妙用向量投影法解題的分析

摘 要：向量知識(shí)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，對(duì)解決數(shù)學(xué)問題具有重要幫助，因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須對(duì)向量投影法進(jìn)行巧妙應(yīng)用。基于此，本文就妙用向量投影法解題的策略進(jìn)行研究，首先就向量投影法的概念進(jìn)行簡要描述，從而加深對(duì)這一方法的理解程度，然后闡述向量投影法在向量問題、幾何問題和立體幾何的應(yīng)用，并以大量的例題進(jìn)行解讀。

關(guān)鍵詞：向量投影法；解題思路；解題方法

在關(guān)于向量數(shù)量積的求解問題中，很多同學(xué)都會(huì)采用代數(shù)問題，但是代數(shù)難度較大，而且運(yùn)算的過程也相對(duì)繁瑣，因此應(yīng)該對(duì)向量投影法進(jìn)行合理應(yīng)用，從而提高解題效率。

一、 向量投影法概述

在解決高中數(shù)學(xué)問題時(shí)，必須具備邏輯性和抽象性的數(shù)學(xué)思維，并且對(duì)各種數(shù)學(xué)概念有深刻的理解。對(duì)于向量投影法而言，要想巧妙地運(yùn)用這一方法解決問題，就必須對(duì)這一概念進(jìn)行深刻的理解，并且將向量投影法的概念與其他知識(shí)體系相聯(lián)系，從而構(gòu)建一個(gè)系統(tǒng)性的知識(shí)體系。向量投影法是平面向量這一章節(jié)中的概念，主要對(duì)數(shù)量積的概念進(jìn)行引申。例如在一個(gè)三角形中三個(gè)角分別為A、O、B，其中向量OA=a，向量OB=b，過點(diǎn)B做OA的垂直線段BB1，則OB就是OA方向上的投影，即b是a方向的投影。根據(jù)上述概念可以對(duì)向量投影的計(jì)算公式進(jìn)行總結(jié)，即|b|cosθ=a·b|a|=b·e，在這一計(jì)算公式中，cosθ是OB與OA之間的夾角，而e是OA方向的單位向量。就向量投影法的應(yīng)用范圍來看，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面，分別是解決向量問題、解決平面幾何問題、解決立體幾何問題和解決線性規(guī)劃問題。以解決幾何問題為例，常會(huì)出現(xiàn)不同的解題情況，一種是垂足確定的情況，例如菱形對(duì)角線、直角三角形等；二是模長為定值的情況，例如已知模長的角度，對(duì)數(shù)量積的范圍進(jìn)行求取。

二、 妙用向量投影法解題的策略

（一） 在向量問題中的應(yīng)用

在向量問題中，應(yīng)用向量投影法能夠巧妙解決問題，提高解題的效率。要用向量投影法解決向量問題，必須對(duì)向量數(shù)量積的幾何意義進(jìn)行明晰。從上文的概念描述可知，向量數(shù)量積就是“一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影”，而數(shù)量積就是“向量模的乘積”，因此在解決向量問題時(shí)，必須對(duì)投影的長度進(jìn)行計(jì)算，從而在最快的速度下得到問題的答案。

例1 假設(shè)有三角形ABC，其中P0B是AB邊上的1/4處的線段，其定點(diǎn)為P0，且滿足P0B=14AB，在AB上有一個(gè)任意點(diǎn)為P，并且滿足→PB·→PC≥→P0B·→P0C。該問題的選項(xiàng)有以下幾個(gè)方面，分別是

A. ∠ABC=90° B. ∠BAC=30°

C. AB=ACD. AC=BC

通過這一問題分析可知，向量投影法能夠巧妙將問題簡化，從而將解決數(shù)量積問題轉(zhuǎn)變?yōu)榻鉀Q投影問題。

（二） 在幾何問題中的應(yīng)用

圖1

由圖1可知拋物線x2=y，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-12，14），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（32，94），點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，且坐標(biāo)為（x，y）（-12

（1） 對(duì)AP斜率的取值范圍進(jìn)行求取。（2）對(duì)絕對(duì)值PA和絕對(duì)值PQ的最大值進(jìn)行求取。

很多學(xué)生在對(duì)待這一問題時(shí)會(huì)采用弦長求積的方式，雖然這種方法可以求出最終的解，但是需要對(duì)Q的坐標(biāo)值進(jìn)行確定，因此計(jì)算量較大，對(duì)解題的效率會(huì)有所影響。為了提升解題效率，可以采用向量投影法進(jìn)行求解。首先將各點(diǎn)的坐標(biāo)以向量的方式進(jìn)行表示，因此可以將PQ看作是向量PB與向量PA上的投影，而投影的長度就是|→PQ|。由此來看，問題可以得到極大的簡化。

（三） 在立體幾何中的應(yīng)用

在解立體幾何的問題時(shí)，著重要對(duì)向量數(shù)量積的定義進(jìn)行深入的了解，從而得到立體幾何元素之間的距離公式。立體幾何的距離公式可以分為以下幾個(gè)類型，分別是點(diǎn)與面之間的距離、線與面之間的距離、面與面之間的距離和異面之間的距離，其中線與面之間的距離和面與面之間的距離都能夠轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與面之間的距離。因此只需要掌握兩個(gè)距離公式，其中點(diǎn)與面之間的距離公式為d=|n·→MP||n|，而異面直線之間的距離公式為d=|n·→MP||n|，其中M∈a，P∈b，而d就是異面直線a與b之間的距離。

三、 結(jié)論

綜上所述，針對(duì)妙用向量投影法解題策略的探究是非常必要的。本文主要分析向量投影法的基本特點(diǎn)，然后從解題的角度提出一些切實(shí)可行的建議。研究可得，應(yīng)用向量投影法解決向量問題、幾何問題、立體幾何問題和線性規(guī)劃問題時(shí)，必須運(yùn)用邏輯性思維對(duì)問題進(jìn)行簡化，然后運(yùn)用投影的意識(shí)靈活應(yīng)用數(shù)量積的概念，從而使問題得到高效率的解決。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡介：

劉浩文，山東省壽光市，壽光市現(xiàn)代中學(xué)。