淺談函數(shù)的單調(diào)性在高中數(shù)學中的學習與應用

摘 要：函數(shù)是高中數(shù)學的重點學習內(nèi)容之一。在解題時，運用函數(shù)單調(diào)性，能夠在一定程度上起到提高解題效率的作用。因此，本文結合以往的學習經(jīng)驗，對函數(shù)單調(diào)性進行探究分析，簡要介紹了高中數(shù)學中函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，并對函數(shù)單調(diào)性在解方程、數(shù)列、不等式等方面的應用進行了詳細討論。

關鍵詞：高中數(shù)學；函數(shù)；單調(diào)性

一、 前言

函數(shù)單調(diào)性是對兩個變量之間關系的刻畫，可應用在很多題型當中。若能夠充分掌握函數(shù)單調(diào)性及其應用特點，進而將其熟練地運用于相關解題過程中，能夠在很大程度上提升自己的解題效率。

二、 高中數(shù)學中函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

掌握函數(shù)單調(diào)性的判斷方法是學習與應用函數(shù)單調(diào)性的基礎。

（一） 運用定義法

直接運用定義判斷函數(shù)單調(diào)性的方法較簡單，可遵循以下步驟：首先，在區(qū)間D當中任取兩個值x1、x2，不妨設x1>x2；其次計算f（x1）-f（x2）的值，在具體計算時，有時需將f（x1）-f（x2）進行變形處理。在這一環(huán)節(jié)，常用的方法包括有理化、通分以及因式分解等；然后觀察化簡后的式子，確定f（x1）-f（x2）的符號；最后根據(jù)“同增異減”的原則，即可對函數(shù)的單調(diào)性進行分析。

（二） 運用等價定義法

運用等價定義法判斷函數(shù)單調(diào)性，首先同樣是從區(qū)間D當中取任兩個值x1、x2；其次將兩個函數(shù)值f（x1），f（x2）按照如下方式化簡：f（x1）-f（x2）x1-x2；然后將化簡后的式子與0比較。若f（x1）-f（x2）x1-x2>0，則說明函數(shù)f（x）在定義區(qū)間中單調(diào)遞增；若f（x1）-f（x2）x1-x2<0，則說明函數(shù)f（x）在定義區(qū)間中單調(diào)遞減。

相比于定義法，等價定義法不用考慮任意值x1、x2的大小，對于復雜的函數(shù)求解，具有更大的應用價值。

三、 高中數(shù)學中函數(shù)單調(diào)性的學習與應用

（一） 函數(shù)單調(diào)性在解方程中的應用

在解方程時，先構造一個單調(diào)函數(shù)，再運用函數(shù)單調(diào)性，能夠幫助我們快速掌握解題的結構，進而獲得問題的解決方法，求得所要的結果。

例1 已知方程x3+2x+（x+1）3+1=0，求方程的解。

分析：在實際解題過程中，運用函數(shù)單調(diào)性，應先將需要求解的方程進行轉化，得到x3+x+[（x+1）3+（x+1）]=0；然后運用函數(shù)思想，構建一個函數(shù)f（x），f（x）=x3+x，這一函數(shù)在區(qū)間（-∞，+∞）內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，而f（-x）=-f（x）為奇函數(shù)；進一步對f（x）+f（x+1）=0求解，其中f（x+1）=-f（x）=f（-x）；根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性，即可將求解方程轉化成x+1=-x，解得x=-1/2。這種解方程方式，省去了大量的化簡、計算環(huán)節(jié)，以最簡單、快捷的方式，得出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)。

（二） 函數(shù)單調(diào)性在解數(shù)列中的應用

數(shù)列也是高中數(shù)學重點內(nèi)容之一，并且難度不小。但若能結合數(shù)列自變量關系，充分利用好函數(shù)的單調(diào)性這一性質(zhì)，則能夠最大限度地簡化解題過程。

例2 已知數(shù)列an=1n+1+1n+2+……+13n+1，其中n∈Nn；若讓an>2b-5恒成立，求b的最大值（b為自然數(shù)）。

分析：由于an是以n為自變量的函數(shù)，運用函數(shù)單調(diào)性對數(shù)列進行求解。an>2b-5恒成立，也就說明2b-5一定小于數(shù)列|an|的最小值；如此一來，求解的問題就轉化成了求數(shù)列|an|的最小值。

首先，應根據(jù)an=1n+1+1n+2+……+13n+1，得出：

an+1=1n+2+1n+3+……+13n+4，

然后用an+1-an并化簡，能夠得到

an+1-an=13n+2+13n+4+23n+3=23（n+4）（3n+2）（3n+4）。

由于23（n+4）（3n+2）（3n+4）>0，所以數(shù)列an+1>an，進一步即可判斷數(shù)列|an|為遞增數(shù)列，數(shù)列的最小值就為a1=13/12。在函數(shù)單調(diào)性的運用下，題目的求解轉化成了不等式13/12>2b-5的求解過程，最終可以得到b應小于73/24；由于b為自然數(shù)，則最大值應為3。

數(shù)列|an|中的an是以n為自變量的函數(shù)，在各類數(shù)列問題當中，有關最值的題型都可運用函數(shù)單調(diào)性來進行解答。

（三） 函數(shù)單調(diào)性在解不等式中的應用

在學習高中數(shù)學的過程中，我曾嘗試去記憶大量的計算公式，希望由此能夠提高自己的解題效率。但實踐經(jīng)驗證明，實際解題過程中，很難將記憶中的公式與題目進行快速準確匹配。這種方法不僅讓我在解題過程中花費了大量的思考時間，而且由于知識結構的問題，還很容易導致解題過程中出現(xiàn)失誤。而運用函數(shù)單調(diào)性來解答，能夠更加快速準確地得到問題的答案。

例3 已知a、b、c∈R，且|a|<1，|b|<1，|c|<1，求證ab+bc+ac+1>0。

分析：在求證這一不等式的過程中，可先利用函數(shù)思維將不等式問題轉化成函數(shù)問題，進而利用函數(shù)單調(diào)性，對問題進行求解。

首先進行函數(shù)的轉化，令f（x）=（b+c）x+bc+1。

當x∈（-1，1）時，f（x）始終大于0；當b+c=0時，函數(shù)f（x）=1-b2>0；當b+c≠0時，在區(qū)間（-1，1）上，函數(shù)f（x）有單調(diào)性。

將x=1代入函數(shù)當中，能夠得到f（1）=（b+1）（c+1）>0；進而可得：當x∈（-1，1）時，f（x）>0；根據(jù)已知條件，|a|<1，|b|<1，|c|<1；可完成a與x的替換，則有ab+bc+ac+1>0恒成立。

將不等式當中的一個常量作為變量，合理地設定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。這樣就可以利用單調(diào)性來對不等式問題進行求解了。

四、 結束語

綜上所述，探究函數(shù)的單調(diào)性，有利于我們掌握更多的解題技巧。在實際解題過程中，一些方程、數(shù)列、不等式的相應問題，都可利用函數(shù)單調(diào)性簡化解題過程。但良好的學習與解題思路，卻需要我們平時多多練習和訓練，才能取得。

參考文獻：

[1]周鈺涵.高中數(shù)學基本函數(shù)學習策略研究[J].農(nóng)家參謀，2017（16）：64.

[2]李建邦.函數(shù)的單調(diào)性單元教學設計[J].學周刊，2015（26）：46.

作者簡介：

陳泳吉，湖南省郴州市，湖南省郴州市第一中學。