2維和4維時(shí)空溫度弦模型中暗能量玻色子星質(zhì)量和物態(tài)參量的計(jì)算

鐘 鑫， 顏 駿， 余 毅

（四川師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，四川成都610066）

20世紀(jì)80年代以來(lái)，超弦理論研究已取得了很大的進(jìn)展.理論物理學(xué)家廣泛研究了弦的緊致化、弦的量子化、弦與共形場(chǎng)論以及可解的2維量子引力模型的深刻聯(lián)系等一系列問(wèn)題.這些研究極大地豐富了人們對(duì)高能標(biāo)下微觀世界的認(rèn)識(shí)，但是人們對(duì)高溫狀態(tài)下的弦模型的物理內(nèi)涵卻了解得較少，而現(xiàn)實(shí)的弦模型總是希望考慮溫度的影響，如在甚早宇宙中和致密星體內(nèi)部，溫度是一個(gè)至關(guān)重要的物理因素.另一方面，Ia型超新星和宇宙微波背景輻射的觀測(cè)表明宇宙在加速膨脹，而暗能量被認(rèn)為是加速膨脹的可能推動(dòng)因素［1-6］.2004年，英、美天文學(xué)家將“錢德拉”望遠(yuǎn)鏡和美宇航局“威爾金森微波各向異性探測(cè)器”的觀測(cè)結(jié)果結(jié)合起來(lái)，對(duì)宇宙的物質(zhì)構(gòu)成比例給出了新的估計(jì)，宇宙中暗能量占75%左右，暗物質(zhì)為21%，剩下4%是可見(jiàn)物質(zhì).由于目前黑洞的事件視界沒(méi)有直接的觀測(cè)證據(jù)，人們猜測(cè)星體還可能形成新的演化形態(tài)，如暗能量星或引力真空星［7-13］.近年來(lái)對(duì)孤子的研究已經(jīng)深入到天體物理領(lǐng)域，文獻(xiàn)［14-15］基于粒子物理中的非拓?fù)涔伦邮紫忍岢隽舜嬖谝环N冷的、穩(wěn)定的、大量的相干態(tài)星體—孤子星.

文獻(xiàn)［16-17］用幾何方法直接計(jì)算了黎曼面上的自由能，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)獨(dú)特的現(xiàn)象，即弦的自由度遠(yuǎn)小于通常量子場(chǎng)論中的自由度的數(shù)目，在這一結(jié)論的基礎(chǔ)上猜想拓?fù)淞孔訄?chǎng)論可能正對(duì)應(yīng)于弦的末破缺相.另外，由于暗能量可能對(duì)星體的平衡產(chǎn)生影響，其負(fù)壓強(qiáng)產(chǎn)生的等效斥力作用，阻止了星體進(jìn)一步的引力塌縮，就可能形成各種不同形式的暗能量星，目前天文觀測(cè)數(shù)據(jù)支持這類暗能量星的形成［18］.本文將根據(jù)溫度弦理論研究一種新的暗能量玻色子星模型.

1 高虧格黎曼面上玻色弦自由能的計(jì)算

首先討論玻色弦氣體自由能的計(jì)算，考慮作用弦的多圈費(fèi)曼圖時(shí)，需要計(jì)算高虧格黎曼面上的路徑積分.在虧格g黎曼面上選一組典范同基調(diào)基ai、bi，i＝1，2，…，g，如圖1 所示，其相交數(shù)定義［19-22］為

圖1 虧格g黎曼面的幾何拓?fù)鋱D形Fig.1 Geometric topology graph of genus g Riemann surface

接下來(lái)通過(guò)時(shí)間坐標(biāo)X0環(huán)半徑2π／β的緊致化的引入溫度參量，令

沿著ai的邊界條件為+ βni，沿著 bj的邊界條件為+ βmj，這里 ni、mj是繞數(shù).由于＝0，所以還可表示為

以及正規(guī)化條件（2）式可得

將（3）和（4）式代入到原始作用量中得到量子和經(jīng)典兩部分

T是弦張力，再利用如下雙線性黎曼關(guān)系

對(duì) Xu（σ）、gab（σ）路徑積分得自由能

鎖銷檢測(cè)：MCU進(jìn)行相應(yīng)檢測(cè)。優(yōu)勢(shì)：功耗低，通信方便快捷。劣勢(shì)：是否這樣就無(wú)法實(shí)現(xiàn)用手持機(jī)對(duì)其進(jìn)行讀寫(xiě)了？

其中，P+P是微分算子

這里對(duì)繞數(shù)的求和為

其中黎曼Θ函數(shù)定義為

由此可以推導(dǎo)出弦作用的多圈自由能，（13）式中的Sg（β）可表示為

其中，NT＝ （ni，mj）代表繞數(shù)矩陣，經(jīng)過(guò)路徑積分后得到虧格g黎曼面上的玻色弦自由能為

其中，V 是體積，Λs＝ ε2（g-1）Λg，Λg是 g 圈宇宙常數(shù)，ε是弦耦合常數(shù).能量密度和壓強(qiáng)分別由下述公式計(jì)算

由（17）式可知，玻色弦自由能和溫度的冪形式有關(guān)，當(dāng)g＝1，單圈自由能F弦～T2，而通常量子場(chǎng)論計(jì)算出的玻色子自由能為F場(chǎng)～T4，所以F弦?F場(chǎng).將（17）式代入（18）式可以算出能量密度和壓強(qiáng)的具體表達(dá)式，這時(shí)弦理論和量子場(chǎng)論算出的這些熱力學(xué)量的數(shù)量級(jí)有較大差別.

