數(shù)形結(jié)合思想在解題上的應(yīng)用

王安琪

摘 要：數(shù)形結(jié)合思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，建立起“數(shù)”與“形”的優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解題中發(fā)揮著不容忽視的關(guān)鍵作用。并且，數(shù)形結(jié)合思想在“雙基”的基礎(chǔ)上，對(duì)學(xué)生的綜合能力發(fā)展提出了更高的要求，是學(xué)生提升探索創(chuàng)新能力與培養(yǎng)發(fā)散性思維的一個(gè)強(qiáng)大助力。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；解題；發(fā)散性思維；思想方法

一、數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)作為一門(mén)以客觀世界中的空間形式與數(shù)量關(guān)系作為研究對(duì)象的科學(xué)。其中既有形的直觀，又帶著數(shù)的抽象，兩者看似對(duì)立，實(shí)則卻是密不可分、相輔相成。數(shù)學(xué)家拉格朗日說(shuō)過(guò)：“只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄，但是當(dāng)這兩門(mén)科學(xué)結(jié)合成伴侶時(shí)，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善”。因此，數(shù)與形兩者的相互結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及研究發(fā)展的必然趨勢(shì)，其體現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合思想也是不容忽視的一個(gè)關(guān)鍵。在中學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合作為重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的得力手段?！皵?shù)形結(jié)合”主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。簡(jiǎn)而言之，數(shù)形結(jié)合就是指將直觀的幾何位置、圖形關(guān)系、抽象的數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)語(yǔ)言相結(jié)合，同時(shí)通過(guò)“以數(shù)解形”“以形助數(shù)”的方式使抽象問(wèn)題具體化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而優(yōu)化解題方法。即通過(guò)形象思維和抽象思維的結(jié)合優(yōu)化解題途徑。[1]抓住了形的生動(dòng)性、數(shù)的可操作性，取長(zhǎng)補(bǔ)短，才能相得益彰。

二、數(shù)形結(jié)合思想的教育價(jià)值

2.1 數(shù)形結(jié)合思想有利于學(xué)生將代數(shù)問(wèn)題形象化、直觀化，便于求解

代數(shù)問(wèn)題往往繁瑣機(jī)械，若適當(dāng)與圖形相結(jié)合，能夠簡(jiǎn)化問(wèn)題的求解過(guò)程，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)減輕負(fù)擔(dān)。做到數(shù)與形的雙向溝通，促進(jìn)表征對(duì)象與表征目標(biāo)間本質(zhì)結(jié)構(gòu)的深層理解，并且認(rèn)為這是通過(guò)解題而獲得數(shù)學(xué)理解的一條有效途徑。[2]換言之，數(shù)形結(jié)合思想融合代數(shù)與幾何，做到了優(yōu)化解決數(shù)學(xué)問(wèn)題并加深了對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解。

2.2數(shù)形結(jié)合思想有利于學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)

通過(guò)數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，雙管齊下，才可全面提升學(xué)生的抽象思維與形象思維能力。數(shù)形結(jié)合思想能夠讓學(xué)生學(xué)會(huì)打破思維定式，使得代數(shù)、幾何互相溝通，不再局限于片面的思維方式。而是學(xué)會(huì)發(fā)散性思維，可以從多角度、多層次地去看待問(wèn)題。有助于加深對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，有助于對(duì)具體數(shù)量關(guān)系和具體空間形式進(jìn)行抽象與概括，拓展了人們思維的深度與廣度，使數(shù)學(xué)思維更深刻，更具創(chuàng)造性。[3]更有利于學(xué)生今后在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的發(fā)展，實(shí)現(xiàn)進(jìn)一步的研究與提升。

2.3 數(shù)形結(jié)合思想有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

通過(guò)數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生不僅僅只是接觸呆板的數(shù)學(xué)式子與符號(hào)，而是結(jié)合靈活多變的數(shù)學(xué)圖形，體會(huì)到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美與藝術(shù)美。數(shù)學(xué)的客觀存在的美感，在數(shù)與形的結(jié)合上表現(xiàn)得十分完美。[4]如果在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，將規(guī)則的文字化為形象易懂的圖畫(huà)，則更易化難為易，讓學(xué)生充分體驗(yàn)應(yīng)用題的奇妙，感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的無(wú)比樂(lè)趣。[5]從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶給學(xué)生的體驗(yàn)不再是枯燥乏味，而是飽滿(mǎn)的興趣與滿(mǎn)足感。

三、數(shù)形結(jié)合思想的例題應(yīng)用

3.1 不等式中的應(yīng)用

利用勾股定理，構(gòu)造合適的長(zhǎng)方形ABCD（如下圖1所示）。

相比于方法二，方法一更加簡(jiǎn)潔易懂，知識(shí)儲(chǔ)備要求也更低。但思維方式更加靈活，如何構(gòu)造圖形是一個(gè)難點(diǎn)。合理利用數(shù)形結(jié)合思想，能夠使得解題更加輕松方便。

3.2 集合中的應(yīng)用

四、總結(jié)

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中，如果能恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，有的放矢地幫助學(xué)生、引導(dǎo)學(xué)生從靜態(tài)的思維方式向動(dòng)態(tài)的思維方式跨越，培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)能動(dòng)性與創(chuàng)新性。從而讓學(xué)生的思維不再局限于單一的代數(shù)或幾何，而是學(xué)會(huì)融會(huì)貫通，建立起溝通數(shù)與形的橋梁。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問(wèn)題解決的過(guò)程中，讓學(xué)生學(xué)會(huì)多角度、多層次地去理解并思考問(wèn)題，培養(yǎng)發(fā)散性思維，這樣才能讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)事半功倍。因此，讓學(xué)生建立數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的不二法門(mén)。

[參考文獻(xiàn)]

[1] 姚愛(ài)梅. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合方法的有效應(yīng)用[J]. 學(xué)周刊， 2011， No.108（12）： 50.

[2] 羅增儒. 數(shù)式與圖形溝通直覺(jué)與邏輯互動(dòng)（續(xù)）[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考， 2004， 卷缺失（7）： 24-26.

[3] 顧亞萍. 數(shù)形結(jié)合思想方法之教學(xué)研究[D]. [出版地不詳]： 南京師范大學(xué)， 2004.

[4] 李花花. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合提高解題能力的研究[D]. [出版地不詳]： 天津師范大學(xué)， 2008.

[5] 張加亮. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透與應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法[J]. 中國(guó)教育技術(shù)裝備， 2011， 卷缺失（13）： 58-59.

（作者單位：臺(tái)州學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江 臨海 317000）