“線性代數(shù)”信息化教學(xué)的探索

位瑞英，李 銀

（韶關(guān)學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 韶關(guān) 512005）

線性代數(shù)是高等數(shù)學(xué)中非常重要的一門課程，是大學(xué)本科計(jì)算機(jī)、管理、工程、經(jīng)濟(jì)等各專業(yè)必修的基礎(chǔ)課，也是一門在很多領(lǐng)域中具有廣泛應(yīng)用的工具課程。在以往傳統(tǒng)的課堂教學(xué)中，受制于課堂45分鐘時(shí)間、硬件設(shè)施等方面的限制，授課重點(diǎn)通常放在理論知識(shí)的講授上。自從2014年教育部關(guān)于地方本科高校轉(zhuǎn)型發(fā)展的指導(dǎo)意見頒布以來，部分地方本科高校開始向應(yīng)用型本科院校轉(zhuǎn)型，作為大學(xué)數(shù)學(xué)核心課程的“線性代數(shù)”也面臨著教學(xué)的改革和調(diào)整，克服重理論、輕實(shí)踐的傾向，其一般的方式是信息的多元融合，融入教學(xué)輔助工具，將理論問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)問題的思路引入教學(xué)過程中［1-5］，再結(jié)合數(shù)學(xué)軟件的功能，讓學(xué)生掌握如何用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行相關(guān)計(jì)算的同時(shí)，加深對(duì)所學(xué)線性代數(shù)知識(shí)的理解。無論是從掌握一門實(shí)用技巧出發(fā)，還是從線性代數(shù)這門課程教學(xué)改革的意義出發(fā)，兩者相結(jié)合實(shí)施教學(xué)都有可取之處，進(jìn)而體現(xiàn)出地方應(yīng)用型高校學(xué)生以“應(yīng)用為驅(qū)動(dòng)，學(xué)生為主導(dǎo)”的特點(diǎn)。

隨著信息技術(shù)的飛速發(fā)展，基于開放、包容原則發(fā)展的數(shù)值實(shí)驗(yàn)呈排山倒海之勢(shì)在快速改變著傳統(tǒng)的一切。數(shù)學(xué)軟件MATLAB以其具有的數(shù)值與符號(hào)計(jì)算、圖像顯示、文字處理以及強(qiáng)大的矩陣運(yùn)算功能等特點(diǎn)受到廣大師生的推崇，而線性代數(shù)中向量組的線性相關(guān)性，以及在它的基礎(chǔ)上推導(dǎo)和衍生出的其他相關(guān)理論，如矩陣的運(yùn)算、向量組的線性相關(guān)性的判定、線性方程組解的結(jié)構(gòu)及求法、二次型等許多知識(shí)點(diǎn)都離不開矩陣。如何將MATLAB軟件引入線性代數(shù)的教學(xué)中已經(jīng)成為地方高校線性代數(shù)教學(xué)改革的一種趨勢(shì)。一方面，能加深學(xué)生對(duì)理論知識(shí)的理解；另一方面，改進(jìn)了傳統(tǒng)的教學(xué)方式，也可以突出該學(xué)科與數(shù)學(xué)模型、數(shù)值分析等課程的聯(lián)系，提高學(xué)生的動(dòng)手能力及參與度，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的獲取、理解與掌握有重要的推動(dòng)作用，從而達(dá)到“學(xué)練結(jié)合，學(xué)有所獲，學(xué)以致用”的效果。

在傳統(tǒng)的線性代數(shù)解題中，計(jì)算一個(gè)矩陣的秩、判斷向量組線性相關(guān)性、求解方程組等知識(shí)點(diǎn)中，學(xué)生需要花很長(zhǎng)時(shí)間，并且計(jì)算準(zhǔn)確率不高。而利用現(xiàn)代教學(xué)方式與信息化軟件融合的方式，將會(huì)大大縮短計(jì)算的時(shí)間，增加準(zhǔn)確率，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。下面將以具體例子說明，首先給出常用的軟件命令，見表1。

表1 常用的軟件命令表

一、MATLAB在向量組線性相關(guān)性中的應(yīng)用

例1求下列矩陣列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組：

記矩陣 B的 4個(gè)列向量依次為 α1,α2,α3,α4，則α1,α2,α4是列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，且有α3=3α1-2α2。

解 編寫程序如下：

說明 α1,α2,α3是 R3的一個(gè)基，且有 b1=5α1+α2+α3,坐標(biāo)為(5,1,1)T。

二、利用MTALAB求解齊次線性方程組

例3 求解線性方程組：

解 在MTALAB命令窗口輸入程序：

＞＞A=［1-2-1-1;2-4 5 3;4-8 17 11］;

