淺談初中數(shù)學中的類比思想

廣東省廣州市聚德中學(510000) 江韻怡

關鍵字 類比;探究;相似;數(shù)學思想

古語云:授人以魚,只供一飯.授人以漁,則終身受用無窮.教師教授知識,更重要是要教授學生探究知識的思想方法,新《數(shù)學課程標準》指出“數(shù)學教學活動中教師的主要職責是激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性,向學生提供充分從事數(shù)學活動的機會,幫助他們在自主探求和合作交流中真正理解掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法”,因此,如何在日常教學中拓展和培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力,成為數(shù)學教學活動的一個重要環(huán)節(jié)和重要的課題.

“類比”作為一種重要的思維方法在數(shù)學教學中有著特殊的作用.類比是根據(jù)兩種或兩類對象在某些方面的相似,得出它們在其他方面也有可能相似的結論.它是一種創(chuàng)造性的數(shù)學思想方法.在初中數(shù)學教學過程中,應特別關注對學生思想方法的灌輸和培養(yǎng),在這里簡單談談初中數(shù)學教學過程中如何滲透和應用類比思想.

一、新課教學中的類比

維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”,認為學生的發(fā)展有兩種水平:一種是學生的現(xiàn)有水平,指獨立活動時所能達到的解決問題的水平;另一種是學生可能的發(fā)展水平,也就是通過教學所獲得的潛力.兩者之間的差異就是最近發(fā)展區(qū).教學應著眼于學生的最近發(fā)展區(qū),為學生提供帶有難度的內容,調動學生的積極性,發(fā)揮其潛能,超越其最近發(fā)展區(qū)而達到下一發(fā)展階段的水平,然后在此基礎上進行下一個發(fā)展區(qū)的發(fā)展,而在新課中進行類比教學,就是聯(lián)系新舊知識,降低學習新知識的難度.

1.概念類比

“一元一次方程和一元一次不等式”

_名稱_____一元一次方程_______________一元一次不等式____________定義含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)_____________________________________次數(shù)是一的整式方程含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)數(shù)次數(shù)是一的不等式________性質(1)等式兩邊同時加一個數(shù)或減去同一個數(shù)或同一個整式,等式仍然成立.(2)等式兩邊同時擴大或縮小相同的倍數(shù)(0除外),等式仍然成立.(3)等式兩邊同時乘方(或開方),等式仍然成立(1)不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)(或式子)(0除外),不等號的方向不變.(2)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變.(3)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數(shù),不等號的_______________________________________________________________________________________________方向改變.

不難發(fā)現(xiàn)一元一次方程與一元一次不等式無論在定義與性質還是在解法方面都有非常類似的地方,在教學時適當進行類比可以降低教學難度,學生輕松掌握知識點.另外也可以用圖示的方法進行概念之間的類比,例如在教授一般的平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念時可以進行如下圖示類比:

概念知識枯燥難懂,在新課的教學中運用類比推理探究的思想方法,讓學生在學習新知識的同時能溫故舊知識,降低了學習的難度,使得學生克服學習數(shù)學的恐懼感,提高學生學習數(shù)學的信心,

2.定理類比

數(shù)學定理短小精悍,其中的內容必須細細斟酌才可以領會其中的精粹,同時又因為數(shù)學語言的簡練,使得學生難以體驗和理解定理,甚至會出現(xiàn)定理之間的混淆,例如我們在教授平行公理和垂直公理時,學生會把兩個定理之間的條件張冠李戴.

平行公理:過直線外一點,有且只有一條直線與已知直線平行

垂直公理:在同一平面內,過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

又如全等三角形與相識三角形的判定定理類比:

_______________________________________________________全等三角形 相識三角形______判定定理_1____三邊對應相等(SSS)_______三邊對應成比例___判定定理2兩邊對應相等,對應________________________________________________夾角相等(SAS)兩邊對應成比例,對應夾角相等______判定定理3兩個角對應相等,一條_____________邊_________________________________________對應相等(ASA.AAS)兩個角對應相等

二、類比解題思路

所謂類比解題思路,就是運用類比方法,通過比較兩個對象或問題的相似性,得出新的數(shù)學知識的命題或方法的思路.從而輕松解決問題.

在線段中點與角平分線的教學中,可以發(fā)現(xiàn)它們之間有非常類似的特點,有一些題目驚人地相似,運用類比思想,可以讓學生輕松解決一些變式題型.

例如兩道題目:

題目1(線段中點)如圖1,點C在線段AB上,點M、N分別是AC、BC的中點.

