一類非線性四階拋物方程周期解的存在性

梁波,吳曉琴,張振宇

(大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116028)*

0 引言

晶體是由物質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)在空間中作有規(guī)律的排列而形成的物質(zhì). 晶體按照不同性質(zhì)可分為離子、原子、分子、金屬等四大典型類別.由于晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)中的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動, 從而形成了一定形式的晶格, 外表上為具有一定形狀的幾何多面體.

由于各種不同的原因, 晶體原子在不同程度上會發(fā)生擴(kuò)散, 導(dǎo)致晶體結(jié)構(gòu)發(fā)生變化. 晶體中原子發(fā)生擴(kuò)散是由原子所作的無規(guī)則的布朗運(yùn)動所引起的. 并且, 原子在擴(kuò)散過程中遵循一定的宏觀擴(kuò)散規(guī)律, 從而產(chǎn)生了擴(kuò)散方程 :

ut=-jx+f(x,t)

于(0,1)×R.

文中，將其進(jìn)行改進(jìn)得到所要討論的四階拋物方程

于(0,1)×R, (1)

u(x,t+ω)=u(x,t),x∈(0,1),t∈R

(2)

ux|x=0,1=uxxx|x=0,1=0,t∈R,

(3)

定理假定f∈Cω(R；H2(0，1))，ft∈Cω(R;L2(0，1)),問題(1)～(3)存在廣義時(shí)間周期解

(4)

(5)

此定理為本文主要結(jié)論，下面將利用近似解估計(jì)給出證明.

1 近似解估計(jì)

令{yj(x)}(j=1,2,…)是L2(0，1)中的標(biāo)準(zhǔn)正交基，并且滿足特征值問題

y″+λy=0,y′(0)=y′(1)=0

其中λj(j=1,2,…)為特征值.

uNj(t)∈C1(ω,R)(j=1,2,…,N),

N是一個正常數(shù). 由Galerkin方法，可知uN(x,t)在(0，1)×R滿足方程

在應(yīng)用Leray-Schauder不動點(diǎn)定理證明uN(x,t)是問題(6)～(8)的解時(shí)，考慮以下含參數(shù)θ(0≤θ≤1)的偏微分方程的時(shí)間周期解：

(9)

其中,θ∈[0,1],uN∈(0,1)×R. 依據(jù)線性方程理論，方程(9)存在唯一的解vN∈C1(ω,R).

從而定義映射：

T:[0，1]×C(ω,R)→C(ω，R),

(θ，vN)→vN.

顯然，對任意的vN∈C1(ω,R)，都可以滿足T(0，vN)=0.而對vN∈C1(ω,R)，滿足T(θ，vN)=vN.

引理1映射

T:[0,1]×C(ω，R)→C(ω,R)

是緊映射.

證明：令

且存在常數(shù)M>0使得

‖vk‖C(ω,R)≤M,?k>0

若uk=T(θk,vk) ，那么，根據(jù)Schauder理論(見文獻(xiàn)[4])可知uk∈C1(ω，R)且滿足

從而由Arzela-Ascoli定理知，uk在C(ω,R)中是收斂的.故映射T是緊的.

引理2假定f∈Cω(R;L2(0,1))，令

則問題(6)～(8)存在近似解uN，且有估計(jì)

(10)

其中,C0是不受N、M1的正常數(shù).

證明：通過Poincare＇和H?lder不等式，可得

(11)

對于式(9)以uN為檢驗(yàn)函數(shù)，在(0,1)上積分，由H?lder不等式可得

‖uNx‖2+C‖uN‖2+2‖f‖2

其中,0<δ<1. 從而有

(12)

由式(12)得

(13)

根據(jù)積分中值定理，存在t1∈(0,ω)，使得

聯(lián)合式(11)可得

(14)

將式(12)在[t1,t+ω](?t∈[0,ω])上積分，由式(13)有

其中,C0是不受N，M1約束的正常數(shù).

由引理1和引理2的證明，依據(jù)Leray-Schauder不動點(diǎn)定理可知，當(dāng)θ=1時(shí)，式(9)的解uN是式(6) ～(8)的解.

引理3假定

f∈Cω(R;H2(0,1)),ft∈Cω(R;L2(0,1))

(15)

證明：對于式(6)，以-uNxx為檢驗(yàn)函數(shù)在(0,1)上積分可得

其中,0<δ<1.

由H?lder不等式可得

(16)

通過Gagliardo-Nirenberg不等式, 式(10)以及M1

將其代入式(16)，應(yīng)用Young不等式, 得

(17)

由式(17)，應(yīng)用積分中值定理，存在t2∈(0,ω)，使

‖uNxxx(·,t2)‖2≤C4(M2).

從而得到

再由式(17)可有

通過Sobolev嵌入定理，有

(18)

對于式(6)，以uNxxxxxxxx為檢驗(yàn)函數(shù)，并且在(0,1)上將其積分可獲得估計(jì)

‖uNxxx(·,t)‖C[0,1]≤C‖uN‖H4≤C9(M2)

(19)

由式(6), 對任意的uN∈(0,1)×R有

(20)

對于式(20), 以uNxxxxt為檢驗(yàn)函數(shù), 并在(0,1)上積分，可得估計(jì)

‖uNxt(·,t)‖C[0,1]≤C‖uNt‖H2≤C10(M2)

(21)

聯(lián)合式(19)和式(21)得到

2 結(jié)論證明

通過上一小節(jié)引理給出的近似解的估計(jì)及證明，該部分借助以上估計(jì)對第一部分中的定理作出證明.

證明：通過式(15)和嵌入定理，有以下估計(jì)式

(22)

依據(jù)Arzela-Ascoli定理和式(22)可得，存在一個函數(shù)u(x，t)和{uN(x,t)}的子序列(仍記為{uN(x,t)})，當(dāng)N→+∞時(shí)，{uN(x，t)}、{uNx(x,t)}在[0，ω]×(0,1)中分別一致收斂于u(x，t)、ux(x,t).

定義

綜上可知，問題(1)～(3)存在廣義時(shí)間周期解，并且滿足式(4)和(5).