基于Hansbo滲流的圓球土樣Biot固結(jié)分析

劉忠玉， 夏洋洋， 朱新牧， 張家超， 鄭占?jí)?/p>

(鄭州大學(xué) 土木工程學(xué)院 河南 鄭州 450001)

0 引言

在二維或三維固結(jié)初期，土體內(nèi)部的孔壓可能不降反升，該現(xiàn)象首先由Mandel在1953年發(fā)現(xiàn)，后來(lái)Cryer[1]在研究土球受均布?jí)毫较蛳蛲馀潘畷r(shí)也發(fā)現(xiàn)此現(xiàn)象，故而稱為Mandel-Cryer效應(yīng).這一效應(yīng)并不能用Terzaghi一維或擬多維固結(jié)理論解釋，而Biot從較嚴(yán)格的固結(jié)機(jī)理出發(fā)推導(dǎo)出的多維固結(jié)理論卻能很好地解釋這一效應(yīng)，因此，學(xué)者們對(duì)此展開了大量研究.文獻(xiàn)[2]通過(guò)試驗(yàn)再次證實(shí)了Mandel-Cryer效應(yīng)，文獻(xiàn)[3-6]通過(guò)多種方法求解了圓球土樣的Biot固結(jié)方程，并對(duì)Mandel-Cryer效應(yīng)的影響因素進(jìn)行了分析，研究結(jié)果表明，減小泊松比、滲透系數(shù)、楊氏模量等參數(shù)或遠(yuǎn)離排水邊界都會(huì)延遲Mandel-Cryer效應(yīng).但是，這些學(xué)者對(duì)Biot固結(jié)理論的研究都基于Darcy滲流，鮮有學(xué)者在研究Biot固結(jié)理論時(shí)考慮滲流的非線性.早在1925年，Terzaghi就指出大塑性黏性土中的滲流可能偏離Darcy定律.文獻(xiàn)[7-12]的滲透試驗(yàn)證實(shí)了這一論斷，并分別提出不同形式的非Darcy滲流數(shù)學(xué)擬合公式，其中應(yīng)用較廣的當(dāng)屬Hansbo滲流[7].

目前考慮Hansbo滲流對(duì)固結(jié)性狀影響的研究多集中于一維問(wèn)題，例如文獻(xiàn)[13-21]先后引入Hansbo滲流或其簡(jiǎn)化形式、指數(shù)滲流等修正了Terzaghi一維固結(jié)理論，成功解釋了后者所不能解釋的一些試驗(yàn)現(xiàn)象.隨著研究的深入，已有學(xué)者開始討論非Darcy滲流對(duì)砂井地基固結(jié)的影響[22-23]，但在Biot固結(jié)理論框架內(nèi)討論非Darcy滲流影響的報(bào)道還很少.因此，為深入探討非Darcy滲流對(duì)固結(jié)過(guò)程的影響，引入Hansbo滲流模型代替Darcy定律，基于Biot固結(jié)理論重新推導(dǎo)了圓球土樣的固結(jié)方程，并探討了Hansbo滲流參數(shù)對(duì)固結(jié)進(jìn)程的影響.

1 圓球土樣Biot固結(jié)方程的推導(dǎo)及求解

1.1 控制方程

設(shè)半徑為a的飽和圓球土樣為均質(zhì)且各向同性的線彈性體，其彈性模量為E，泊松比為μ.假定土顆粒和孔隙水不可壓縮，土球內(nèi)部沒有初始孔壓，且土樣外表面完全透水.現(xiàn)于其外表面沿徑向作用均布?jí)毫，這樣土樣內(nèi)的滲流和變形都是球?qū)ΨQ的.在外荷載作用下，t時(shí)刻距球心r處的徑向位移為u，體應(yīng)變?yōu)棣?，孔壓為p.并且規(guī)定徑向位移u沿半徑方向向外為正，反之為負(fù)；體應(yīng)變?chǔ)纫允湛s為正，反之為負(fù)；壓力q以壓為正，以拉為負(fù).則其平衡方程、物理方程和幾何方程分別為

(1)

(2)

(3)

式中：G為剪切模量；εr、ετ分別為徑向和環(huán)向應(yīng)變；σr、στ分別為徑向和環(huán)向應(yīng)力.

