地震波傳播的黎曼幾何描述

楊孔慶,羅明秋,李幼銘

(1.蘭州大學(xué),甘肅蘭州730000;2.集美大學(xué),福建廈門361021;3.中石化休斯頓研發(fā)中心,休斯頓77056;4.中科院地質(zhì)與地球物理研究所,北京100029)

地震波的傳播是一種非常復(fù)雜的波動(dòng)現(xiàn)象,對(duì)其描述非常困難。目前數(shù)學(xué)上對(duì)地震波描述得最好的方程是粘彈性各向異性波動(dòng)方程。但由于該方程的模擬計(jì)算量巨大,因而在油氣勘探工業(yè)中未能廣泛使用。地震波近似聲波方程和高頻近似方程計(jì)算量小,在地震波場模擬、偏移成像和反演中得到了廣泛應(yīng)用。

在均勻介質(zhì)中,以費(fèi)馬原理為基礎(chǔ)的程函方程和標(biāo)量波動(dòng)方程數(shù)學(xué)形式簡潔,相應(yīng)物理概念清晰。油氣勘探中的很多技術(shù),如射線追蹤、走時(shí)場的計(jì)算和地震波場模擬,都以此為基礎(chǔ)[1]。然而,地震波在復(fù)雜構(gòu)造、各向異性等介質(zhì)中傳播時(shí),基于歐氏幾何的傳統(tǒng)表述方法就不再簡潔。尋找簡單統(tǒng)一的地震波傳播表述,有助于我們正確理解地震波現(xiàn)象和精確模擬地震波。

基于現(xiàn)代微分幾何流形理論的微分幾何已成為物理學(xué)、數(shù)學(xué)及力學(xué)領(lǐng)域不可缺少的數(shù)學(xué)工具[2-3]。人們將它用于描述光在復(fù)雜介質(zhì)中的傳播[4-5]。本文利用微分幾何方法來描述地震波的傳播。

從描述彎曲空間的黎曼幾何出發(fā),建立復(fù)雜介質(zhì)中波場走時(shí)的黎曼流形,復(fù)雜介質(zhì)中的地震波沿黎曼流形中的測地線傳播;同時(shí),復(fù)雜介質(zhì)中的標(biāo)量波動(dòng)方程亦可由黎曼流形中協(xié)變的標(biāo)量波動(dòng)方程來描述。采用黎曼幾何方法描述地震波在復(fù)雜介質(zhì)中傳播的問題,可以深化對(duì)幾何射線和波動(dòng)方程的認(rèn)識(shí),提高對(duì)射線追蹤和地震波場的計(jì)算能力,同時(shí)也為復(fù)雜介質(zhì)中的波場變換提供了一種可能的研究途徑。

1 黎曼幾何中的基本概念

黎曼幾何是描述彎曲空間的幾何。以原點(diǎn)為圓心,以R為半徑的球面是一個(gè)二維曲面,在三維空間中可以利用三個(gè)獨(dú)立變量的方程來描述。假設(shè)不在三維空間中來觀察這個(gè)二維球面,而是在這個(gè)二維球面(即二維流形,只有兩個(gè)獨(dú)立變量)上來審視這個(gè)球面,采用兩個(gè)獨(dú)立變量來描述這個(gè)曲面上兩點(diǎn)的距離及其它的幾何量,首先需要選取球面上任何一點(diǎn)的鄰域,當(dāng)此鄰域選取得足夠小,我們可以將此鄰域看成一個(gè)二維的小平面,即這個(gè)小鄰域與一個(gè)二維平面(二維的平直空間)同構(gòu),接著就可以用二維平面上的自然坐標(biāo)系作為球面一點(diǎn)的小鄰域坐標(biāo)來描述這個(gè)鄰域,構(gòu)成這個(gè)鄰域的局域坐標(biāo)。而球面上相鄰兩點(diǎn)的小鄰域用兩個(gè)不同的平面坐標(biāo)即兩套局域坐標(biāo)來描述,我們可得到這兩套坐標(biāo)間的坐標(biāo)變換,即轉(zhuǎn)換函數(shù)(雅可比函數(shù)),因?yàn)樗芯康那媸枪饣?所以轉(zhuǎn)換函數(shù)是非奇異的。將整個(gè)曲面(球面)看成由無窮多個(gè)小平面拼接而成,轉(zhuǎn)換函數(shù)是由曲面的性質(zhì)所決定的。在此基礎(chǔ)上,我們可以定義曲面上相鄰兩點(diǎn)的距離。

黎曼幾何就是建立在這種思想框架上描述彎曲空間的幾何學(xué),本文只給出三維彎曲空間(三維流形)的黎曼幾何描述,其它維數(shù)的黎曼幾何只需改變空間坐標(biāo)的維數(shù)即可。

