具有部分缺失數(shù)據(jù)混合瑞利分布參數(shù)的估計(jì)

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(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000)

0 引 言

瑞利分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)中一種重要的連續(xù)概率分布，當(dāng)今有許多學(xué)者對(duì)瑞利分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)研究，Abbas Pak等[1]在Estimation of System Reliability under Bivariate Rayleigh Distribution中研究了二元瑞利分布的可靠性估計(jì)問(wèn)題。楊慧超等[2]對(duì)缺失部分?jǐn)?shù)據(jù)的兩個(gè)Rayleigh分布參數(shù)進(jìn)行矩估計(jì)與檢驗(yàn)。在對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)做統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，常會(huì)碰到數(shù)據(jù)缺失的情況，田霆等[3]對(duì)定時(shí)截尾缺失數(shù)據(jù)下指數(shù)分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。探究當(dāng)缺失部分?jǐn)?shù)據(jù)時(shí)混合瑞利分布總體的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，利用矩估計(jì)的方法求出參數(shù)的矩估計(jì)，給出其漸近正態(tài)性，并且隨機(jī)模擬的結(jié)果也表明了參數(shù)估計(jì)是正確的。

1 矩估計(jì)及其漸近性質(zhì)

假設(shè)有四個(gè)混合瑞利分布[1]，其密度函數(shù)分別為

首先設(shè)定為常數(shù)0.2，(1-q)為常數(shù)0.8，然后分別取δi>0(i=1,2)為兩個(gè)總體的未知參數(shù)，ηi(i=1,2)為另兩個(gè)總體的未知參數(shù)，接著依次對(duì)混合瑞利分布獨(dú)立觀測(cè)n次，從每個(gè)分布總體抽取樣本進(jìn)行觀測(cè)時(shí)，記1-p為缺失樣本時(shí)的概率。Xi是第一個(gè)總體的第i個(gè)樣本觀測(cè)值，i=1,2,…,n，且(Xi,θi)是第一個(gè)混合瑞利分布第i個(gè)總體觀測(cè)值，假設(shè)沒(méi)有觀測(cè)到第i個(gè)樣本記θi=0，如果不是這樣記θi=1，Yi是第二個(gè)總體的第i個(gè)樣本觀測(cè)值，i=1,2,…,n，且(Yi,βi)為第二個(gè)混合瑞利分布總體的第i個(gè)總體觀測(cè)值，若沒(méi)有觀測(cè)到第i個(gè)樣本記βi=0，如果不是這樣記βi=1。

下面對(duì)參數(shù)δ1,δ2進(jìn)行矩估計(jì)。根據(jù)(Xi,θi)，i=1,2,…,n,可以建立如下的矩估計(jì)方程[2]

其中

解出方程得

同理可得得到另一組觀測(cè)值(Yi,βi)后，得到η1,η2的矩估計(jì)

對(duì)如上參數(shù)δi(i=0,1),ηi(=0,1)的矩估計(jì)，下證相合性以及漸近正態(tài)性[3]。

證明： 因?yàn)閧Xi,θi,1

并且

同理得出

因此得出

令∑=E(W1-EW1)(W1-EW1)T，于是根據(jù)多元中心極限定理得出

令

于是得出

根據(jù)引理1

并且

同理令

根據(jù)引理1

并且

同理證出

2 隨機(jī)模擬

表1 隨機(jī)模擬結(jié)果

通過(guò)上述得出當(dāng)缺失部分?jǐn)?shù)據(jù)時(shí),混合瑞利分布的參數(shù)矩估計(jì)具有漸近正態(tài)性，由矩估計(jì)的方法得到的隨機(jī)模擬結(jié)果見(jiàn)表1，參數(shù)估計(jì)值的誤差也都相對(duì)很小，充分表明矩估計(jì)的方法具有穩(wěn)健性。