聯(lián)立方程組(1)～(3)，可得用位移和孔壓表示的平衡微分方程為

(4)

體應(yīng)變?chǔ)群蛷较蛭灰苪的關(guān)系為

(5)

(6)

設(shè)t時(shí)刻距球心r處的徑向水力梯度為i，徑向滲流速度為v，且二者之間的關(guān)系可以采用Hansbo滲流公式描述為

(7)

(8)

(9)

考慮滲流連續(xù)性，即土骨架的體積變化=孔隙體積變化=流入流出單元體的水量差，則

(10)

將式(8)代入式(10)，可得

(11)

聯(lián)立式(6)、(11)，可得

(12)

將式(12)代入式(4)，可得

(13)

式中：Cv=kE(1-μ)/[γw(1+μ)(1-2μ)]. 方程組(12)、(13)的邊值條件及初始條件分別為

(14)

u(0,t)=0；u(r,0)=0，

(15)

p(0,t)<∞；p(a,t)=0.

模板以1∶50 000地形圖為標(biāo)準(zhǔn)底圖，增加了鄉(xiāng)級(jí)行政區(qū)域界線、界樁點(diǎn)、界址點(diǎn)、鄉(xiāng)鎮(zhèn)及以上行政地名表面注記、審核表和制圖表等內(nèi)容。其中對(duì)界線、界樁點(diǎn)、界址點(diǎn)及注記的符號(hào)與表達(dá)方式進(jìn)行了專題性規(guī)定，在附圖上作為第一層面的信息展示，并對(duì)圖例內(nèi)容進(jìn)行了相應(yīng)的擴(kuò)充與修改。

(16)

為了便于討論引入下列無(wú)量綱化參數(shù)：

(17)

則式(12)～(16)可以化為

(18)

(19)

(20)

U(0,T)=0；U(R,0)=0,

(21)

P(0,T)<∞；P(1,T)=0,

(22)

1.2 有限差分法求解

上述微分方程組為變系數(shù)拋物型方程，取得其解析解較為困難.因此，擬采用Crank-Nicolson有限差分法求其數(shù)值解.即在0≤R≤1范圍內(nèi)以ΔR為步長(zhǎng)，將土球由球心沿半徑方向離散為N層，而對(duì)時(shí)間則按步長(zhǎng)ΔT進(jìn)行離散，則式(19)～(21)可離散為

(23)

(24)

(25)

這樣由式(23)～(25)可求得位移，然后再利用式(18)和式(22)求孔壓，可離散得

(26)

(27)

(28)

假定孔壓P在區(qū)間[Rb,Rb+1]內(nèi)為線性分布，則在j時(shí)刻的平均固結(jié)度為

(29)

2 算法驗(yàn)證

用Matlab軟件編制程序，為了驗(yàn)證本文算法及所編程序的正確性，對(duì)m=1.0或I1=0即Darcy滲流時(shí)的圓球土樣固結(jié)過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值模擬.模擬時(shí)，取ΔR=0.01，ΔT=0.000 01，得到的土球外邊界處的位移隨時(shí)間的變化曲線示于圖1.Cryer[1]曾給出了其解析解，為便于對(duì)比，將Darcy滲流時(shí)圓球土樣的邊界位移也示于圖1中.可以看出，本文有限差分解與Cryer的解析解基本一致，表明本文算法及所編程序是有效的.

圖1 Darcy滲流時(shí)圓球土樣的邊界位移Fig.1 Boundary displacement of the spheroidal soil based on Darcy′ flow

3 參數(shù)分析

文獻(xiàn)[3-6]討論了彈性模量和泊松比對(duì)土體固結(jié)過(guò)程的影響，本文僅討論Hansbo滲流參數(shù)的影響，分析中取E=5 MPa，μ=0.35，q=1 MPa.

3.1 Hansbo滲流對(duì)孔壓的影響

為考察Hansbo滲流對(duì)Mandel-Cryer效應(yīng)的影響，圖2給出了m不同時(shí)孔壓P隨時(shí)間T的變化曲線.很明顯，在加載的初期，孔壓都是升高的，達(dá)到峰值后再開始消散，即出現(xiàn)了Mandel-Cryer效應(yīng).在Darcy滲流條件下，在T=0.017時(shí)孔壓P達(dá)到其峰值1.12.而在Hansbo滲流條件下，當(dāng)m=1.2、1.5和1.8時(shí)，孔壓峰值分別為1.21、1.31和1.38，對(duì)應(yīng)的時(shí)間分別為0.022、0.027和0.031.因此，Hansbo滲流增強(qiáng)了Mandel-Cryer效應(yīng)，m越大，該效應(yīng)越明顯，即孔壓峰值就越大，且達(dá)到峰值所需要的時(shí)間也越長(zhǎng).