三維黎曼流形上任意相鄰很近兩點(diǎn)的距離ds的平方(簡稱距離)可用局域坐標(biāo)(x1,x2,x3)來描述:

ds2=(dx1,dx2,dx3)·

(1)

式中:gij(x)≡gij(x1,x2,x3)稱為黎曼度量函數(shù),是描述空間彎曲的勢函數(shù),它是3×3的度量矩陣的矩陣元,也簡稱為黎曼度量或度量;x是坐標(biāo)(x1,x2,x3)的縮寫。根據(jù)愛因斯坦求和規(guī)則可簡單寫成如下形式:

(2)

為簡潔起見,我們以gij代替gij(x),根據(jù)愛因斯坦求和規(guī)則,(2)式中兩個(gè)坐標(biāo)的指標(biāo)i和j都自動(dòng)從1到3進(jìn)行求和。(1)式和(2)式完全相同,但利用愛因斯坦求和規(guī)則寫出更簡潔。以下公式都采用愛因斯坦求和規(guī)則。

黎曼度量是個(gè)對(duì)稱矩陣,即gij=gji。黎曼度量gij的逆為gij,有:

(3)

度量矩陣的行列式記為|gij|=g,且g是正定的。

在三維歐氏空間中,由歐氏幾何的第五公設(shè)可知,一個(gè)向量在此空間中的平行移動(dòng)有明確的定義,且不依賴于移動(dòng)路徑的選擇。設(shè)在歐氏空間中有一個(gè)向量A=A1(x)e1+A2(x)e2+A3(x)e3,A1,A2,A3分別為該向量在三個(gè)空間方向e1,e2,e3上的分量。當(dāng)該向量沿任意路徑做平行移動(dòng)時(shí),其每個(gè)分量都是保持不變的,故有:

(4)

i,j=1,2,3

但在黎曼流形中,歐氏幾何的第五公設(shè)失效,定義一個(gè)彎曲空間中一個(gè)向量的平行移動(dòng),就必須引入聯(lián)絡(luò)的概念,即彎曲空間中兩點(diǎn)間的聯(lián)系。有多種方法可用來定義空間兩點(diǎn)間的聯(lián)絡(luò),不同的聯(lián)絡(luò)定義了不同的向量在空間的平行移動(dòng)。在黎曼流形中,黎曼給出了與黎曼度量唯一相容的黎曼聯(lián)絡(luò),由黎曼聯(lián)絡(luò)定義了黎曼流形中唯一的向量平行移動(dòng),進(jìn)而定義了黎曼流形中的“直線”,即黎曼流形中兩點(diǎn)間距離最短的連線,稱為黎曼流形中的“測地線”,或稱為“短程線”。

在三維黎曼流形中,與黎曼度量gij相容的黎曼聯(lián)絡(luò)為:

(5)

i,j,k,m=1,2,3

(6)

(7)

對(duì)于黎曼流形上的一個(gè)向量場X,如果有:

(8)

則此向量場是黎曼流形上的平行向量場,即由向量X在黎曼流形中的任意平行移動(dòng)所構(gòu)成,(8)式定義了黎曼流形中向量場的平行移動(dòng)。

黎曼流形上的“直線”,即流形上兩點(diǎn)間最短距離的連線由測地線方程來描述:

(9)

i,j,k=1,2,3

式中:ds,dxi,dxj,dxk分別為沿測地線和三個(gè)方向的微分。

由費(fèi)馬原理可知,一個(gè)不受力的“自由粒子”或光線在黎曼流形上的運(yùn)動(dòng)或傳播,是沿測地線進(jìn)行的。有了協(xié)變微商的定義,我們可以給出黎曼流形上的拉普拉斯算子,它作用于黎曼流形的標(biāo)量函數(shù)f上,有:

(10)

(11)

黎曼流形的彎曲程度也可以用里希(Ricci)張量描述如下:

(12)

等式右邊黎曼曲率張量的上、下指標(biāo)k進(jìn)行1→3求和,此求和過程稱為指標(biāo)的縮并求和,此指標(biāo)完成計(jì)算任務(wù)后自動(dòng)消失。

同時(shí),我們還可以用標(biāo)曲率R來描述黎曼流形的彎曲程度,標(biāo)曲率R定義如下:

(13)

標(biāo)曲率在某些情況下更容易看出整個(gè)流形的彎曲狀況。

2 地震波傳播波場的走時(shí)場的黎曼流形

對(duì)于平直的三維歐氏空間,相鄰兩點(diǎn)間的距離為:

(14)

(15)

