一維擴(kuò)展量子羅盤(pán)模型的拓?fù)湫蚝土孔酉嘧?/h1>

2018-11-03 04:31:38陳西浩王秀娟

物理學(xué)報(bào)訂閱 2018年19期 收藏

關(guān)鍵詞：保真度長(zhǎng)程局域

陳西浩 王秀娟

1)(重慶大學(xué)材料科學(xué)與工程博士后流動(dòng)站,重慶 400030)

2)(重慶大學(xué),輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400044)

3)(重慶大學(xué)物理學(xué)院,重慶 400044)

(2018年4月30日收到；2018年7月13日收到修改稿)

1 引 言

量子多體系統(tǒng)的量子相與相變一直是凝聚態(tài)物理研究的重要內(nèi)容,尤其是自朗道自發(fā)對(duì)稱(chēng)破缺相變理論誕生以來(lái),為了獲得更多物相本質(zhì),人們引入了大量的理論模型.擴(kuò)展的量子羅盤(pán)模型[1](quantum compass model,QCM)就是其中非常重要的一個(gè).該模型可以描述過(guò)渡金屬氧化物的電子輸運(yùn)特性和量子比特保護(hù)機(jī)制,特別是量子比特保護(hù)機(jī)制在量子信息技術(shù)中存在潛在應(yīng)用[2,3].因此該模型的相圖本性得到了廣泛的研究.人們使用了多種解析和數(shù)值模擬方法對(duì)存在和不存在橫場(chǎng)的QCM進(jìn)行了研究[4?16].文獻(xiàn)[4—7]的結(jié)果表明:模型相變是系統(tǒng)內(nèi)在引起的且兩個(gè)無(wú)序相間是非連續(xù)相變；Sun和Chen[8]的自旋-自旋關(guān)聯(lián)、保真度磁化率和塊糾纏熵的有限尺寸標(biāo)度研究結(jié)果支持連續(xù)相變的觀點(diǎn)；而后Wang和Cho[9]的結(jié)果也支持這個(gè)觀點(diǎn)；文獻(xiàn)[10,11]綜合了前兩種觀點(diǎn),認(rèn)為連續(xù)相邊界與非連續(xù)相邊界交叉處是多臨界點(diǎn).特別地,Su等[11]對(duì)該模型進(jìn)行了全面的研究,得到了全面可信的結(jié)果(包含:能量、關(guān)聯(lián)、糾纏、糾纏譜簡(jiǎn)并度、保真度、序以及臨界指數(shù)).目前對(duì)于該模型的研究,人們把大量的精力都放在了相邊界上,卻鮮有人關(guān)注非局域長(zhǎng)程拓?fù)湎谊P(guān)聯(lián)序參量(以下簡(jiǎn)稱(chēng)弦關(guān)聯(lián)序參量).本文在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上,借助矩陣乘積態(tài)表示的無(wú)限虛時(shí)間演化塊算法[17],詳細(xì)地展示了如何從奇偶數(shù)弦關(guān)聯(lián)導(dǎo)出弦關(guān)聯(lián)序參量來(lái)研究該模型的量子相與相變的過(guò)程.要研究序參量,首先要明確的是序參量的概念.按照朗道自發(fā)對(duì)稱(chēng)破缺理論的理解,可以表述為:當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生自發(fā)對(duì)稱(chēng)性破缺時(shí),系統(tǒng)就會(huì)存在一個(gè)局域序,而這個(gè)局域序可以用一個(gè)局域序參量來(lái)刻畫(huà)[18].該序參量可以將局域相和其他相區(qū)分開(kāi),對(duì)于連續(xù)相變還應(yīng)滿足標(biāo)度定律.然而長(zhǎng)程拓?fù)湎嗍且活?lèi)新穎的相,超越了朗道連續(xù)相變理論,無(wú)法使用傳統(tǒng)的Landau-Ginzburg-Wilson范式的兩個(gè)基本概念:自發(fā)對(duì)稱(chēng)性破缺與局域序參量.但我們可以借助序參量的概念來(lái)定義弦關(guān)聯(lián)序參量.局域序參量一般是根據(jù)局域磁化強(qiáng)度來(lái)確定的.弦關(guān)聯(lián)序參量的定義可以參照以上思路,用弦關(guān)聯(lián)來(lái)定義,需滿足:1)系統(tǒng)需發(fā)生隱性對(duì)稱(chēng)破缺；2)該弦關(guān)聯(lián)序參量可以唯一刻畫(huà)區(qū)分對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)程拓?fù)湎鄥^(qū)域；3)對(duì)于連續(xù)相變,在相變點(diǎn)附近滿足標(biāo)度定律.

