擇性維修決策

3.1 選擇性維修決策模型

在執(zhí)行多任務(wù)的間隔期內(nèi),可在任務(wù)間隔期約束條件下結(jié)合部件狀態(tài)進(jìn)行相應(yīng)的選擇性維修決策,以最大限度地提高系統(tǒng)在下一任務(wù)周期保持正常狀態(tài)的概率。由于裝備在多任務(wù)間隔期內(nèi)進(jìn)行維修決策,因此維修決策是序貫決策問(wèn)題,假定在任務(wù)k結(jié)束后系統(tǒng)內(nèi)部件Si,j(i=1,2,…,m;j=1,2,…,ni)的狀態(tài)已知,則系統(tǒng)維修決策問(wèn)題即為Wi,j(k)和Vi,j(k)(i=1,2,…,m;j=1,2,…,ni)的賦值問(wèn)題,決策目標(biāo)是使第k任務(wù)周期內(nèi)裝備可靠度最大化,決策問(wèn)題可視為0-1非線(xiàn)性?xún)?yōu)化問(wèn)題,則

maxR(k+1)=

(18)

s.t.

T(k)≤MaxT

(19)

Wij(k)+Vij(k)≤1;?i,j

(20)

Yij(k)+Wij(k)≤1;?i,j

(21)

Xij(k+1)=Yij(k)+Wij(k)+

Vij(k)(1-Yij(k));?i,j

(22)

Pij(k+1)=(Pij(k)+L(k))(1-Vij(k));?i,j

(23)

式中,MaxT為相鄰任務(wù)之間的時(shí)間間隔,即維修周期長(zhǎng)度;式(20)能夠保證一次維修中被修部件不同時(shí)進(jìn)行最小維修和更換;式(21)保證正常工作部件不進(jìn)行最小維修;式(22)用來(lái)更新下一任務(wù)開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)各部件的狀態(tài),若維修或更換則置部件狀態(tài)為0,若無(wú)維修則保持修前狀態(tài);式(23)用來(lái)更新下一任務(wù)開(kāi)始時(shí)部件役齡,若不更換,則延續(xù)第k次任務(wù)結(jié)束時(shí)的役齡,若更換,則役齡置0。

3.2 選擇性維修決策優(yōu)化

對(duì)于第2.1節(jié)確定的決策模型,當(dāng)部件數(shù)量較少時(shí),可以采用枚舉法等進(jìn)行優(yōu)化求解[15],但隨著部件數(shù)量的增加,決策解空間將隨之成指數(shù)遞增。為了提高求解效率,這里采用遺傳算法進(jìn)行維修決策優(yōu)化,采用遺傳算法工具箱GAOT進(jìn)行優(yōu)化求解,具體步驟為:

步驟1構(gòu)造染色體,由Wi,j(k)和Vi,j(k)的定義可知,直接采用二進(jìn)制編碼,每部件占用兩個(gè)二進(jìn)制位,因此每個(gè)染色體長(zhǎng)度為2 m;

步驟2確定種群規(guī)模、最大迭代次數(shù)、初始交叉率、變異率等參數(shù);

步驟3計(jì)算各染色體的適應(yīng)度。按照式(18)計(jì)算各染色體對(duì)應(yīng)的裝備任務(wù)可靠度R,適應(yīng)度函數(shù)f取值越低,被選中概率越大,因此令f=-R,由于約束條件的存在,可能出現(xiàn)不可行解,將此類(lèi)染色體f置0,以降低其遺傳概率;

步驟4遺傳操作。(a)選擇操作:將隨機(jī)遍歷抽樣與基于適應(yīng)度重插法相結(jié)合,以保持種群的多樣性,防止算法過(guò)早收斂,使最優(yōu)個(gè)體獲得更高的繁殖概率;(b)交叉操作:采用基于交叉算子的重組策略,采用多點(diǎn)交叉算子,以提高算法對(duì)解空間的搜索效率;(c)變異操作:為了增加種群的多樣性,采用時(shí)變的變異概率,即在迭代前期取較大值的變異率,以擴(kuò)大搜索范圍,隨迭代次數(shù)的累加逐漸縮小變異概率,以加快收斂速度。