地震波的載體是三維平直空間中的介質(zhì),這個(gè)平直空間的性質(zhì)是不變的。但在復(fù)雜介質(zhì)中,地震波傳播的速度隨介質(zhì)的不同而變化,即空間相鄰兩點(diǎn)間地震波傳播的時(shí)間隨介質(zhì)的不同而變化。因此,在研究地震波在介質(zhì)中的傳播和波場變換時(shí),人們常用地震波的走時(shí)場來討論。

2.1 復(fù)雜的局域各向異性介質(zhì)中走時(shí)場的黎曼幾何描述

在復(fù)雜的各向異性介質(zhì)中,介質(zhì)可以看成走時(shí)場的黎曼流形,即相鄰兩點(diǎn)間的走時(shí)間隔dT的平方為:

(16)

由量綱分析可知,度量函數(shù)gij的量綱是速度量綱的倒數(shù)平方,這是對(duì)最復(fù)雜介質(zhì)走時(shí)流形的描述。由此得到的測地線方程是高度非線性方程。

2.2 局域x,y,z三軸各向異性介質(zhì)中走時(shí)場的黎曼幾何描述

如果我們不考慮度量矩陣的交叉項(xiàng),即不考慮介質(zhì)的復(fù)雜性使得波在局域范圍內(nèi)傳播時(shí)具有的旋轉(zhuǎn)效應(yīng),而只考慮(x1,x2,x3)在x,y,z三軸上傳播速度的不同,則走時(shí)間隔dT有:

(17)

式中:v1,v2,v3分別表示地震波沿x,y,z軸傳播的速度。

此時(shí)的度量函數(shù)為:

(18)

度量矩陣為:

(19)

由此可根據(jù)(5)式計(jì)算其聯(lián)絡(luò)系數(shù)函數(shù),進(jìn)而計(jì)算此流形中較為復(fù)雜的測地線方程和波動(dòng)方程。

2.3 局域各向同性介質(zhì)中走時(shí)場的黎曼幾何描述

我們現(xiàn)在考慮復(fù)雜介質(zhì)中最簡單的一種情況,即在局域范圍內(nèi),介質(zhì)是各向同性的,即:

(20)

此時(shí)地震波傳播的速度v(x)是隨著不同介質(zhì)(或相同介質(zhì)不同密度)的空間點(diǎn)而變化的。走時(shí)流形的時(shí)間間隔為:

(21)

該度量函數(shù)為:

(22)

其逆為:

(23)

比較(22)式與(15)式得到:

(24)

可以通過標(biāo)量函數(shù)v2的變換,將度量函數(shù)gij變?yōu)槠街笨臻g中的度量函數(shù)δij,我們稱此走時(shí)流形是共形平坦的流形。

根據(jù)(5)式,(22)式和(23)式計(jì)算出此三維走時(shí)場的黎曼流形中的27個(gè)黎曼聯(lián)絡(luò)系數(shù):

(25)

2.4 共形平坦的走時(shí)場黎曼流形中的測地線方程

下面我們可計(jì)算此三維走時(shí)場的黎曼流形中測地線方程。由測地線方程:

(26)

可得:

(27)

此測地線方程,表示地震波在三維走時(shí)場的黎曼流形中,沿走時(shí)最小的路徑傳播。

2.5 共形平坦的走時(shí)場黎曼流形中地震波傳播的標(biāo)量波動(dòng)方程

在歐氏空間中,均勻介質(zhì)中地震波傳播滿足如下的標(biāo)量波動(dòng)方程:

(28)

(29)

該方程是在走時(shí)場中的波動(dòng)方程,其速度關(guān)系(即度量系數(shù)函數(shù))包含在協(xié)變的拉普拉斯算子中,故(29)式左邊的第二項(xiàng)與(28)式左邊第二項(xiàng)的系數(shù)差1/v2的因子,從量綱分析可知,(28)式和(29)式的量綱是平衡的。

(30)

即:

(31)

地震波在局域各向同性復(fù)雜介質(zhì)中傳播的方程為:

(32)

方程(32)左端前兩項(xiàng)正是歐氏空間中波動(dòng)方程(28)式的左端,因此我們所得到的方程是對(duì)歐氏空間波動(dòng)方程的修正,其修正項(xiàng)為-?ilnv?iu。修正項(xiàng)是對(duì)波動(dòng)方程中振幅梯度的修正。從修正項(xiàng)函數(shù)的特性可知,它隨著速度v的增加而以對(duì)數(shù)的形式增加,而修正項(xiàng)前面的負(fù)號(hào)說明它是對(duì)梯度減小的修正。我們也可由介質(zhì)密度與波速的關(guān)系,給出此修正與介質(zhì)密度的關(guān)系。由于在方程(32)中我們把地震波的振幅u(x,t)近似等同于歐氏空間中的振幅,故在分析修正項(xiàng)時(shí)必須把這種近似考慮進(jìn)去。

