突破求軌跡方程教學的難點*

廣東省廣州市增城區(qū)新塘中學(511340) 陳武釗

學生在遇到求軌跡方程的題目時,往往覺得難度很大,無處下手.而教師在講授這類題目時,也多是就題論題,無法將具有一般性的思維方法教給學生.所以本文就求軌跡方程教學中遇到的難點進行研究,希望總結一些一般性的思維方法,供師生參考.

求軌跡方程題目的理論基礎來源于曲線與方程的關系:

一般地,在直角坐標系中,如果某曲線C(看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡)上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關系(人教版選修2-1第34-35頁):

(1)曲線上點的坐標都是這個方程的解;

(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.

那么,這個方程叫做曲線的方程;這條曲線叫做方程的曲線.

關系如圖1:

圖1

由圖1可知,求軌跡方程需要經(jīng)歷兩個階段:

(1)由曲線C→動點M→坐標(x,y)→方程f(x,y)=0逆時針的方程生成階段.

(2)由方程f(x,y)=0→坐標(x,y)→動點M→曲線C順時針的方程檢驗階段.

一、突破方程生成階段

此處的難點是學生不知如何將“按某種規(guī)律運動”的條件翻譯成“x、y的制約關系”.由于學生頭腦中所學數(shù)學知識呈碎片化,知識網(wǎng)絡未能構建成形.所以學生對信息的處理多是零散的,無法進行深入整合.能不能做對題基本靠靈感.

突破難點的方法是利用圖1明確目標,對條件逐條翻譯,用數(shù)形結合方法整合條件.

類型一、條件稀少,唯一動點

例1(人教版選修2-1第35頁例1)設A、B兩點的坐標分別是(-1,-1),(3,7),求線段AB的垂直平分線.

分析將幾何對象:“AB的中垂線”轉化為代數(shù)表示:

例1需要學生了解中垂線上點的特征及兩點間距離公式.而這兩項知識呈先后使用,無需整合.例1條件較少,只有唯一動點,容易翻譯.所以使用直接法就可以解決.解題過程略.

類型二、條件眾多,或動點不唯一

不管是條件眾多還是動點不唯一的題目,學生都容易產(chǎn)生無從下手的感覺.條件眾多需要學生更高的整合信息的能力.而動點不唯一,會產(chǎn)生更多變量,要求學生有更高的數(shù)據(jù)處理能力.

例2(人教版選修2-1第37頁習題2.1A組第4題)過原點的直線與圓x2+y2-6x+5=0相交于A,B兩點,求弦AB的中點M的軌跡方程.

分析例2由條件①直線l過原點;②直線l與圓相交于點A、B;③M是弦AB的中點,而且有動直線l和動點A、B、M.如何將三個條件翻譯成代數(shù)表示體現(xiàn)了不同的整合信息能力.從而會有不同的解題過程.

思路一將三個條件逐個翻譯:①設直線l:y=kx.②設點A(x1,y1)、B(x2,y2).y1=kx1,y2=kx2.將“直線l與圓相交于點A、B”翻譯成

思路二由條件②、③整合可知直線CM垂直于直線AB,翻譯為斜率kAB·kCM=-1.由條件①可知kOM=kAB,所以kOM·kCM=-1.但解題過程中要考慮斜率不存在的情況,即直線CM垂直于x軸.

思路三由條件②、③整合可知直線CM垂直于直線AB,翻譯為由條件①可知所以

思路四由條件①、②、③整合可知直線CM垂直于直線AB,△OCM為直角三角形.所以OC2=OM2+CM2.

圖2

思路一從分析過程可以看到思考時完全沒有用到數(shù)形結合整合條件,而是逐一把幾何條件翻譯成代數(shù)式,然后使用點差法消去A、B的坐標.解題過程比較繁瑣,需要較高的代數(shù)計算能力和技巧.所以實際上具備這樣的計算能力的學生必然能想到其他的解題方法.而不具備這樣的計算能力的學生不可能完成解題全過程.但作為四種思路中唯一沒有使用數(shù)形結合的思路,可以作為強烈的對比項.

思路二和三都是基于條件②、③整合的結果,但使用不同的知識來演繹.它們之間也可以作為對比,比較出斜率和向量使用的差異.

思路四是基于條件①、②、③整合的結果.這種高度的整合,給人取巧的感覺,可能不太受人重視.但它源于圖形△OCM對題目的特異性(直線過原點)和一般規(guī)律(垂徑定理的推論)的形象表述.所以解題過程達到了最大的簡化.

通過對例2的一題多解,可以充分說明對條件的整合能力的差異導致解題過程的繁簡差異.也體現(xiàn)了數(shù)形結合在整合過程起的巨大作用.

類型三、典型條件,典型方法

(1)待定系數(shù)法

若所求軌跡能確定直線、圓等熟知方程的曲線.可以先設含有待定系數(shù)的曲線方程,再根據(jù)條件建立方程組,解出參數(shù)得到方程.

(1)求C的方程;

(2)代入法

若從動點M(x,y)跟隨主動點P(x0,y0)運動,而主動點P沿著已知方程的曲線運動.則可以利用M與P的坐標關系,代入已知方程,求得M的軌跡方程.

(1)求點P的軌跡方程;

(3)點差法

利用交點在圓錐曲線上,坐標滿足方程,將焦點坐標分別代入圓錐曲線,然后作差,構造出中點坐標和斜率的關系.從而得到中點的軌跡方程.

例2的思路1就是用了點差法.

(4)定義法

如果定點軌跡滿足已知曲線的定義,則可根據(jù)題設條件和圖形的特點,尋求其數(shù)量關系,再由曲線定義直接寫出方程.

例5(2016年理科數(shù)學新課標全國卷1卷)設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過點B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E.

(I)證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點E的軌跡方程;

上述四種典型方法都需要一些典型條件,所以易于辨析.只要強化訓練,學生容易掌握.從近幾年的全國卷來看,求軌跡方程也多是這幾種類型,如例3至例5.所以教師要重點講授,讓學生形成圖式.

二、突破方程檢驗階段

方程檢驗時要注意在方程變形前后有沒有等價,在翻譯階段有沒有改變了限制條件.

例1的解題步驟上下完全等價,所以無需剔除點,也就不需寫檢驗過程.

圖3

總之,通過求軌跡方程的問題的難點分析,我們需要理解曲線和方程的關系.在方程生成階段利用數(shù)形結合與等價代換的思想,整合好條件生成解題思路.其中典型條件下使用典型方法是重點訓練方向,從近幾年高考題目可以得到印證.在方程檢驗階段比較簡易的檢驗方法是作圖、注意x、y的取值范圍、注意未知數(shù)的開偶次方和做分母.