步驟5終止條件。當(dāng)?shù)螖?shù)滿(mǎn)足終止條件,輸出最優(yōu)解。

通過(guò)上述遺傳迭代計(jì)算,即可得到當(dāng)前選擇性維修的最優(yōu)解。max(-f)的值越大表明參數(shù)估計(jì)效果越好,因此可利用該指標(biāo)檢驗(yàn)上述參數(shù)估計(jì)方法的有效性。

4 案例分析

假設(shè)某型搶修裝備分別配備有兩套發(fā)電機(jī)和電焊機(jī),發(fā)電機(jī)為電焊設(shè)備提供能源,在戰(zhàn)時(shí)保障時(shí)要求至少有1套發(fā)電機(jī)和電焊設(shè)備正常工作。該型裝備可視為兩個(gè)并聯(lián)系統(tǒng)串聯(lián)而成的系統(tǒng),將發(fā)電機(jī)標(biāo)識(shí)為S11和S12,將電焊機(jī)標(biāo)識(shí)為S21和S22。假設(shè)發(fā)電機(jī)和電焊機(jī)的可靠度服從威布爾分布,設(shè)備的可靠度參數(shù)與維修時(shí)間參數(shù)如表2所示。

表2 可靠度參數(shù)與維修時(shí)間參數(shù)/h

假設(shè)在任務(wù)k完成后,該系統(tǒng)以及內(nèi)各部件狀態(tài)和役齡如表3所示。

表3 系統(tǒng)內(nèi)各部件狀態(tài)和役齡(任務(wù)k完成后)

如表3所示,系統(tǒng)中S12和S21發(fā)生損壞,S11和S22正常工作,系統(tǒng)也能正常工作。假設(shè)下一任務(wù)在8 h后開(kāi)始,即MaxT=8,下一任務(wù)周期長(zhǎng)度L(k)=50,決策者需要在下次任務(wù)開(kāi)始前進(jìn)行選擇性維修,以提高裝備在任務(wù)周期內(nèi)的可靠性。由第2節(jié)中求解模型可知系統(tǒng)中4個(gè)部件各有2個(gè)決策變量,有28=256個(gè)理論解,采用本文提出的基于遺傳算法的求解方法進(jìn)行優(yōu)化決策。

設(shè)置種群規(guī)模NIND=30,最大迭代次數(shù)MaxGen=50,代際保留比率GGap=0.95,交叉幾率px=0.7,變異概率pm=0.02;運(yùn)行Matlab求解程序,可得到最優(yōu)決策解為W=[0,1,1,0],V=[1,0,0,1],即S12和S21實(shí)施最小維修,S11和S22實(shí)施換件維修,由約束條件可知,S11和S22實(shí)施的換件維修為預(yù)防性更換,修后下次任務(wù)可靠度R=0.808 3。

迭代求解過(guò)程如圖1所示。由圖1可知,選擇維修決策的遺傳算法求解過(guò)程呈現(xiàn)較強(qiáng)的一致性,最優(yōu)解和求解均值都能夠快速收斂,表明求解結(jié)果是可信的。采用枚舉法檢驗(yàn)遺傳算法求解結(jié)果的有效性,在256個(gè)理論

解中按照式(18)～式(22)求得所有的決策可行解,如表4所示。

圖1 遺傳算法迭代求解過(guò)程Fig.1 Iterative calculation process of genetic algorithm

可行解W11W12W21W22V11V12V21V22R(k+1)T(k)/h1011010010.808 382010000110.800 483010010100.798 374011000010.752 665010000100.743 356000001010.707 587010010010.703 968001010010.683 479001001000.679 3710011010000.675 9511000010100.675 0612010000010.655 4413011000000.629 3314000010010.595 1515000000110.581 6716001010000.571 5417001000010.546 9518000000100.540 2419000000010.476 3320001000000.457 3221000011000.446 1722000001000.429 1523010010000.426 9324010000000.397 5125000010000.361 0226000000000.288 90

