帶有Neumann條件的對流擴散方程的兩層緊差分格式

盛秀蘭， 魏 貞， 吳宏偉

(1.東南大學 數(shù)學學院 江蘇 南京 210096； 2.江蘇開放大學 通識教育學院 江蘇 南京 210036)

0 引言

考慮帶有Neumann邊界條件的一維常系數(shù)對流擴散方程構造高階差分格式：

ut+αux-βuxx=f(x,t),x∈(a,b),t∈(0,T],

(1)

u(x,0)=φ(x),x∈(a,b),

(2)

ux(a,t)=0；ux(b,t)=0,t∈(0,T]，

(3)

其中：α,β為常數(shù)，且β>0.

ut+αv-βuxx=f(x,t),x∈(a,b),t∈(0,T],

(4)

vt+αuxx-βvxx=fx(x,t),x∈(a,b),t∈(0,T],

(5)

u(x,0)=φ(x)；v(x,0)=φ′(x),x∈(a,b),

(6)

v(a,t)=0；v(b,t)=0,t∈(0,T],

(7)

令v(x,t)=ux(x,t),則方程(1)轉化為方程(4)，同時對方程(1)關于x求一階導數(shù)為方程(5).方程(4)～(7)為耦合方程，與(1)～(3)式等價.

對流擴散方程是描述黏性流體運動的非線性模型方程，但要得到對流擴散方程的精確解很困難，因此有效的數(shù)值算法越來越重要，在常用的差分方法中，由于方程中擴散項的存在,在數(shù)值求解過程中經(jīng)常會出現(xiàn)數(shù)值震蕩,為此需要構造精度高、穩(wěn)定性好的數(shù)值解法,緊差分格式就是這一類方法.文獻[1]給出了二維變對流系數(shù)非穩(wěn)態(tài)對流擴散方程的時間方向上加權離散的一類HOC格式.文獻[2]給出了二維不穩(wěn)定對流擴散方程的一種高階交替方向隱格式,此方法在時間和空間上分別是二階和四階的.文獻[3-4]研究了對流擴散方程的特征有限差分格式,此方法能夠有效地克服數(shù)值震蕩.文獻[5-6]給出了關于Neumann邊界條件熱方程的高階差分格式.文獻[7-8]通過緊差分格式及高階ADI格式研究對流擴散問題.文獻[9]提出帶有Neumann邊界條件的非線性反應擴散方程的一種四階緊算法.文獻[10]通過引入新變量,建立了一維非穩(wěn)態(tài)對流擴散方程的高階有限差分格式,利用Von-Neumann方法分析了差分格式的穩(wěn)定性,在時間和空間上為二階和四階收斂.文獻[11-12]利用緊差分格式求解熱方程、變系數(shù)線性拋物方程及Cahn-Hilliard方程.本文參考文獻[13]利用離散能量估計方法證明了差分解在最大模意義下關于時間和空間的二階收斂性.對帶有Dirichlet邊界條件的對流擴散方程建立高階緊差分格式的方法很多,而處理Neumann邊界條件方法比較棘手,本文針對一維對流擴散方程建立一種緊差分格式,擬從格式的相容性、截斷誤差、穩(wěn)定性、收斂性、以及精度等方面對Neumann邊界條件進行研究.

1 記號及引理

取正整數(shù)m,n,記空間步長與時間步長分別為h=(b-a)/m,τ=T/n.xi=a+ih，(0≤i≤m),tk=kτ，(0≤k≤n).定義Ωh={xi|0≤i≤m},Ωhτ={(xi,tk)|0≤i≤m,0≤k≤n},稱(xi,tk)為節(jié)點,并設{vik|0≤i≤m,0≤k≤n}為Ωhτ上的網(wǎng)格函數(shù),引進下列記號：

引理5[16]① 若f(x)∈C5[x0,x1],則

② 若f(x)∈C5[xm,xm-1],則

2 差分格式的建立

(8)

(9)

當0≤i≤m,0≤k≤n-1時，用算子Α分別作用于(8)和(9)兩式得

(10)

(11)

當0≤i≤m-1,0≤k≤n-1時，并由引理1將(10)和(11)兩式轉化為：

(12)

(13)

由(10)式知，當i=0,0≤k≤n-1時

(14)

應用引理5將(14)式轉化為

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

3 差分格式解的先驗估計式

(24)

(25)

(26)

將(24)～(26)三式相加得

(27)

(28)

(29)

(30)

將D1,D2,D3,D4,D5代入D1+D2=D3+D4+D5得

(31)

(32)

(32)式左邊第1項、第2項分別為：

(32)式右邊第1項、第2項分別為：

其中ε=-β/|α|，將上述4項代入(32)式得

(33)

(34)

定理2得證.

4 差分格式的唯一性、收斂性和穩(wěn)定性

1) 唯一性

定理2差分格式(18)～(23)式是唯一可解.

2) 收斂性

證明將(3)～(7)式與(18)～(23)式分別相減,得到誤差方程組：

由定理2知，定理3成立.

3) 穩(wěn)定性

類似討論差分格式的收斂性,可以得到差分格式(18)～(23)式關于初值的穩(wěn)定性.

5 數(shù)值試驗

該問題的精確解為u(x,t)=0.1e2 tcosx.

表1 不同步長下的誤差和收斂階數(shù)Tab.1 Errors and convergence rate under different steps