本文第2部分介紹了模型與相圖；第3部分應(yīng)用單位格點(diǎn)保真度重復(fù)確認(rèn)了相圖；第4部分詳細(xì)介紹了如何導(dǎo)出弦關(guān)聯(lián)序參量的過(guò)程,獲得了序參量相圖并提取了臨界指數(shù)；第5部分是總結(jié).

2 模 型

擴(kuò)展的QCM模型的哈密頓量如下:

圖1 擴(kuò)展的量子羅盤(pán)模型示意相圖Fig.1.Schematic phase diagram of the one-dimensional extended quantum compass model.

3 保真度

保真度是源于量子信息的概念,用于測(cè)量?jī)蓚€(gè)量子態(tài)的相似度；定義為兩個(gè)量子態(tài)波函數(shù)的交疊.在矩陣乘積態(tài)表述下,保真度可定義為與控制參量J1和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)|?(J1)?和|?(?的交疊,即F(J1=|??(J1)|?(?|；其滿足：1)歸一性F(J1,J1)=1；2)有界性0 6 F(J1,6 1；以及3)對(duì)稱(chēng)性F(J1,=F(J,J1).此外,保真度和系統(tǒng)尺度L存在如下標(biāo)度[20]:

d(J1,)是單位格點(diǎn)保真度.這個(gè)定義近年來(lái)被引入到量子相變的研究,它能準(zhǔn)確而方便地給出相變點(diǎn)位置[20].

在圖2中,我們計(jì)算了棕色線(1)J2=2(1?J1)上的參數(shù)區(qū)間的保真度.保真度平面存在兩個(gè)擠點(diǎn)(相變點(diǎn)),圖2(a)在(J1=(0,0)發(fā)生非連續(xù)相變；非連續(xù)相變的傳統(tǒng)解釋是存在能級(jí)交叉,一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù),則判定系統(tǒng)發(fā)生了非連續(xù)性相變.從單位格點(diǎn)保真度的角度而言,保真度表面存在著跳躍(不連續(xù))即判定為非連續(xù)相變.出現(xiàn)這種跳躍的原因在于波函數(shù)內(nèi)部結(jié)構(gòu)嚴(yán)重的不一致.圖2(b)在(J1=(0.5,0.5)發(fā)生連續(xù)相變.連續(xù)相變的傳統(tǒng)解釋是能量的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù),而二階及以上導(dǎo)數(shù)不連續(xù),則判定系統(tǒng)發(fā)生了連續(xù)相變.而單位格點(diǎn)保真度則認(rèn)為只要保真度表面是連續(xù)變化的,就認(rèn)為系統(tǒng)發(fā)生了連續(xù)相變.發(fā)生這種相變的原因在于:系統(tǒng)波函數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)是連續(xù)變化的,變化的程度相對(duì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)弱于非連續(xù)相變的情況.以上單位格點(diǎn)保真度結(jié)果和文獻(xiàn)[11]結(jié)果一致.

圖2 單位格點(diǎn)保真度d(J1,隨控制參量J1和的變化(a)非連續(xù)相變,在(J1,=(0,0)處；(b)連續(xù)相變,在(J1,=(0.5,0.5)處Fig.2.Ground-statefidelity per lattice site d(J1,as a function of control parameters J1and(a)discontinuous phase transition at(J1,=(0,0)；(b)continuous phase transition at(J1,=(0.5,0.5).

4 弦關(guān)聯(lián)與量子相變

擴(kuò)展的QCM模型的自旋耦合強(qiáng)度取決于輪換的奇偶數(shù)鍵,奇偶數(shù)鍵上耦合強(qiáng)度的不同會(huì)體現(xiàn)在基態(tài)波函數(shù)的奇偶數(shù)鍵的糾纏的不同,奇偶數(shù)鍵糾纏的不同必然導(dǎo)致所有格點(diǎn)有“二聚化”[21,22]偏向,奇數(shù)和偶數(shù)格點(diǎn)就會(huì)有差異.基于此,我們假設(shè)奇偶數(shù)弦關(guān)聯(lián)函數(shù)可以用來(lái)區(qū)分長(zhǎng)程拓?fù)湎?并采用了如下弦關(guān)聯(lián)函數(shù)定義[9,23?28]:

4.1 偶弦關(guān)聯(lián)行為

在圖3中,我們計(jì)算了代表點(diǎn)PII、PI和PIV的偶弦關(guān)聯(lián)的短程行為.在x和y方向,PII,PI和PIV的偶弦關(guān)聯(lián)都衰減為0；在z方向,PII和PI的偶弦關(guān)聯(lián)衰減為0,而PIV的偶弦關(guān)聯(lián)表現(xiàn)為單調(diào)負(fù)值.

圖3 偶弦關(guān)聯(lián)函數(shù)O,O和O隨格點(diǎn)間距|i?j|的變化行為Fig.3. Even string correlations O,Oand Oas a function of the distance of the lattice sites|i?j|.

