巧用絕對(duì)值的幾何意義 有效簡(jiǎn)化分類討論

張琦　周孟波

摘要：在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類討論是非常重要的一種數(shù)學(xué)思想，通過(guò)加強(qiáng)對(duì)其訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性和縝密性，同時(shí)還可以使學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣得到提高，進(jìn)而提高學(xué)習(xí)效率。

關(guān)鍵詞：絕對(duì)值；分類討論；幾何意義

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2018）07-0119

許多初中生對(duì)分類討論的思想方法存在畏難心理。這也就導(dǎo)致他們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中缺乏學(xué)習(xí)的自信心，導(dǎo)致其在解題時(shí)出現(xiàn)不必要的丟分情況。

行程動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，是分類討論出錯(cuò)的重災(zāi)區(qū)，本文將通過(guò)巧用絕對(duì)值幾何意義的方法，有效簡(jiǎn)化此類復(fù)雜的分類討論。

例1：如圖，在一條筆直的東西走向的公路上依次有A、B、C三個(gè)加油站，客車甲以每小時(shí)50千米，貨車乙以每小時(shí)70千米，小汽車丙以每小時(shí)110千米的速度行駛。

（1）如果客車甲從A加油站出發(fā)，貨車乙同時(shí)從B加油站出發(fā)，兩車相向而行， 小時(shí)后相遇，求A、B兩加油站間的距離。

（2）如果客車甲和貨車乙同時(shí)從A加油站出發(fā)前往C加油站，與此同時(shí)小汽車丙從C加油站出發(fā)，兩車先后與丙車相遇，間隔時(shí)間為15分鐘，求A、C兩加油站間的距離。

（3）在（1）（2）的結(jié)論下，客車甲從A站，貨車乙從B站、小汽車丙從C站同時(shí)出發(fā)，由東向西行駛，在貨車乙還沒(méi)有追上客車甲的這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)其中一車與另外兩車的距離相等時(shí)他們行駛了多少時(shí)間？

學(xué)生解題情況概述：

對(duì)于（1）（2）兩小題，超過(guò)半數(shù)的學(xué)生能夠做對(duì)，但（3）小題的正確率極速下滑，僅有極個(gè)別學(xué)生能夠討論清楚。

針對(duì)題（3）學(xué)生出錯(cuò)分析：

第一類：通過(guò)計(jì)算乙追上甲所需的時(shí)間，發(fā)現(xiàn)終止位置時(shí)，丙已經(jīng)追上了乙，并且也追上了甲，確定“當(dāng)其中一車與另外兩車的距離相等”的意思為：一是乙在甲丙中間；二是丙在甲乙中間；三是甲在丙乙中間。

第二類：未計(jì)算乙追上甲所需的時(shí)間，也未分析終止時(shí)甲乙丙的位置，確定“當(dāng)其中一車與另外兩車的距離相等”的意思為乙和甲丙兩車距離相等：一是乙在甲丙中間，又按從西到東的順序，把這一點(diǎn)分為了甲乙丙和丙乙甲兩小類；二是甲丙在同一位置，又按東西順序，把這一點(diǎn)分為了甲丙在乙的西側(cè)和甲丙在乙的東側(cè)兩小類。

……

第一類都是對(duì)“其中一車與另外兩車的距離相等”的意思理解出錯(cuò)，認(rèn)為這句話等價(jià)為“一車位于另外兩車的中間”，忽略了另外兩車在同一位置的情況。第三類是學(xué)生對(duì)動(dòng)點(diǎn)的位置關(guān)系沒(méi)有進(jìn)行分析，直接拿來(lái)討論，導(dǎo)致漏解多解。

教師來(lái)支招：

我們知道|a-b|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a、b的兩點(diǎn)距離。在這里“其中一車與另外兩車的距離相等”，可以想成其中一車表示的點(diǎn)與另外兩車表示的點(diǎn)的距離相等。通過(guò)此聯(lián)想，針對(duì)第三小題，我們可以通過(guò)建立數(shù)軸，借用絕對(duì)值的幾何意義來(lái)解題。

解題過(guò)程：

（1）（50+70）× =160（千米）

（2）解：設(shè)乙丙相遇時(shí)間為x，則甲和丙相遇時(shí)間為（x+15）分鐘.