＞＞r=rank(A) %求系數(shù)矩陣的秩

＞＞y=null(A,‘r’) %求齊次方程組的基礎(chǔ)解系

＞＞r=2， ξ1=(2,1,0,0)T,ξ2=(2,1,-5,7)T

結(jié)果分析：系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)x的個(gè)數(shù)(rank（A）=2＜3)，根據(jù)相關(guān)判定定理可知，該齊次方程組有非零解，并且基礎(chǔ)解系中有兩個(gè)列向量；通過命令null(A,‘r’)，可以進(jìn)一步得到該方程組的基礎(chǔ)解系。

三、利用MTALAB解非齊次線性方程組

情況1 方程組解的存在性判斷定理：若非齊次線性方程組系數(shù)矩陣A的秩不等于增廣矩陣B的秩，則該方程組無解。

在MATLAB命令窗口運(yùn)行以下命令：

＞＞A=［2 1-1 1;3-2 2-3;5 1-1 2;2-1 1-3］;%系數(shù)矩陣

＞＞b=［1;2;0;4］;%常數(shù)列向量

＞＞B=［A b］; %增廣矩陣

＞＞rank(A),rank(B)%系數(shù)矩陣的秩及增廣矩陣的秩

結(jié)果：rank（A）=3，rank（B）=4.

由于 rank（A）≠rank（B），故由解的存在性判斷定理可知，該非齊次線性方程組無解。

情況2 方程組解的存在性判斷定理：若非齊次線性方程組系數(shù)矩陣A的秩等于增廣矩陣B的秩，同時(shí)又等于未知數(shù)x的個(gè)數(shù)，則該方程組有唯一解。

借助MATLAB軟件求解，具體程序如下：

＞＞A=［1 3 5-4 0;1 3 2-2 1;1-2 1-1-1;1-4 1 1-1;1 2 1-1 1］;

＞＞b=［1;-1;3;3;-1］;

＞＞B=［A b］;

＞＞rank(A)

＞＞rank(B)

由于 rank（A）=rank（B）=4（未知數(shù) x的個(gè)數(shù)），因此由解的存在性判斷定理可知，該方程組有唯一解。

情況3 方程組解的存在性判斷定理：如果系數(shù)矩陣A的秩等于增廣矩陣B的秩，同時(shí)小于未知數(shù)x的個(gè)數(shù)，則該方程組有無窮多解。

編寫MATLAB程序：

＞＞A=［2-1 4-3;1 0 1-1;3 1 1 0;7 0 7-3］;

＞＞b=［-4;-3;1;3］;

＞＞B=［A b］;

＞＞rank(A)

＞＞rank(B)

結(jié)果分析：矩陣A的秩等于矩陣B的秩=3＜4(未知數(shù)x的個(gè)數(shù))，因此由解的存在性判斷定理可知，該線性方程組有無窮多解。

四、MATLAB在相似矩陣及二次型中的應(yīng)用

解 二次型矩陣為：

P就是所求的正交矩陣，使得PTAP=D，令X=PY，其中 X=［x1x4］T,Y=［y1y4］T，化簡(jiǎn)后的二次型為g=9+18+18。

上面求得的正交矩陣P是數(shù)值解，下面求正交矩陣的精確解。由命令可求：

此處v的第1、2、3列分別是所求得矩陣A的特征值9、18、18所對(duì)應(yīng)的特征向量。然后對(duì)v化簡(jiǎn)，正交化與單位化處理，可求出正交矩陣P。

通過本文的案例可以看出，通過將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)軟件MTALAB引入到線性代數(shù)的教學(xué)中，一方面有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與鞏固；另一方面改變了傳統(tǒng)的教學(xué)方式，讓學(xué)生更多的參與到教學(xué)討論中，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的效率和興趣，也避免了手動(dòng)將矩陣做行初等變換等一系列的計(jì)算過程，從而大大縮短了計(jì)算時(shí)間，增加了準(zhǔn)確率，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)理論知識(shí)的同時(shí)了解了計(jì)算機(jī)的實(shí)用，并能熟練運(yùn)用MTALAB軟件解決線性代數(shù)中的問題，進(jìn)而達(dá)到學(xué)有所用、學(xué)以致用，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)的目的。

利用信息融合方法解決線性代數(shù)問題是現(xiàn)代教育研究課題之一，本文從線性代數(shù)的實(shí)際出發(fā)，借助信息技術(shù)與數(shù)學(xué)軟件功能，輔助求出線性代數(shù)問題，形成了“講授、板書、計(jì)算機(jī)演示”為一體的教學(xué)模式，從而豐富了線性代數(shù)問題的案例教學(xué)，并從實(shí)際意義和結(jié)果分析上，揭示實(shí)際學(xué)習(xí)中代數(shù)問題快速求解的重要意義。