帶交易費(fèi)用的歐式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題研究

豐月姣

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,山西大同037009)

在期權(quán)續(xù)存期[0,T]內(nèi),如果沒(méi)有有關(guān)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的交易行為,則歐式看跌期權(quán)的價(jià)值滿(mǎn)足方程

其中,r表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率,σ表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率,K表示歐式期權(quán)約定的交易價(jià)格。有關(guān)無(wú)交易費(fèi)用的歐式期權(quán)定價(jià)研究已有許多文獻(xiàn)。Chang和Shih[1]研究了CEV模型下的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題,通過(guò)二叉樹(shù)模型方法得到了歐式期權(quán)定價(jià)的一個(gè)顯式差分格式。之后,Xu和Knessl[2]采用Laplace變換得到了一個(gè)高精度的半離散差分格。稍后,Wong和Zhao[3]采用Laplace-Carson變換代替Laplace變換也得到了類(lèi)似的結(jié)論。文獻(xiàn)[4-5]則直接采用數(shù)值差分方法進(jìn)行離散,雖然所得結(jié)論精度略有下降但是程序相對(duì)簡(jiǎn)單,具有較快的運(yùn)算速度。

一個(gè)金融機(jī)構(gòu)若在場(chǎng)外市場(chǎng)(OTC)出售給客戶(hù)一份期權(quán),那么它就面臨風(fēng)險(xiǎn)管理問(wèn)題。假定某金融機(jī)構(gòu)出售了基于10萬(wàn)股某型號(hào)股票的歐式看跌期權(quán),獲利30萬(wàn)$。進(jìn)一步假設(shè)

于是由Black-Scholes公式算的該期權(quán)的價(jià)值為24萬(wàn)$,金融機(jī)構(gòu)以高出6000$的價(jià)值出售了這份期權(quán)。假設(shè)每次交易的費(fèi)用比率為0.1%,則金融機(jī)構(gòu)存在以下兩種策略。

金融機(jī)構(gòu)的第一種策略:

什么都不做,如果看跌期權(quán)不被執(zhí)行,則該金融機(jī)構(gòu)純得收益30萬(wàn)$;但如果20周后,該類(lèi)型股票的市場(chǎng)價(jià)為60$,則金融機(jī)構(gòu)不得不以這個(gè)價(jià)格購(gòu)買(mǎi)l0萬(wàn)股股票與該期權(quán)頭寸對(duì)沖,花去交易費(fèi)用6000$,然后再扣去期權(quán)費(fèi)的收入,它將損失70.6萬(wàn)$。

金融機(jī)構(gòu)的第二種策略:

在出售期權(quán)的同時(shí),購(gòu)買(mǎi)l0萬(wàn)股股票,該策略被稱(chēng)為抵補(bǔ)期權(quán)頭寸策略,如果到期日該期權(quán)被執(zhí)行,這個(gè)策略很有利:

如果在到期日T,股票價(jià)格下降至40$,此時(shí)看跌期權(quán)不會(huì)被執(zhí)行,則在該股票頭寸上將損失90萬(wàn)$,扣除期權(quán)費(fèi)的收益,還虧60萬(wàn)$。

可以看出:在兩種交易策略都出現(xiàn)不利情況時(shí),第二種策略它比第一種策略少損失10.6萬(wàn)。通過(guò)第二種策略還可以看出構(gòu)造投資組合除了獲利以外,還可以有效的抵補(bǔ)期權(quán)金和交易費(fèi)用的損失。

由此可見(jiàn)研究帶有交易行為的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題更有現(xiàn)實(shí)意義。根據(jù)文獻(xiàn)[6-10],如果在期權(quán)存續(xù)期內(nèi)存在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的對(duì)沖交易行為,根據(jù)LeLand模型的相關(guān)結(jié)果,期權(quán)價(jià)格公式滿(mǎn)足

其中

σ2表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)自身的波動(dòng)率,Le為L(zhǎng)eLand系數(shù)滿(mǎn)足

κ表示單位本金的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)交易的費(fèi)用比率。δt表示交易頻率,在投資策略二中δt=T。

