數(shù)值分析研究性教學的思考與舉措

阿米娜·沙比爾 麥麥提明·阿不都克里木

【摘要】本文立足于喀什大學的教學實踐，結(jié)合學校師范特色的定位和少數(shù)民族地區(qū)學生的特點，提出數(shù)值分析課程應該注重培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)，實施研究性教學。介紹了研究性教學的一些做法，對如何培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)進行了探討。

【關鍵詞】數(shù)值分析 師范 少數(shù)民族地區(qū) 數(shù)學素養(yǎng) 研究性教學

【中圖分類號】O241∶G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）37-0103-02

引言：數(shù)值分析屬于計算數(shù)學的研究范疇，研究用計算機解決數(shù)學問題的近似方法及其有關理論。數(shù)值分析涉及的計算方法廣泛地運用在物理、化學、力學、生物學、經(jīng)濟學等領域，是科學與工程計算的重要數(shù)學工具。目前，數(shù)值分析已經(jīng)成為各級、各類院校為理工科專業(yè)開設的一門專業(yè)必修課程。一般地說來，數(shù)值分析課程要求學生掌握數(shù)值分析的基本思想、方法和理論，具備一定的設計、分析和實現(xiàn)算法的科學計算能力。上述教學目標會依據(jù)專業(yè)、高校的定位、人才培養(yǎng)目標的不同而有所差異。比如，對于研究型大學數(shù)學專業(yè)的數(shù)值分析，既要強調(diào)掌握數(shù)值分析的思想、方法和理論，又要強調(diào)具備設計、分析和實現(xiàn)算法的科學計算能力；而對于工科專業(yè)、應用型本科院校的數(shù)值分析則更注重各種算法的實踐性與應用性，培養(yǎng)的是學生運用各種算法解決實際問題的科學計算能力。我國有一類高校，如喀什大學，其前身為師范院校，更名后成為以師范為特色的綜合性、應用型本科院校。那么，面對這類高校里數(shù)學專業(yè)學生的實際情況，數(shù)值分析課程的教學目標應該做何調(diào)整，應該培養(yǎng)學生具有什么樣的能力，如何組織實施教學達到設定的教學目標，都是值得探討的問題。

1.師范特色的數(shù)值分析應該注重培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)

近些年，隨著教育改革的不斷深入，一些師范院校根據(jù)社會對人才的需求和自身發(fā)展的需要，重新定位為以師范為特色的綜合性、應用型本科院校?？κ泊髮W在這一新的定位下，還有一個鮮明的特點就是，這是一所位于我國南疆少數(shù)民族地區(qū)多民族的、唯一的一所綜合性大學。以信息與計算科學專業(yè)的學生為例，這里既包括漢族學生也包括維族學生，經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，維族學生與大部分漢族學生畢業(yè)后的去向是中小學，成為數(shù)學教師，只有一小部分漢族學生考取公務員或者從事其它職業(yè)。 數(shù)學教師肩負著傳播數(shù)學思想、知識的重任，只有數(shù)學教師本人深刻理解數(shù)學、具備好的數(shù)學素養(yǎng)，才能更好地傳播數(shù)學思想。因此，師范特色的數(shù)值分析課程除了要求學生掌握數(shù)值分析的基本思想、方法和理論，具備一定的設計、分析和實現(xiàn)算法的科學計算能力以外，應該注重培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)。

2.實施研究性教學，激發(fā)學生潛能

仍以喀什大學信息與計算科學專業(yè)的學生為例，這里學生的數(shù)學素養(yǎng)和數(shù)學基礎都不如研究型大學數(shù)學專業(yè)的學生；比較而言，維族學生的數(shù)學基礎又較漢族學生薄弱，并且兩者差距較大。面對教學對象的上述特點，我們主張實施研究性教學。研究性教學的核心理念就是：在教學中以學生為中心，以人為本，以調(diào)動學生自身的學習主動性、積極性為手段，以提高學生的學習興趣、學習能力、創(chuàng)新意識為宗旨，在激發(fā)學生潛能、啟迪學生思維的過程中傳授知識與技能，促進學生知識、能力、素質(zhì)的綜合協(xié)調(diào)發(fā)展[1]。

大學設置的數(shù)學課程，每門課程都有自己的基本思想、方法和理論，匯總后形成基本的數(shù)學思想。袁亞湘院士指出：大學數(shù)學重在介紹思想[2]。應該認識到，課程是數(shù)學思想的載體，學習不同課程，最根本的是學習思想，利用課程傳播數(shù)學思想已經(jīng)成為許多教師的共識[3，4]。在數(shù)值分析教學中，我們提倡快樂學習，提倡深刻理解思想和基本方法，而不需要死記硬背大批的公式、結(jié)論。比如，在講解三次樣條插值時，首先介紹三次樣條插值的一些實際應用背景，以提高學生的學習興趣。然后，重點講解三次樣條插值函數(shù)的構(gòu)造設計思想、方法，以啟迪學生思維，提高學習能力。我們不要求學生記憶得到的復雜的公式，只是讓學生知道建立樣條插值函數(shù)歸結(jié)為求解三對角的線性代數(shù)方程組即可。最后，讓學生對比三次樣條插值與分段埃爾米特插值的區(qū)別，引導學生結(jié)合三次樣條插值函數(shù)的構(gòu)造方法，領悟其中蘊含的邏輯與生活哲理，讓學生體會數(shù)學思想與現(xiàn)實生活之間的緊密聯(lián)系，感受數(shù)學學習的樂趣。