4.2 奇弦關(guān)聯(lián)行為

在圖4中,類(lèi)似偶弦關(guān)聯(lián),我們也計(jì)算了代表點(diǎn)PII,PI和PIV的奇弦關(guān)聯(lián)行為.圖4(a)點(diǎn)PII奇弦關(guān)聯(lián)O是單調(diào)負(fù)值,O和O是振蕩值.圖4(b)點(diǎn)PI的奇弦關(guān)聯(lián)O,O和Osz都是odd單調(diào)負(fù)值.圖4(c)點(diǎn)PIV的奇弦關(guān)聯(lián)O和O非常快地衰減為0,O是單調(diào)負(fù)值.內(nèi)插圖展示的是奇弦關(guān)聯(lián)的非0長(zhǎng)程飽和行為,確保了奇弦關(guān)聯(lián)的非平庸性.自然地,用奇弦關(guān)聯(lián)定義的奇弦關(guān)聯(lián)序參量也就具有了非平庸性.

圖4 奇弦關(guān)聯(lián)O,O和O隨格點(diǎn)間距|i?j|變化行為,內(nèi)插圖展示的是飽和行為Fig.4. Behaviors of the odd string correlations with the distance of the lattice sites|i?j|.The insets show the saturation behaviors.

4.3 弦關(guān)聯(lián)序參量相圖

為了更深刻地理解系統(tǒng)發(fā)生的量子相變,需要找到系統(tǒng)的序參量(當(dāng)系統(tǒng)處于長(zhǎng)程拓?fù)湎鄷r(shí)應(yīng)找到弦關(guān)聯(lián)序參量).4.1和4.2節(jié)的結(jié)果表明:1)偶弦關(guān)聯(lián),在x和y方向,不管是在長(zhǎng)程拓?fù)湎鄥^(qū)域還是局域相區(qū)域,偶弦關(guān)聯(lián)都衰減為0,這是平庸的,無(wú)法用作弦關(guān)聯(lián)序參量的定義;在z方向,在局域相區(qū)域里,偶弦關(guān)聯(lián)是單調(diào)負(fù)值,這和該區(qū)域存在明顯的局域序相違,所以偶弦關(guān)聯(lián)無(wú)法用作弦關(guān)聯(lián)序參量的定義；2)對(duì)于奇弦關(guān)聯(lián),1在x方向,在長(zhǎng)程拓?fù)湎鄥^(qū)域中都表現(xiàn)出單調(diào)負(fù)值,在局域相區(qū)域,衰減為0；在兩個(gè)長(zhǎng)程拓?fù)湎鄥^(qū)域中,偶弦關(guān)聯(lián)行為一致；更為特別的是相圖1中的相變點(diǎn)(J1/L,J2/L)=(0,2),和文獻(xiàn)[9]中的深度處于長(zhǎng)程拓?fù)湫蛑械狞c(diǎn)(Jy,Jz)=(8,4)等價(jià),也就是說(shuō)相變點(diǎn)(J1/L,J2/L)=(0,2)深度處于單調(diào)O長(zhǎng)程序中,故x方向的奇弦關(guān)聯(lián)在整個(gè)長(zhǎng)程拓?fù)鋮^(qū)域(含相變點(diǎn))都具有O長(zhǎng)程拓?fù)湫?不可用于弦關(guān)聯(lián)序參量的定義；2在y方向,在長(zhǎng)程拓?fù)湎鄥^(qū)域II中,奇弦關(guān)聯(lián)表現(xiàn)為振蕩行為,即+?+?......+?+?；而在區(qū)域I中表現(xiàn)為單調(diào)負(fù)值,即????......????；在局域相區(qū)域IV中衰減為0；3在z方向,奇弦關(guān)聯(lián)一直存在,不可用作弦關(guān)聯(lián)序參量的定義.綜上,弦關(guān)聯(lián)序參量?jī)H可采用y方向奇弦關(guān)聯(lián)來(lái)定義.結(jié)合示意相圖特性,可考慮如下兩種類(lèi)型奇弦關(guān)聯(lián)序參量定義:

但需要注意弦關(guān)聯(lián)序參量是按照格點(diǎn)間距|i?j|來(lái)定義的,理論上來(lái)說(shuō)該間距可做到無(wú)窮大,這是有限的時(shí)間和計(jì)算資源所不允許的,通常人們會(huì)設(shè)定一個(gè)誤差范圍(本文設(shè)定的誤差范圍是ε＜1e?8),當(dāng)達(dá)到這個(gè)誤差范圍時(shí)就認(rèn)為該弦關(guān)聯(lián)值就是弦關(guān)聯(lián)序參量的值.從相鄰相的區(qū)分意義上,Wang和Cho[9]成功地找到了一組弦序參量；而弦關(guān)聯(lián)的線性組合弦序參量：

