密度算子的保真度的向量表示

張坤利, 曹懷信, 王 敏

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710062)

0 引 言

近年來, 量子信息光學(xué)引起了人們的極大興趣, 保真度是量子光學(xué)和信息科學(xué)領(lǐng)域的一個重要概念, 它表示信息在傳輸過程中保持原來狀態(tài)的程度, 并廣泛應(yīng)用于量子通訊和量子計(jì)算理論研究中. 隨著量子信息和量子計(jì)算理論的不斷發(fā)展和完善, 它的研究領(lǐng)域不斷擴(kuò)大, 對保真度的相關(guān)研究引起了來自不同領(lǐng)域?qū)W者的廣泛關(guān)注. 文獻(xiàn)[1]引入了量子信道的保真度測量, 并描述了信道保真度的性質(zhì), 討論了信道保真度在量子信息科學(xué)方面的應(yīng)用；文獻(xiàn)[2]給出了Hilbert-Schmidt內(nèi)積下N量子系統(tǒng)上的兩個密度算子及純態(tài)之間的信道保真度的二擇一保真度定義, 定義了兩個線性算子之間的算子保真度, 并證明了算子保真度除了一個規(guī)范化因子也滿足所有的Jozsa′s四公理；文獻(xiàn)[3]證明了N-態(tài)量子系統(tǒng)上的兩個態(tài)之間的二擇一保真度測量, 給出了這種保真度的幾何解釋, 并證明了當(dāng)N=2時, 二擇一保真度等價于Bures保真度. 算子理論是量子信息與計(jì)算的基礎(chǔ)與工具, 也是泛函分析的核心內(nèi)容. 在量子力學(xué)中, 不同的算子代表不同的物理量, 算子的不同代數(shù)運(yùn)算, 意味著不同的物理規(guī)律, 所以研究算子之間的差異是必要的. 文獻(xiàn)[2]給出了算子保真度的定義, 為研究算子差異提供了一個重要方法. 本文研究N維Hilbert空間H上密度算子的保真度的具體表示形式.

以下H表示H維Hilbert空間,B(H)表示H上所有有界線性算子之集.

1 算子保真度

對任意的A,B∈B(H), 定義內(nèi)積為〈A,B〉=Tr(A+B) , 則得到B(H)上的一個內(nèi)積.我們稱這種內(nèi)積為Hilbert-Schmidt內(nèi)積. 由此導(dǎo)出的范數(shù)為

若A是Hilbert空間H上的一個半正定線性算子, 且滿足Tr(A)=1, 則稱A是H上的一個密度算子. 我們把H上的所有密度算子組成的集合記為D(H), 即

D(H)={A∈B(H)|Tr(A)=1,A≥0}

定義1[2]設(shè)A,B是Hilbert空間H上的任意兩個非零線性算子, 則稱

為A,B之間的保真度.

注當(dāng)A,B∈D(H)時, 有

2 算子保真度的表示

引理1[3]任意一個N×N密度矩陣A都可以表示為

引理2任意一個形如A=A1?A2?……?AN的2N階密度矩陣都可以表示為

其中I為2×2單位矩陣,σi(i=1,2,3)為Pauli矩陣,Ai(i=1,2,…,N)為二階密度算子,

(σ?I?I?…?I)),i=1,2,3；

?

?

?

且

下面我們給出能用以上形式表示的密度算子的保真度的Bloch向量形式.

定理1設(shè)A,B是N×N階密度矩陣，則它們之間的保真度可表示為

證明因?yàn)锳，B是N×N階密度算子，所以A，B可以表示為

Tr(λi)=0,Tr(λiλj)=2δij,i,j=1,2,…,N2-1.

從而有

故有

推論1當(dāng)N=2時，A，B可表示為

則它們之間的保真度可表示為

推論2當(dāng)N=3時，A，B為表示為

則它們之間的保真度為表示為

定理2設(shè)Ai,Bi(i=1,2,…,N)為二階密度算子，

A=A1?A2?…?AN,B=B1?B2?…?BN,

則

證明由引理2可知，A和B可表示為

由于

Tr(I?I?…?I)=2N, Tr(I?σim?…?I)=0, Tr(I?σim?σin?…?I)=0,

Tr(σi1?σi2?…?σiN)=0,i=1,2,3;m≠n,m,n=1,2,…,N,

因此

從而

推論3設(shè)A=A1?A2,B=B1?B2為密度算子，A1，A2，B1，B2為二階密度算子，則它們之間的保真度.

其中

?I)),i1=1,2,3；

對于任意兩個密度矩陣，它們的保真度可以用Bloch向量和有限個矩陣表示，并且當(dāng)N比較小時，它簡化了算子保算度的計(jì)算.但是對于無限維的算子保真度有待進(jìn)一步研究.

參考文獻(xiàn)

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