基于研究性教學的理念，解決數(shù)值分析課程內(nèi)容多、課時少之間的矛盾，我們采取精講、略講與自修相結(jié)合的方式安排教學內(nèi)容。選擇能體現(xiàn)課程基本思想、方法的內(nèi)容精講，重要的理論精講、多練，復雜的公式、理論推導等略講或者不講，有些內(nèi)容安排學生自修。這樣不僅節(jié)省了課時，而且調(diào)動了學生的積極性，讓學生體會了成就感，鍛煉了分析問題、解決問題的能力。比如，精講拉格朗日插值多項式基函數(shù)的構(gòu)造思想，讓學生體會基函數(shù)的數(shù)學美感——簡潔、對稱；精講牛頓插值多項式的逐步生成方法，并讓學生仔細體會與拉格朗日插值多項式的區(qū)別。事實上，逐步修正（生成）方法是數(shù)值分析的基本技術(shù)方法，花時間精講是值得的。接下來，基于等距節(jié)點的差分形式的牛頓插值公式可以不講，在介紹了差分的概念之后，讓學生自行推導出來。

3.如何培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)

什么是數(shù)學素養(yǎng)？數(shù)學名師顧沛先生說，在學校學的數(shù)學知識，畢業(yè)后若沒什么機會去用，一兩年很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，深深銘刻在頭腦中的數(shù)學的思想精神、數(shù)學的思維方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發(fā)生作用，數(shù)學素養(yǎng)使人們終身受益[5]。我們體會數(shù)學素養(yǎng)就是把所學的數(shù)學知識都排出或忘掉后剩下的東西，是多年的數(shù)學學習后留下的終身烙印，主要的指向是能力，應該包括發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力和研究、創(chuàng)新能力。那么如何培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)呢？

既然數(shù)學素養(yǎng)是多年的數(shù)學學習后獲得的，而課程學習是最基本和直接的數(shù)學學習，所以培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)主要在課程教學中進行。在課程教學中，應該注重培養(yǎng)能力，抓住一切機會，引導學生學會發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，激發(fā)研究、創(chuàng)新能力。例如，教科書[6]在介紹了牛頓法求解非線性方程后，提出簡化牛頓法以解決牛頓法的一些問題。我們可以在介紹弦截法以后，分析弦截法的問題，引導學生按照簡化牛頓法的思路提出如下所謂的簡化弦截法。

xk+1=xk-■（xk-x0），k=1，2，…

其中x0，x1為初值。圍繞這一方法開展收斂性、計算等問題的討論，并且要求學生以論文的形式提交討論結(jié)果。實踐表明，這一過程激發(fā)了學生的創(chuàng)新意識和研究熱情，提升了學生分析問題、解決問題的能力。

內(nèi)容結(jié)束，綜上，培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)除了課堂教學以外，可以用學術(shù)講座的形式進行補充。學術(shù)講座的內(nèi)容應該選擇與課程學習有聯(lián)系的內(nèi)容，由淺入深，盡量讓學生聽得懂，又能激發(fā)進一步研究的欲望。比如，在學習了線性代數(shù)方程組的直接法和迭代法以后，我們精心組織了三次有關并行數(shù)值方法的學術(shù)講座。第一講介紹并行數(shù)值方法的有關概念、分析線性代數(shù)方程組的一些古典解法的并行性。第二講介紹線性代數(shù)方程組的并行直接方法。第三講介紹線性代數(shù)方程組的并行迭代方法. 這三次講座內(nèi)容都是緊密圍繞課程內(nèi)容進一步展開的、學 （下轉(zhuǎn)第107頁）

（上接第103頁）

術(shù)界的熱點研究問題。學生剛剛學習了高斯消去法、雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法，感覺非常親切，能聽得懂，接受得快，普遍反映加深了對課程內(nèi)容的理解，而且在獲得新知識的基礎上，能進一步對比、分析出各個方法的優(yōu)缺點。實踐表明，這些講座開闊了學生視野，使學生學習了學科前沿的新知識，打開了進一步探究的空間。

參考文獻：

[1]顧沛. 把握研究性教學推進課堂教學方法改革[J].中國高等教育，2009，（7）：31-38

[2]袁亞湘.大學數(shù)學重在介紹思想[J].高等數(shù)學研究，2002，（3）：4-5

[3]張謀，魏曙光，易正俊. 高等數(shù)學教學中數(shù)學思想的滲透[J]. 高等理科教育，2015，（3）：90-94

[4]吳慧，孫丹娜，劉倩. 高等數(shù)學課程的教學改革與模式探索[J]. 高師理科學刊，2016（4）：46-49

[5]顧沛.以科學素質(zhì)教育系列課程為大學生文化素質(zhì)教育助力[J].高教發(fā)展與評估， 2009（2）：104-110

[6]李慶揚，王能超，易大義.數(shù)值分析（第五版）[M].北京： 清華大學出版社，2008

作者簡介：

阿米娜·沙比爾（1973-） 女，喀什市人，南開大學在讀博士生，喀什大學副教授，主要從事計算數(shù)學理論研究。