一類(lèi)解析函數(shù)的三階Hankel行列式

張海燕， 湯 獲， 馬麗娜

（赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024000）

1 引言及預(yù)備知識(shí)

設(shè)A表示單位圓盤(pán)D ＝ ｛z∈C：｜z｜＜1｝內(nèi)單葉解析且具有如下形式的函數(shù)族

設(shè)P表示單位圓盤(pán)D內(nèi)具有如下形式且滿(mǎn)足條件 Re p（z）＞0的函數(shù)族

定義 1［1］設(shè)函數(shù) f（z）和 g（z）在單位圓盤(pán) D內(nèi)解析.如果存在D內(nèi)的Schwarz函數(shù)ω（z）滿(mǎn)足：ω（0）＝0，｜ω（z）｜＜1 且 f（z）＝g（ω（z）），則稱(chēng) f（z）從屬于 g（z），記為 f（z）?g（z）.特別地，如果 g（z）在D上是單葉的，則

2013 年，Bansal［2］研究了函數(shù)類(lèi)（A，B）的二階Hankel行列式｜a2a4｜，并得到了其上界估計(jì).

定義 2［2］設(shè)（A，B）具有（1）式的形式且滿(mǎn)足下述條件的函數(shù)全體

其中，-1≤B ＜A≤1，0≤γ≤1，τ∈C＼｛0｝.1976 年，Noonan等［3］定義了函數(shù)f的q階Hankel行列式

其中，a1＝1，n≥1，q≥1.

特別地，有：

因?yàn)?f∈A，a1＝1，故有

易知，當(dāng) μ ＝ 1 時(shí)，F(xiàn)ekete 等［4］估計(jì) ｜a3-｜即是｜H2（1）｜.

近年來(lái)，許多學(xué)者研究了各類(lèi)解析函數(shù)的二階Hankel行列式H2（2），得到了其上界估計(jì)，詳見(jiàn)文獻(xiàn)［5-8］.對(duì)于各種不同的函數(shù)類(lèi)，很多作者進(jìn)一步對(duì)三階 Hankel行列式H3（1）做出了研究，如文獻(xiàn)［9-14］.Bansal［2］研究了函數(shù)類(lèi)（A，B）的二階Hankel行列式｜a2a4-｜，得到了其上界估計(jì).在此基礎(chǔ)上，本文給出了函數(shù)類(lèi)（A，B）的三階Hankel行列式H3（1）的上界估計(jì)，推廣了其已有的結(jié)果.

2 主要結(jié)果

除非特別說(shuō)明，假設(shè)-1≤B＜A≤1，0≤γ≤1，τ∈C＼｛0｝.為了證明本文結(jié)論，需要如下引理.

引理 1［15］如果 p（z）∈P，則

引理 2［16］如果 p（z）∈P，則存在復(fù)數(shù) x 和 z且｜x｜≤1，｜z｜≤1，使得

其中，ω（z）是 Schwarz函數(shù)且滿(mǎn)足 ω（0）＝0，｜ω（z）｜＜1，z∈D.令

分別比較（6）式等號(hào)兩邊 z、z2、z3、z4的系數(shù)，得：

從而由引理1可得

定理1得證.

證明 由（7）和（8）式可得

設(shè)｜x｜＝ t，0≤t≤1，c1＝ c，c∈［0，2］，又因?yàn)椋鼁｜≤1，則由三角不等式及引理2可得

F（c，t）＝ ｜T ｜t（4-c2）+｜TB+P ｜c(diǎn)2，從而有

因此函數(shù) F（c，t）關(guān)于變量 t單調(diào)遞增，故函數(shù)F（c，t）在 t＝1 處取得最大值，即

進(jìn)而有 G′（c）＝ -2c｜T｜+2c｜TB+P｜，令G′（c）＝0，則有 c＝0，或｜TB+P｜＝ ｜T｜.下面分 2 種情況討論.

1）當(dāng)｜TB+P｜＜ ｜T｜時(shí)，即有 G′（c）＜0，函數(shù)G（c）關(guān)于 c單調(diào)遞減，從而 G（c）在 c＝0處取最大值，即

2）類(lèi)似地當(dāng)｜TB+P｜＞ ｜T｜，此時(shí)有 G′（0）＞0，則函數(shù) G（c）關(guān)于 c單調(diào)遞增，從而 G（c）在 c＝2處取得最大值，從而有函數(shù) F（c，t）在 t＝1，c＝2 處取得最大值，即｜a3-｜≤4 ｜TB+P ｜.綜上可知，定理2得證.

證明 由（7）～（9）式可得

設(shè)｜x｜＝ t，0≤t≤1，c1＝ c，c∈［0，2），又因?yàn)椋鼁｜≤1，則由三角不等式及引理2，可得

1）當(dāng) t＞t*時(shí)，則有?F／?t＜0，即函數(shù) F（c，t）關(guān)于 t單調(diào)遞減，F(xiàn)（c，t）在 t＝0 處取得最大值，即

若 c＝0，有 G″（0）＝ -4｜Q｜＜0，即函數(shù) G（c）在 c＝0 處取得最大值，從而可得函數(shù) F（c，t）在 t＝0，c＝0 處取得最大值，也即｜a2a3-a4｜≤8｜Q｜.

2）類(lèi)似地，當(dāng)0 ＜t＜t*時(shí)，有?F／?t＞0，即函數(shù)F（c，t）關(guān)于 t單調(diào)遞增，F(xiàn)（c，t）在 t＝1 處取得最大值，即

因?yàn)?G″（r）＜0，所以函數(shù) G（c）在 c＝r處取得最大值.綜上可知，函數(shù) F（c，t）在 t＝1，c＝r處取得最大值，從而有

t*、Q、M 分別由（13）、（14）和（17）式給出.

證明 因?yàn)?/p>

將（3）～（5）、（11）、（12）和（18）式代入到（19）式中，即得定理5.