適用于全局參數(shù)區(qū)間.圖5給出了序參量相圖,包含y方向的振蕩奇弦關(guān)聯(lián)序相(J1＜0)、y方向的單調(diào)奇弦關(guān)聯(lián)序相(＜；J1＜0.5)、和反鐵磁相(J1＞0.5).單調(diào)(振蕩)奇(偶)弦關(guān)聯(lián)序參量是Hida等[23]在研究輪換交替作用的海森伯模型時(shí),為了描述偶弦關(guān)聯(lián)Haldane相和二聚相共存的情況而引入.而后Wang和Cho[9]為了刻畫(huà)區(qū)分四種不同的Haldane相而引入到QCM模型中.擴(kuò)展的QCM模型中雖有輪換交替耦合,卻不存在二聚相,但輪換交替耦合確實(shí)會(huì)導(dǎo)致基態(tài)波函數(shù)存在“二聚化”偏向.故在引入單調(diào)(振蕩)奇(偶)弦關(guān)聯(lián)時(shí)是假設(shè)它們可以用于長(zhǎng)程拓?fù)湎鄥^(qū)域刻畫(huà).經(jīng)過(guò)數(shù)值證實(shí),由“二聚化”偏向引入的單調(diào)(振蕩)奇弦關(guān)聯(lián)序參量可以很好地刻畫(huà)區(qū)分長(zhǎng)程拓?fù)湎鄥^(qū)域.y方向振蕩奇弦關(guān)聯(lián)序參量和單調(diào)奇弦關(guān)聯(lián)序參量值非0表明在這兩個(gè)子區(qū)間發(fā)生了隱性的Z2×Z2對(duì)稱(chēng)破缺.隨著控制參量J1增大到0.5后,它打破了原來(lái)的長(zhǎng)程序,系統(tǒng)發(fā)生自發(fā)對(duì)稱(chēng)破缺,進(jìn)入反鐵磁序.磁化強(qiáng)度表現(xiàn)為符號(hào)相反、大小相等.

圖5 以J1為控制參量的基態(tài)序參量相圖Fig.5. The ground-state phase diagram of order parameters as a function of control parameter J1.

4.4 臨界指數(shù)

圖6 (a)βO；(b) β；圖標(biāo)是數(shù)據(jù),實(shí)線為擬合曲線Fig.6. (a)β；(b) β.The icons are data.The solid line is fitting line.

臨界指數(shù)是研究系統(tǒng)臨界性質(zhì)的參數(shù).提取臨界指數(shù)能從更深的層次上揭示相變的性質(zhì).圖6展示了漸近臨界點(diǎn)J=0.5過(guò)程中,y方向的單調(diào)奇弦關(guān)聯(lián)序參量和局域磁化強(qiáng)度隨著|J1?J|的冪次律變化關(guān)系.它們的冪次律擬合方程分別為O=|J1?|2β和|?|=|J1?J|β.擬合臨界指數(shù)βO=0.1236 和β|?σ?|=0.1246都趨近于準(zhǔn)確值β=1/8表明:該處發(fā)生相變的普適類(lèi)為Ising類(lèi)型.

5 結(jié) 論

本文應(yīng)用矩陣乘積態(tài)表述的無(wú)限虛時(shí)間演化塊算法,研究了擴(kuò)展的QCM模型的長(zhǎng)程拓?fù)湎嗪土孔酉嘧?為了深入研究該模型的長(zhǎng)程拓?fù)湎嗪土孔酉嘧?按照奇數(shù)和偶數(shù)鍵,本文引入了奇數(shù)弦關(guān)聯(lián)和偶數(shù)弦關(guān)聯(lián).弦關(guān)聯(lián)表現(xiàn)出三種截然不同的行為:衰減為零、單調(diào)飽和與振蕩飽和.基于弦關(guān)聯(lián)的以上特征導(dǎo)出的y方向的振蕩 (單調(diào))奇弦關(guān)聯(lián)序參量可描述該模型的長(zhǎng)程拓?fù)湎嗪土孔酉嘧?y方向的振蕩(單調(diào))奇弦關(guān)聯(lián)序參量的非零值表明擴(kuò)展的QCM發(fā)生了隱性的Z2×Z2對(duì)稱(chēng)破缺.在臨界點(diǎn)J=0.5附近,局域磁化強(qiáng)度和單調(diào)奇弦關(guān)聯(lián)序參量的臨界指數(shù)β=1/8表明相變的普適類(lèi)是Ising類(lèi)型.此外,保真度探測(cè)到的相變點(diǎn)、連續(xù)性與非連續(xù)性和序參量結(jié)果一致.以上方法對(duì)長(zhǎng)程拓?fù)湎嗪土孔酉嘧兊难芯烤哂兄笇?dǎo)意義.

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