某一類非線性三點邊值條件的三階奇攝動邊值問題

王國燦

(大連交通大學 理學院，遼寧 大連 116028)*

0 引言

三階非線性微分方程三點邊值問題的奇攝動日益被人們所關注[1-6]，但由于上下解理論的限制，目前只看到幾篇討論簡單的三點邊值問題或線性邊值問題的文章，有關解的唯一性方面的內(nèi)容很少涉及.本文討論以下一般的三階非線性微分方程的非線性三點邊值的奇異攝動問題.

εx?=f(t,x,x′,x″,ε)

(1)

(2)

將研究方程(1)具有非線性邊值條件(2)的解的存在性與唯一性.

1 引理

下面考慮三階邊值問題

x?=f(t,x,x′,x″)

(3)

(4)

定義如果存在函數(shù)β(t)和α(t)∈C3[-1,1]，使得當-1≤t≤1時，α′(t)≤β′(t)，β″(t)≤f(t,β(t),β′(t),β″(t))，α?(t)≥f(t,α(t),α′(t),α″(t))，且當-1≤t≤0時，

β(t)≤α(t)，當0≤t≤1時，α(t)≤β(t)，則稱β(t)和α(t)為方程(3)的上下解.

方程(1)滿足Nagumo條件，如果函數(shù)滿足下述兩個條件之一者：

(*)對正數(shù)N，存在正函數(shù)h=h(N)，使得當(t,x,x′,x″)∈[0,1]×[-N,N]×R2成立

|f(t,x,x′,x″)|≤hΦr1(|x′|)Φr2(|x″|)，其中0≤r1≤1，r2>0，r1+r2≤3，且Φr(l)=max{1,lr},r>0，0≤l≤+∞

引理1如果方程(3)與邊界條件(4)滿足

(1)函數(shù)f(t,x,x′,x″)∈C([-1,1]×R3)，滿足Nagumo條件，且當-1≤t≤0時，關于x單調(diào)不減；當0≤t≤1時，關于x單調(diào)不增.

(2)g(ξ,η),h(ξ,η)∈C(R2)，且g(ξ,η)，h(ξ,η)對固定的ξ關于η單調(diào)不減.

(3)方程(3)存在上下解β(t)和α(t)，且β(0)=A=α(0)，g(α′(-1),α″(-1))≥0,g(β′(-1),β″(-1))≤0,h(α′(1),α″(1))≤0,g(β′(1),β″(1))≥0,則邊值問題(3)、(4)有一解x(t)∈C3[-1,1]，使得β(t)≤x(t)≤α(t),-1≤t≤0，α(t)≤x(t)≤β(t),0≤t≤1.

引理2如果滿足

則邊值問題

(5)

(6)

只有零解.

引理1與引理2 可以利用文獻[9]的處理方法得到.

2 結(jié)論

為方便起見，恒假設下列條件成立

(1)函數(shù)f(t,x,x′,x″,ε)及其關于x,x′,x″,ε的一階偏微商在閉區(qū)域Ω={(t,x,x′,x″,ε)|-1≤t≤1,-∞

(2)函數(shù)f(t,x,x′,x″,ε)滿足Nagumo條件.

(3)邊值問題0=f(t,x,x′,x″,0),x(0)=A有解x0(t)∈C3[0,1].

(4)函數(shù)g(ξ,η,ε),h(ξ,η,ε)∈C(R2×[0,ε0])，且均關于η單調(diào)不減.

(5)當(t,x,x′,x″,ε)∈Ω時，fx′(t,x,x′,x″,ε)≥m>0；fx″(t,x,x′,x″,ε)有界；當-1≤t≤0時，fx(t,x,x′,x″,ε)≥0，當0≤t≤1時，fx(t,x,x′,x″,ε)≤0.

(6)(i)對任何的正數(shù)L0，存在正數(shù)N0，使得g(ξ,-N0,ε)≤0，g(ξ,N0,ε)≥0，|ξ|≤L0，0≤ε≤ε0.

(ii)對任何的正數(shù)L1，存在正數(shù)N1，使得h(ξ,-N1,ε)≤0，h(ξ,N1,ε)≥0，|ξ|≤L1，0≤ε≤ε0.

(7)函數(shù)g(ξ,η,ε)及h(ξ,η,ε)在[0,ε0]×R2上連續(xù)可微，且

gξ(ξ,η,ε)≤0,gη(ξ,η,ε)≥0,gξ2+gη2≠0

證明由假設，當(t,x,x′,ω(ε)x″,ε)∈Ω時，存在正數(shù)k,M,N，使得|fx′(t,x,x′,x″,ε)|≤k,|fε(t,x,x′,x″,ε)|≤M,|x?0(t)|≤N，記

對于任何的ε∈[0,ε0]，再令β(t,ε)=x0(t)+γ(t,ε)，α(t,ε)=x0(t)-γ(t,ε)，于是當ε>0充分小時，α′(t,ε)≤β′(t,ε)，β′(t,ε)>0，-1≤t≤1；β(t,ε)≤0，-1≤t≤0，β(t,ε)≥0，0≤t≤1，且β(0,ε)=0，且

其中,K滿足 |fx″γ″(t,ε)|≤Kε.

同理f(t,α(t,ε),α′(t,ε),α″(t,ε),ε)-εα?(t,ε)≤0，由β(t,ε)的構(gòu)造，

β″(1,ε)≥N1，于是

定理2如果滿足條件(5)和(7)，則當ε>0充分小時，邊值問題(1)，(2)至多存在一個解.

證明在此，只對足夠小的ε>0進行論證，假設邊值問題(1)、(2)有兩個不同解x1(t,ε)，x2(t,ε)，令y(t)=x2(t,ε)-x1(t,ε)，則y(t)應滿足下述邊值問題

其中,

a1≤0,b1≥0,a2≥0,b2≥0，且a1+b1>