由表4中的數(shù)據(jù)可知,由遺傳算法得到的即為可行解中最優(yōu)解,本次維修耗費(fèi)8 h,滿(mǎn)足約束條件。完成修理后,系統(tǒng)狀態(tài)為X(k+1)=[0,1,1,0],役齡為P(k+1)=[0,1,1,0],開(kāi)始執(zhí)行第k+1次任務(wù),系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生隨機(jī)變化,并在任務(wù)周期后依據(jù)系統(tǒng)該狀態(tài)進(jìn)行序貫的維修決策。假設(shè)在第k+1次任務(wù)后執(zhí)行30次任務(wù),任務(wù)周期長(zhǎng)度L和任務(wù)間隔期MaxT保持不變,分別為50 h和8 h,通過(guò)多次仿真,得到了在任務(wù)周期之間序貫維修條件下裝備任務(wù)可靠度的變化曲線(xiàn),如圖2所示。

圖2 裝備任務(wù)可靠度變化曲線(xiàn)Fig.2 Reliability curve of equipment task

由圖2可知,在裝備系統(tǒng)隨機(jī)劣化和選擇性維修條件下,裝備系統(tǒng)的任務(wù)可靠度能夠保持在0.75～0.85,任務(wù)可靠度相對(duì)穩(wěn)定。如果系統(tǒng)可靠度不滿(mǎn)足需求,可通過(guò)增加裝備數(shù)量或增加任務(wù)間隔期的方式提高系統(tǒng)可靠度。以任務(wù)間隔期為例,間隔期越長(zhǎng),可選的維修策略越多,從而提高裝備系統(tǒng)的任務(wù)可靠度,分別置MaxT為5 h、6 h、7 h,通過(guò)仿真計(jì)算裝備的任務(wù)可靠度,結(jié)果如圖3所示。

圖3 不同MaxT下裝備的任務(wù)可靠度變化曲線(xiàn)Fig.3 Reliability curve of different MaxT equipment mission

對(duì)比圖3中不同MaxT條件下裝備任務(wù)可靠度的變化曲線(xiàn),可知隨著MaxT的降低,系統(tǒng)任務(wù)可靠度也呈下降的趨勢(shì)。當(dāng)MaxT降低時(shí),當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)部件發(fā)生故障時(shí),執(zhí)行耗時(shí)較大的事后更換和預(yù)防性更換的機(jī)會(huì)被限制了,降低了序貫任務(wù)開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)的可靠度,以第k次任務(wù)為例,當(dāng)MaxT=8時(shí),可對(duì)S12和S21實(shí)施最小維修,S11和S22實(shí)施預(yù)防性更換,修后役齡為[0,60,40,0],當(dāng)MaxT=4時(shí),則只能對(duì)S12實(shí)施最小維修,S22實(shí)施預(yù)防性更換,修后役齡為[50,60,40,0],導(dǎo)致任務(wù)可靠度降低。因此從決策角度看,可通過(guò)調(diào)整任務(wù)間隔期的長(zhǎng)度來(lái)確保任務(wù)可靠度達(dá)到可接受的程度。從圖3的仿真分析結(jié)果也可以看出,本文提出的選擇性維修優(yōu)化求解算法是有效的。

5 結(jié) 論

由于軍事復(fù)雜裝備系統(tǒng)等對(duì)任務(wù)可靠性偏好程度較高,為了在序貫任務(wù)過(guò)程中，在有限維修時(shí)間約束條件下,提高裝備的任務(wù)可靠度,本文建立了復(fù)雜串并聯(lián)系統(tǒng)任務(wù)可靠度模型,以最小維修、預(yù)防更換和事后更換為維修策略,建立了以總維修時(shí)間為約束,以任務(wù)可靠度最大為目標(biāo)的選擇性維修決策模型。采用遺傳算法建立了選擇性維修決策優(yōu)化求解算法,解決了求解空間爆炸問(wèn)題。案例分析表明,本文建立的有限任務(wù)間隔時(shí)間內(nèi)裝備選擇性維修決策模型是有效的。由于選擇性維修決策往往面臨著備件、工具等時(shí)間之外的約束條件,下一步有必要針對(duì)這一問(wèn)題展開(kāi)進(jìn)一步的研究。