圖1

(1)若AC=8cm,CB=6cm,求線段MN的長;

(2)若C為線段AB上任一點,滿足AC+CB=a,其它條件不變,你能猜想MN的長度嗎?寫出你的結論并說明理由;

(3)若點C在線段AB的延長線上,且滿足AC-BC=b,M、N分別為AC、BC的中點,你能猜想MN的長度嗎?請畫出圖形并寫出你的結論(不必說明理由).

題目2(角平分線)如圖2,OD是∠AOC的平分線,OE是∠BOC的平分線.

圖2

(1)如果 ∠AOC=48°,∠BOC=42°,求∠DOE的度數(shù);

(2)如圖∠AOB的大小不變,與(1)相同,而射線OC在∠AOB的內部繞點O旋轉,∠DOE的大小是否發(fā)生變化?若不變,請求出其度數(shù);

(3)如果∠AOB的大小仍不變,而射線OC在∠AOB的外部繞點O旋轉(∠AOC不大于90°),OD是∠AOC的平分線,OE是∠BOC的平分線,請畫出相應的圖形,此時∠DOE的大小是否發(fā)生變化?并說明理由.

顯而易見,以上兩個題目無論是出題的方向,題目的結構,解題的思路都是非常類似的,第一問運用具體數(shù)據(jù)讓學生感知到兩中點間的距離等于全長的一半,第二問運用抽象字母推導出第一問的結論,第三問將題目進行變式拓展,學生自己動筆畫圖探究新的結論.學生運用線段中點,線段和差的知識,通過類比就可以輕松解決角平分線的相關題型.

三、變式類比聯(lián)想

所謂類比聯(lián)想,就是在聯(lián)想的基礎上對兩個或兩個以上的事物進行比較,找出它們之間的共同點,進而受到新的啟示,產(chǎn)生新的思路,從而產(chǎn)生新的解決問題的方法.

題目3(2010·荊門)如圖3,MN是⊙O的直徑,MN=2,點A在⊙O上,∠AMN=30°,B為弧AN的中點,P是直徑MN上一動點,則PA+PB的最小值為___.

圖3

本題從題目上看純粹是一道運用圓的知識解決線段的和差問題,但是在具體操作中卻很難獲得突破口,很難具體求解出PA和PB的值,但是如果我們可以從PA+PB的最小值這個線段和的最小值問題上類比聯(lián)想到我們之前學過的軸對稱中最小距離這個知識的,找到點A的對稱點,以上題目的解題思路我們就可以迎刃而解了.

首先作A關于MN的對稱點Q,連接MQ,然后根據(jù)圓周角定理、圓的對稱性質和勾股定理解答.

圖4

解作A關于MN的對稱點Q,連接MQ,BQ,BQ交MN于P,此時AP+PB=QP+PB=QB,根據(jù)兩點之間線段最短,PA+PB的最小值為QB的長度,連接AO,OB,OQ,因為B為弧AD中點,所以 ∠BON=∠AMN=30°,所以 ∠QON=2∠QMN=2×30°=60°,所以因為直徑所以OB=1,所以則PA+PB的最小值為

四、類比推理

所謂類比推理,是通過對兩個研究對象的比較,根據(jù)它們某些方面的相同或相類似之處,推出它們在其它方面也可能相同或相類似的一種推理方法.相類比的兩個對象的相同性愈多,則結論的可靠程度就愈大;相類比的兩個對象的共有屬性與推出屬性之間的聯(lián)系愈緊密,則結論的可靠程度就愈高.

類比推理的一般步驟:先找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征,然后用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征,從而得出一個結論.

圖5

題目4觀察上列多面體,并把上表補充完整.觀察上表中的結果,你能發(fā)現(xiàn)a、b、c之間有什么關系嗎?請寫出關系式.

三棱柱的頂點數(shù)為:3×2=6,棱數(shù)為:3×3=9,面數(shù)為:2+3=5;四棱柱的頂點數(shù)為:4×2=8,棱數(shù)為:4×3=12,面數(shù)為:2+4=6;五棱柱的頂點數(shù)為:5×2=10,棱數(shù)為:5×3=15,面數(shù)為:2+5=7;六棱柱的頂點數(shù)為:6×2=12,棱數(shù)為:6×3=18,面數(shù)為:2+6=8.所以a+c-b=2.

康德說過:“每當理智缺乏可靠論證的思路時,類比這種方法往往能指引我們前進.”通過以上幾個方面的敘述,我們不難看出類比思想在初中數(shù)學中教授新知識定義和定理,概念的理解和記憶,探究解題思路,拓展新思考點,推理探究規(guī)律,創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)有著非常重要的作用.