圖3給出了I1不同時(shí)孔壓P隨時(shí)間T的變化曲線.I1對(duì)Mandel-Cryer效應(yīng)的影響規(guī)律和m值相似，即I1越大，孔壓峰值就越大，且達(dá)到峰值所需要的時(shí)間也越長(zhǎng).

另外，圖2和圖3還表明，在孔壓達(dá)到峰值后轉(zhuǎn)入消散的固結(jié)中后期，Hansbo滲流將使圓球土樣內(nèi)的孔壓消散滯后，并且其參數(shù)越大，這種滯后越明顯.

圖2 m對(duì)孔壓的影響(I1=1.0, r=0.5a)Fig.2 Influence of m on pore water pressure (I1=1.0, r=0.5a)

圖3 I1對(duì)孔壓的影響(m=1.5, r=0.5a)Fig.3 Influence of I1 on pore water pressure (m=1.5, r=0.5a)

3.2 Hansbo滲流對(duì)固結(jié)度的影響

平均固結(jié)度Ut反映了圓球土樣的固結(jié)程度，也就是圓球土樣在相應(yīng)時(shí)刻的孔壓整體消散程度.為考察Hansbo滲流對(duì)平均固結(jié)度的影響，圖4和圖5分別給出了不同m或I1時(shí)平均固結(jié)度Ut隨時(shí)間T的變化曲線.很明顯，基于Hansbo滲流計(jì)算的固結(jié)度曲線都在基于Darcy滲流計(jì)算的曲線下方，并且Hansbo滲流參數(shù)I1或m越大，相應(yīng)的曲線偏離基于Darcy滲流計(jì)算的曲線越遠(yuǎn)，即固結(jié)度Ut隨著Hansbo滲流參數(shù)m和I1的增大而減小，也就是說(shuō)圓球土樣內(nèi)孔壓的整體消散隨Hansbo滲流參數(shù)m和I1的增大而減緩，這與文獻(xiàn) [16]中 Hansbo滲流對(duì)一維固結(jié)影響的結(jié)論相似.

3.3 Hansbo滲流對(duì)邊界位移的影響

記U(1,∞)為圓球土樣邊界處的最終位移，則U(1,T)/U(1,∞)為邊界處T時(shí)刻的無(wú)量綱位移，類似于一維固結(jié)時(shí)按變形定義的固結(jié)度Us.按照文獻(xiàn)[16，18，21]的分析，對(duì)于一維彈性飽和地基來(lái)說(shuō)，不論Darcy滲流還是Hansbo滲流，按變形定義的固結(jié)度Us和按孔壓定義的固結(jié)度Ut是一致的，但對(duì)于圓球土樣卻不是這樣的.圖6和圖7分別給出了不同Hansbo滲流參數(shù)下U(1,T)/U(1,∞)隨時(shí)間T的變化曲線.很明顯，這些曲線與圖4和圖5所示的Ut隨T的變化曲線盡管趨勢(shì)一樣，但數(shù)值相差卻很大；盡管Hansbo滲流參數(shù)越大，同一時(shí)刻的邊界位移會(huì)越小，但從圖6和圖7的幾條曲線幾乎重合來(lái)看，其數(shù)值相差無(wú)幾，所以Hansbo滲流對(duì)邊界位移的影響很小.

圖4 m對(duì)固結(jié)度的影響(I1=1.0)Fig.4 Influence of m on degree of consolidation (I1=1.0)

圖5 I1對(duì)固結(jié)度的影響(m=1.5)Fig.5 Influence of I1 on degree of consolidation (m=1.5)

圖6 m對(duì)邊界位移的影響(I1=1.0)Fig.6 Influence of m on boundary displacement (I1=1.0)

圖7 I1對(duì)邊界位移的影響(m=1.5)Fig.7 Influence of I1 on boundary displacement (m=1.5)

4 結(jié)論

基于Hansbo滲流模型推導(dǎo)了圓球土樣Biot固結(jié)方程，給出了方程的Crank-Nicolson有限差分格式，并用Matlab軟件編寫了有關(guān)程序.計(jì)算結(jié)果表明：和Darcy滲流相比，在固結(jié)初期，Hansbo滲流將增強(qiáng)Mandel-Cryer效應(yīng)，增大孔隙水壓力的峰值，并延長(zhǎng)孔隙水壓力達(dá)到峰值的時(shí)間；在固結(jié)中后期，Hansbo滲流將使圓球土樣內(nèi)孔壓消散明顯滯后.隨著Hansbo滲流參數(shù)的增大，土樣平均固結(jié)度減小，即土樣固結(jié)速率減慢，但Hansbo滲流對(duì)邊界位移的影響很小.