無(wú)限維量子系統(tǒng)上的保真度

段周波， 牛麗芳

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030024)

1 研究背景

在量子力學(xué)中， 一個(gè)量子系統(tǒng)可描述為一個(gè)可分復(fù)希爾伯特空間H. 注意到量子態(tài)ρ∈B(H)是一個(gè)跡為1的正的跡類算子， 即ρ≥0且Trρ=1. 令S(H)表示所有H上的態(tài)的集合， 可知它是一個(gè)凸集. 保真度是量子光學(xué)和信息科學(xué)領(lǐng)域中非常重要的一個(gè)概念, 廣泛應(yīng)用于量子通信和量子計(jì)算, 它表示信息在傳播過(guò)程中保持原來(lái)狀態(tài)的程度. R.Jozsa等[1-2]首先提出保真度的概念， 其定義式為

當(dāng)dimH=n<∞, Uhlmann[3-4]證明了F(ρ,σ)=max|〈φ|φ〉|， 其中φ,φ是ρ,σ相應(yīng)的純化， 最大值在ρ,σ的所有純化上取得， 這個(gè)性質(zhì)叫做Uhlmann定理. 另外， 在量子編碼術(shù)以及信息傳遞過(guò)程中， 為了描述量子信息的保真度， 研究者又定義了兩類重要的保真度： 糾纏保真度和系綜平均保真度[5-7]. 假設(shè)R和Q是兩個(gè)量子系統(tǒng)， dimQ=n<∞, 系統(tǒng)R是孤立的， 與外界沒(méi)有任何形式的能量交換， 其內(nèi)部的哈密頓量為0. 在初始時(shí)刻， 系統(tǒng)Q被制備在ρQ態(tài)， 在復(fù)合系統(tǒng)RQ上純化ρQ， 得到一個(gè)糾纏純態(tài)|ψR(shí)Q〉， 經(jīng)過(guò)信道IR?ΦQ的作用， 最后的末態(tài)可能是復(fù)合系統(tǒng)RQ上的一個(gè)混合態(tài)， 用ρRQ′來(lái)描述， 而在這個(gè)信息傳遞過(guò)程中的保真度

Fe=Tr|ψR(shí)Q〉〈ψR(shí)Q|ρRQ′=〈ψR(shí)Q|ρRQ′|ψR(shí)Q〉,

近來(lái)， 學(xué)者在無(wú)限維量子系統(tǒng)中對(duì)保真度展開了一定的研究. 無(wú)限維量子系統(tǒng)(包括連續(xù)變量系統(tǒng))在量子通信與量子信息理論中起著巨大的作用[8-13].Hou等[14]將量子保真度的概念推廣到無(wú)限維情形， 并證明了Uhlmann定理在無(wú)限維情形中依然成立， 并將其稱之為無(wú)限維版本的Uhlmann定理. 緊接著，Wang等[15]將糾纏保真度的概念推廣到了無(wú)限維情形， 并在無(wú)限維情形中對(duì)糾纏保真度和量子保真度進(jìn)行了深入地探討和比較.

本文在無(wú)限維量子系統(tǒng)中， 利用無(wú)限維版本的Uhlmann定理， 探討了量子保真度的一些基本性質(zhì)， 并且證明了糾纏保真度與量子態(tài)的純化的選擇無(wú)關(guān)這一重要性質(zhì)， 最后研究了糾纏保真度和系綜平均保真度的關(guān)系.

2 主要結(jié)論及證明

引理 1 (無(wú)限維Uhlmann定理)[14]設(shè)H和K是兩個(gè)無(wú)窮維復(fù)希爾伯特空間， 對(duì)H上任意兩個(gè)態(tài)ρ和σ， 有

F(ρ,σ)=max{|〈φ|ψ〉|2∶|φ〉∈Pρ,|ψ〉∈Pσ},

其中Pρ={|φ〉∈H?K∶|φ〉是ρ的一個(gè)純化}.

定理 1 (無(wú)限維保真度的強(qiáng)凹性) 設(shè)H是一個(gè)無(wú)窮維復(fù)希爾伯特空間， {pi}和{qi}是兩個(gè)概率分布， {ρi}和{σi}是H上相應(yīng)的兩列量子態(tài)， 則

〈φ|ψ〉|2=

利用定理1， 很容易得到下面的推論：

推論 1 (無(wú)限維保真度的聯(lián)合凹性) 設(shè)H是一個(gè)無(wú)窮維復(fù)希爾伯特空間， {pi}是一個(gè)概率分布， {ρi}是H上相應(yīng)的一列量子態(tài)， 則

推論 2 (無(wú)限維保真度的凹性) 設(shè)H是一個(gè)無(wú)窮維復(fù)希爾伯特空間， {pi}是一個(gè)概率分布， {ρi}是H上相應(yīng)的一列量子態(tài)， 且σ是H上的一個(gè)量子態(tài)， 則

引理 2[16]設(shè)R和Q是兩個(gè)無(wú)窮維量子系統(tǒng)， 主系統(tǒng)Q上有一個(gè)初始量子態(tài)ρQ和一個(gè)量子信道ΦQ. 若|φ1〉和|φ2〉是初始態(tài)ρQ的兩個(gè)純化， 它們經(jīng)過(guò)動(dòng)力演化IR?ΦQ之后相應(yīng)的末態(tài)為ρ1和ρ2， 則存在輔助系統(tǒng)R上的一個(gè)等距算子VR， 使得ρQ的兩個(gè)純化滿足下面兩個(gè)公式之一： |φ1〉=(VR?IQ)|φ2〉 或者|φ2〉=(VR?IQ)|φ1〉； 它們相應(yīng)的末態(tài)滿足相應(yīng)的公式：ρ1=(VR?IQ)ρ2(VR?IQ)*或者ρ2=(VR?IQ)ρ1(VR?IQ)*.

定理 2 設(shè)Q是一個(gè)無(wú)窮維量子系統(tǒng)， 其上有一個(gè)初始量子態(tài)ρQ和一個(gè)量子信道ΦQ， 則糾纏保真度Fe與ρQ的純化的選擇無(wú)關(guān).

證明 假設(shè)|φ1〉和|φ2〉是ρQ的兩個(gè)純化， 它們經(jīng)過(guò)動(dòng)力演化IR?ΦQ之后相應(yīng)的末態(tài)為ρ1和ρ2， 由引理2， 不失一般性地可假設(shè)|φ2〉=(VR?IQ)|φ1〉成立， 此時(shí)

ρ2=(VR?IQ)ρ1(VR?IQ)*,

這樣

Fe2=〈φ2|ρ2|φ2〉=〈φ1|(VR?IQ)*

(VR?IQ〉ρ1(VR?IQ)*(VR?IQ)|φ1〉=

〈φ1|ρ1|φ1〉=Fe1,

表明糾纏保真度Fe與ρQ的純化的選擇無(wú)關(guān).

根據(jù)強(qiáng)算子拓?fù)洌?可知ΘRQ收斂于HR?HQ的子空間上的一個(gè)投影

于是有算子不等式ΘRQ≥|ΨRQ〉〈ΨRQ|. 對(duì)于所有的正的跡類算子TRQ, 顯然Tr[(ΘRQ-|ΨRQ〉〈ΨRQ|)TRQ]≥0, 即Tr(ΘRQTRQ)≥Tr(|ΨRQ〉〈ΨRQ|TRQ). 注意到

于是

Fe=Tr|ΨRQ〉〈ΨRQ|ρRQ′≤TrΘRQρRQ′=

3 結(jié) 論

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