一類SIR傳染病模型的分岔分析

李明山， 張渝曼， 周效良

（嶺南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東湛江524048）

近年來，傳染病數(shù)學(xué)模型在研究傳染病預(yù)防控制中發(fā)揮了重要作用.自Kermack與McKendrick于1927年在文獻(xiàn)［1］中建立易感（Susceptible）-染?。↖nfective）-康復(fù)（Recovered）模型（簡(jiǎn)稱 SIR 模型）以來，傳染病模型的動(dòng)力學(xué)研究取得大量的研究成果［1-14］.傳染病數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于分析傳染病的一般傳播規(guī)律，對(duì)傳染病的傳播機(jī)制、流行規(guī)律和防控理論的相關(guān)研究具有重要理論意義.在學(xué)者們的研究下，在連續(xù)SIR傳染病模型動(dòng)力學(xué)研究中涌現(xiàn)出許多優(yōu)秀的成果［2-7，9-11］.對(duì)于連續(xù)傳染病模型而言，不僅僅要研究模型的穩(wěn)定性，更要研究其分岔性質(zhì).因?yàn)榉€(wěn)定性僅僅說明了當(dāng)時(shí)間趨于無窮模型解的性態(tài)，沒有涉及模型的解受外界干擾時(shí)模型解的性態(tài)變化［2-3，5］.研究傳染病模型分岔性質(zhì)可以得到傳染病模型的解受外界干擾時(shí)模型解的性態(tài)變化和傳染病模型對(duì)應(yīng)系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化與模型系數(shù)參數(shù)發(fā)生微小擾動(dòng)時(shí)的關(guān)系，從而得到傳染病模型的相關(guān)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)［3-7，9-10］.故研究傳染病模型的分岔性質(zhì)對(duì)傳染病的防控措施、傳播機(jī)制與流行規(guī)律等相關(guān)理論研究是非常重要的.

1 模型介紹

在2012年，Wang等在文獻(xiàn)［5］中研究了如下連續(xù)SIR傳染病模型

由于系統(tǒng)（1）前2個(gè)等式不含有R，所以只需考慮如下子系統(tǒng)

其中，S、I、R 分別代表易感者、染病者、康復(fù)者，k是感染率，μ是自然死亡率，r是康復(fù)率，a代表治療措施對(duì)傳染病傳播的延遲效應(yīng).在文獻(xiàn)［5］中假設(shè)模型（2）所有的系數(shù)參數(shù)均大于0.系統(tǒng)（2）有2個(gè)無病平衡點(diǎn) E0（0，0）和 E1（A，0），系統(tǒng)（2）在 E1（A，0）處的Jacobi矩陣如下

2 系統(tǒng)（2）的跨臨界與音叉分岔

下面用中心流形定理來研究系統(tǒng)（2）在無病平衡點(diǎn)E1（A，0）處跨臨界分岔和音叉分岔的性質(zhì)與正規(guī)形.

證明 當(dāng) w ＝0時(shí)，有 λ1＜0，λ2＝0，為了體現(xiàn)系統(tǒng)（2）在無病平衡點(diǎn)E1（A，0）處的跨臨界分岔對(duì)參數(shù) w 的依賴，把 J（E1）寫成 Jw（E1）；施行如下坐標(biāo)變換，易知系統(tǒng)（2）在無病平衡點(diǎn) E1（A，0）處的Jacobi矩陣為

特征值λ1、λ2對(duì)應(yīng)的特征向量可以寫成如下形式：

由變換（6）可以得到如下系統(tǒng)

由引理2.1可知在w＝0附近系統(tǒng)（7）平衡點(diǎn)（u，v）＝（0，0）處的穩(wěn)定性與分岔性質(zhì)可通過中心流形上一參數(shù)系統(tǒng)來研究，由文獻(xiàn)［15］中的定理18.1.2知中心流形具有如下形式

由引理2.1知可通過如下（9）式計(jì)算中心流形（8）：

根據(jù)文獻(xiàn)［15］可知系統(tǒng)（2）在 E1（A，0）平衡點(diǎn)處發(fā)生跨臨界分岔，（11）式表明在（u，v）＝（0，0）附近所有高階項(xiàng)O（3）不改變其分岔性質(zhì)，亦表明在（u，v）＝ （0，0）附近系統(tǒng)（10）的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與

的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是局部拓?fù)涞葍r(jià)的.（12）式可以視作系統(tǒng)（2）在無病平衡點(diǎn) E1（A，0）處跨臨界分岔的正規(guī)形.

由文獻(xiàn)［15］可知系統(tǒng)（2）在 E1（A，0）平衡點(diǎn)處發(fā)生音叉分岔.

（14）式可以視作系統(tǒng)（2）在無病平衡點(diǎn) E1（A，0）處音叉分岔的正規(guī)形.

此時(shí)系統(tǒng)（2）在無病平衡點(diǎn)E1（A，0）處發(fā)生退化的音叉分岔.由

應(yīng)用初等積分法可得

且系統(tǒng)（15）的每個(gè)等式都是獨(dú)立的微分方程，所以系統(tǒng)（15）的軌道結(jié)構(gòu)是清楚的.證畢.

3 分岔的生物學(xué)解釋

由定理2.1 和2.2 可知，在 E1（A，0）處系統(tǒng)（2）的局部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)參數(shù)w非常敏感，當(dāng)w穿過0時(shí)，系統(tǒng)（2）平衡點(diǎn) E1（A，0）的雙曲性和穩(wěn)定性都發(fā)生了改變，這表明傳染病在種群中流行狀態(tài)也發(fā)生了改變，故參數(shù)w在0附近的微小變化與傳染病在種群中流行狀態(tài)有著非常緊密的聯(lián)系，此時(shí)系統(tǒng)（2）的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與參數(shù)w在0附近的微小變化有著某種對(duì)應(yīng)關(guān)系.這種對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)研究傳染病的流行規(guī)律、傳播機(jī)制和預(yù)防控制有重要的理論意義.人們可通過研究傳染病模型的分岔性質(zhì)來得到并且控制傳染病模型的敏感參數(shù)，從而達(dá)到控制傳染病在種群中流行狀態(tài)的目的.

致謝 嶺南師范學(xué)院攀峰計(jì)劃項(xiàng)目對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.