2 D＝2維時(shí)空暗能量玻色子星的質(zhì)量和物態(tài)參量

為了研究暗能量星的質(zhì)量和物態(tài)參量，弦修正的引力作用量［23］選擇為

其中，D是時(shí)空維數(shù)，g是度規(guī)行列式，R是標(biāo)量曲率，φ是dilaton場(chǎng)，U（φ）是勢(shì)能，fg是單位體積自由能，作用量（19）式對(duì)應(yīng)的引力場(chǎng)方程和dilaton場(chǎng)方程分別為

其中，度規(guī)因子α為坐標(biāo)x的函數(shù)，由此度規(guī)可導(dǎo)出如下的克氏聯(lián)絡(luò)

另外，標(biāo)量曲率為R＝-α″.經(jīng)過(guò)詳細(xì)計(jì)算后發(fā)現(xiàn)Einstein張量為

這是2維引力模型中的一個(gè)重要特點(diǎn).利用這一性質(zhì)可以簡(jiǎn)化引力場(chǎng)方程，降低求解方程的難度.暗能量dilaton場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)分別為：

經(jīng)過(guò)仔細(xì)推導(dǎo)得到引力場(chǎng)的2個(gè)分量方程

由方程（30）和（31）式可定義如下有效能量密度和壓強(qiáng)

這里，L是星體尺度大小，物態(tài)參量定義為

將弦理論或量子場(chǎng)論計(jì)算出的熱力學(xué)量的具體表達(dá)（18）式代入引力場(chǎng)方程（30）和（31），并利用dilaton場(chǎng)方程（32），通過(guò)設(shè)定度規(guī) α、dilaton場(chǎng) φ和勢(shì)能U（φ），以及溫度T和坐標(biāo)x的具體關(guān)系式，那么可以求出這些物理量的解析解，并進(jìn)一步計(jì)算出星體的質(zhì)量M1和物態(tài)參量w1的具體數(shù)值.

3 D＝4維時(shí)空暗能量玻色子星的質(zhì)量和物態(tài)參量

（3+1）維時(shí)空中的定態(tài)度規(guī)為

所以Ricci張量不為零時(shí)，分量分別為：

另外，R33＝ sin2θR22，標(biāo)量曲率為 R ＝ guvRuv，Einstein張量Guv≠0，根據(jù)度規(guī)和Ricci張量可以推導(dǎo)出這2個(gè)幾何量.另外，玻色弦流體物質(zhì)的能量動(dòng)量張量分別為：

這時(shí)引力場(chǎng)方程的2個(gè)分量方程變?yōu)椋?/p>

dilaton標(biāo)量場(chǎng)方程為

這里V是體積元，R是星體半徑，物態(tài)參量定義為

將Ricci張量（41）～（43）式和dilaton場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)（45）～（47）式代入（48）、（49）式和（50）式后，便可得到引力場(chǎng)方程和dilaton場(chǎng)方程的具體形式，不同于2維時(shí)空中的場(chǎng)方程，這些4維場(chǎng)方程無(wú)法通過(guò)設(shè)定物理量和坐標(biāo)r的關(guān)系式來(lái)求出解析解，通常都通過(guò)數(shù)值解的方法來(lái)計(jì)算星體質(zhì)量和物態(tài)參量的具體數(shù)值，這也是2維引力和4維引力理論的一個(gè)主要區(qū)別.

4 討論

本文根據(jù)溫度弦模型分別推導(dǎo)了2維和4維暗能量玻色子星的質(zhì)量和物態(tài)參量的表達(dá)式，研究結(jié)果表明不同時(shí)空上的計(jì)算結(jié)果有一定差別.首先，2維引力中的聯(lián)絡(luò)分量和Ricci張量以及協(xié)變導(dǎo)數(shù)都比4維引力中對(duì)應(yīng)的物理量簡(jiǎn)單；其次，2維引力中Einstein張量Guv＝0，這一性質(zhì)可以簡(jiǎn)化引力場(chǎng)方程，4維引力中Guv≠0，因此場(chǎng)方程比較復(fù)雜；通常2維引力場(chǎng)方程和dilaton場(chǎng)方程可以通過(guò)設(shè)定物理量和坐標(biāo)的關(guān)系求出解析解，而4維引力場(chǎng)方程只能通過(guò)數(shù)值方程求解.所以，2維引力模型中星體的質(zhì)量和態(tài)參量可以計(jì)算出解析表達(dá)式，這有助于具體分析星體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和物理性質(zhì)，為4維星體的物理研究提供一個(gè)理論的實(shí)驗(yàn)室.當(dāng)星體中弦氣體的能量密度和壓強(qiáng)均大于零，因此其物態(tài)參量v為正值，如果總能量密度ρeff為正值，總壓強(qiáng)peff為正值，這時(shí)星體處于正常玻色子星狀態(tài)，如果總壓強(qiáng)peff為負(fù)值，那么dilaton場(chǎng)表現(xiàn)為暗能量，則星體處于暗能量玻色子星狀態(tài).

另外，由于弦理論和量子場(chǎng)論計(jì)算出的自由能有T2數(shù)量級(jí)的差別，所以對(duì)應(yīng)的能量密度和壓強(qiáng)有所不同，因此通過(guò)這兩種理論計(jì)算出的星體質(zhì)量和物態(tài)參量也有區(qū)別，比較這些不同理論得出的暗能量玻色子星的計(jì)算結(jié)果，無(wú)論對(duì)于理論研究還是進(jìn)一步的天文觀測(cè)，都是非常有意義的研究課題.