（70+110） =（50+110） 得

x=120（70+110）×120÷60=360（千米）

（3）解：設(shè)當(dāng)乙車追上甲車時(shí)所用時(shí)間為x小時(shí)，則50x+160=70x，得x=8。所以設(shè)行駛的時(shí)間為t小時(shí)，則0

設(shè)甲、乙、丙t小時(shí)后所在點(diǎn)為D、E、F，則有點(diǎn)D表示數(shù)為-50t，點(diǎn)E表示數(shù)為160-70t，點(diǎn)F表示數(shù)為360-110t。

車與車的距離可表示為DE=160-20t，DF=360-60t，EF=200-40t。

①DE=DF 160-20t=360-60t 得t1=5，t2=6.5

②DE=EF 160-20t=200-40t 得t3=2，t4=6

③DF=EF 360-60t=200-40t 得t5=5.6，t8=8（舍去）

綜上，t1=5，t2=6.5，t3=2，t4=6，t5=5.6。

例2：如圖，數(shù)軸上線段AB長(zhǎng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，CD長(zhǎng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是-10，點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)是16。若線段AB以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段CD以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)。

（1）運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間后BC長(zhǎng)8個(gè)單位長(zhǎng)度？

（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)到BC為8個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)是_________；

（3）P是線段AB上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到線段CD上時(shí)，是否存在關(guān)系式 =3？若存在，求線段PD的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

學(xué)生解題情況概述：

對(duì)于（1）（2）兩小題，超過(guò)半數(shù)的學(xué)生能夠做對(duì)，但題（3）的留空率較高，討論遺漏重復(fù)出錯(cuò)率高。

針對(duì)題（3）學(xué)生出錯(cuò)分析：

第一類：僅考慮零界點(diǎn)情況，一點(diǎn)B和點(diǎn)C重合；二點(diǎn)C和點(diǎn)A重合；三點(diǎn)B與點(diǎn)D重合。

第二類：僅考慮非零界情況，一點(diǎn)C在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間，又根據(jù)點(diǎn)P的位置，分為點(diǎn)P線段AC和線段CB上兩小類；二點(diǎn)A、B在點(diǎn)C、D之間。

……

這兩類情況共同存在的問(wèn)題：討論不完全，遺漏其他分類。把零界和非零界的情況統(tǒng)籌起來(lái)看，此題如果按照運(yùn)動(dòng)時(shí)間和點(diǎn)A、B、C、D位置關(guān)系進(jìn)行分類，討論過(guò)程實(shí)在太復(fù)雜，大大加重學(xué)生的畏難心理，很難調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

教師來(lái)支招：

此題為數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，可直接借用絕對(duì)值的幾何意義來(lái)解題。

解題過(guò)程：

（1）運(yùn)動(dòng)t秒后，點(diǎn)A所表示數(shù)為：-10+6t，點(diǎn)B所表示數(shù)為：-8+6t，點(diǎn)C所表示數(shù)為：16-2t，點(diǎn)D表示數(shù)為20-2t，則BC=24-8t。

由題得：BC=24-8t=8 解得t1=2，t2=4

當(dāng)t=2，點(diǎn)B所表示的數(shù)為4；當(dāng)t=4，點(diǎn)B所表示的數(shù)為16°

解：設(shè)點(diǎn)P初始狀態(tài)所表示數(shù)為：x（-10≤x≤-8），則t秒后，點(diǎn)P表示數(shù)為：x+6t，則AP=x+10，PC=16-x-8t，BD=28-8t（t≤ ），PD=20-8t-x。

由題得BD-AP=3PC，（28-8t）-（x+10）=316-x-8t

得18-8t-x=316-x-8t

①18-8t-x=3（16-x-8t）得8t+x=15 PD=20-15=5

②18-8t-x=3（16-x-8t）得8t+x=16.5 PD=20-16.5=3.5

綜上，PD=5或PD=3.5

由此可以發(fā)現(xiàn)，用絕對(duì)值的幾何意義，來(lái)解決行程動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，可以有效簡(jiǎn)化復(fù)雜的分類討論，把難點(diǎn)從分類討論轉(zhuǎn)移到解含絕對(duì)值的等式。而解含絕對(duì)值的等式，分類程序化，主要考驗(yàn)的還是學(xué)生的計(jì)算能力，可通過(guò)一定量的練習(xí)，加強(qiáng)這類方法運(yùn)用，從而提高解題的正確率。

（作者單位：①浙江省寧波市奉化實(shí)驗(yàn)中學(xué) 315500；②浙江省寧波市奉化實(shí)驗(yàn)中學(xué) 315500）