3 地震波在復(fù)雜介質(zhì)中傳播的黎曼幾何描述的應(yīng)用

我們研究共形平坦的走時(shí)場黎曼流形中地震波傳播的射線參數(shù)方程及其應(yīng)用。本節(jié)只討論二維空間坐標(biāo)下的射線方程。在二維空間坐標(biāo)中,x,z分別表示距離和深度,走時(shí)流形上任意一條曲線的測地曲率Kg有如下的劉維爾表述:

(33)

因?yàn)樵摴残纹教沟淖邥r(shí)場黎曼流形中滿足測地曲率為零的條件,故二維空間坐標(biāo)系中的射線方程具有如下形式:

(34)

射線方程是以θ為參數(shù)的方程,θ為射線切向與x軸正向的夾角,其物理意義十分明確。在傳統(tǒng)理論中,均勻介質(zhì)中的地震波前沿直射線傳播,θ是恒量,它不能也沒有必要作為射線參數(shù)引入,對(duì)射線的描述用x,z就足夠了。而在共形平坦的走時(shí)場的黎曼幾何描述中,因走時(shí)場的速度及其梯度與θ有關(guān),故有必要用x,z,θ來描述彎曲射線。對(duì)于傳統(tǒng)的射線方程,在其求解時(shí)往往要引入其它輔助參數(shù),否則難以對(duì)射線軌跡進(jìn)行直觀的描述。因(34)式較容易求解,故它在射線追蹤的解析表達(dá)、數(shù)值計(jì)算以及波場變換中也是很有價(jià)值的表達(dá)式。

4 結(jié)論和討論

利用速度模型建立走時(shí)場的黎曼流形,實(shí)質(zhì)上就是把復(fù)雜介質(zhì)的特性轉(zhuǎn)換成空間特性,由速度分布函數(shù)描述了走時(shí)場空間的彎曲特性。在這一彎曲空間中,波前射線即為測地線(彎曲空間中的“直線”),波動(dòng)方程即為黎曼流形中的標(biāo)量波動(dòng)方程。這樣黎曼幾何對(duì)黎曼流形上曲線、曲面及波動(dòng)的描述都可以應(yīng)用到對(duì)復(fù)雜介質(zhì)中地震波前射線和波動(dòng)方程的討論中,由此得到的許多結(jié)論對(duì)射線追蹤的走時(shí)計(jì)算和反演問題的處理有重要價(jià)值。在歐氏空間中,人們總是在笛卡爾坐標(biāo)系或極坐標(biāo)系中討論射線追蹤的問題。對(duì)均勻介質(zhì),這兩類坐標(biāo)系的應(yīng)用非常方便,但對(duì)復(fù)雜介質(zhì),其描述就不很簡潔。引入黎曼幾何描述之后,可在黎曼流形上建立射線坐標(biāo)系(測地平行坐標(biāo)系)和射線極坐標(biāo)系(測地極坐標(biāo)系),復(fù)雜介質(zhì)中的射線及波陣面的表述就有較簡潔的形式。例如,在射線極坐標(biāo)系中,θ=常數(shù),就描述了復(fù)雜介質(zhì)中從原點(diǎn)出發(fā)的射線。

黎曼幾何是描述彎曲空間(即流形)的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。本文給出了地震波傳播的黎曼幾何的基本理論框架,由介質(zhì)的速度分布函數(shù)引入了走時(shí)場的黎曼流形及描述此黎曼流形的多種特性函數(shù),還給出了局域各向同性、各向異性及更為復(fù)雜介質(zhì)中的射線方程在走時(shí)黎曼流形上的測地線方程及協(xié)變的波動(dòng)方程,并用測地曲率的劉維爾表述,導(dǎo)出了二維空間坐標(biāo)系內(nèi)的射線參數(shù)方程。我們只給出了最簡單的共形平坦的走時(shí)場的黎曼流形的計(jì)算,可看出黎曼幾何在描述射線追蹤、波場變換等方面的應(yīng)用前景。對(duì)于地震波在更為復(fù)雜的介質(zhì)中傳播的走時(shí)黎曼流形及其各種特性函數(shù),如度量、聯(lián)絡(luò)等表現(xiàn)為復(fù)雜的形式,而黎曼流形上的測地線方程和協(xié)變的波動(dòng)方程是高度非線性的復(fù)雜的微分方程,其數(shù)值解將給出研究復(fù)雜介質(zhì)中地震波傳播的另一種途徑。接下來我們還需要進(jìn)一步分析比較它與現(xiàn)有各種聲波各向異性方程的異同。