由于增加交易費(fèi)用之后,期權(quán)適合微分方程結(jié)構(gòu)復(fù)雜,目前的研究重點(diǎn)在數(shù)值方法,有關(guān)期權(quán)的解析定價(jià)結(jié)果還未見(jiàn)文獻(xiàn)。構(gòu)造了一種新的誤差分析方法,分析了近似結(jié)論的誤差估計(jì),結(jié)果表明:當(dāng)波動(dòng)率σ和σ2不滿(mǎn)足Lipschitz條件和線(xiàn)性增長(zhǎng)條件時(shí),上述文獻(xiàn)中的誤差估計(jì)結(jié)論依然成立。

1 單參數(shù)攝動(dòng)方法

為了方便證明,我們同時(shí)定義如下的符號(hào)

若不存在交易費(fèi)用,即κ=0時(shí),L1V=L0V,作變換

則歐式看跌期權(quán)適合的拋物方程問(wèn)題(1)轉(zhuǎn)化

下面采用擾動(dòng)理論中單參數(shù)攝動(dòng)展開(kāi)的方法去處理拋物問(wèn)題(7)。假定V(t,x)在ε=0附近可以展成冪級(jí)數(shù)

從而將公式(7)和公式(2)代入拋物問(wèn)題(6)并按照ε冪的次數(shù)進(jìn)行歸類(lèi),可得

再由x和t的任意性,令κ的相同次冪的系數(shù)為零,得

其中

進(jìn)一步,根據(jù)公式(8),將拋物方程(6)中初邊值條件進(jìn)行分解

至此,拋物型方程(7)的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列常系數(shù)拋物方程初邊值問(wèn)題,其中V0(t,x)是拋物初邊值問(wèn)題

的解,Vn(t,x)為如下偏微分方程初邊值的解

由文獻(xiàn)[10]可知,V0(t,x)是經(jīng)典Black-Scholes模型下的歐式期權(quán)的解,則它可表示為

其中

下面考察Vn(t,x)。注意gn(t,x)僅與?xxVk-?xVk有關(guān),而與 ?xxVn-?xVn無(wú)關(guān)(k=0,1,…,n-1),這啟發(fā)我們采用遞推法完成如下結(jié)論的證明。

引理1常系數(shù)拋物初邊值問(wèn)題(14)的解可表示為

其中

證明作變換

同時(shí)令τ=T-t,則拋物方程(14)可以轉(zhuǎn)化為

注意到gn(t,x)和g?n(τ,x)是解析的,根據(jù)文獻(xiàn)[8],拋物問(wèn)題(18)的解可表示為

對(duì)變換(17)進(jìn)行逆變換即可完成定理證明。

證畢。

綜合引理1和公式(15),有如下結(jié)論成立。

定理1歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式P(t,S)有如下形式的近似解析式

其中

其它各量見(jiàn)引理1。

同理可證歐式看跌期權(quán)定價(jià)公式,這里只給出上升敲出看漲期權(quán)的結(jié)論。由文獻(xiàn)[10]可知,上升敲出看漲期權(quán)的價(jià)格C(t,S)滿(mǎn)足如下拋出初邊值問(wèn)題

類(lèi)推上述證明,可得上升敲出看漲期權(quán)的近似定價(jià)結(jié)論。

定理2若C(t,S)表示上升敲出看漲期權(quán)的價(jià)格,則它可以表示為

其中

α,β和G(x,ξ,t)見(jiàn)引理1;d1和d2見(jiàn)定理1。

2 誤差估計(jì)

在以后的誤差分析中需要一些輔助結(jié)論,由文獻(xiàn)[10],容易得到

其中n(?)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。

定理3存在不依賴(lài)x和t的正常數(shù)M,使得|P(t,S)-P0(t,S)|≤Mε。

證明考慮P(t,S)和V(t,x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,這里只需證明

成立。令x=lnS-lnB,E0(t,x)=V0(t,x)-V(t,x),顯然

又因?yàn)長(zhǎng)εV(t,x)=0,所以由公式(5),可得

故聯(lián)立公式(20)和公式(21),E0(t,x)為拋物初邊值問(wèn)題

的解,其中

由Feynman-Kac公式可知[12],拋物初邊值問(wèn)題(22)的解可以表示為如下概率形式

其中exp{-r(T-t)}Xt是一個(gè)L∞鞅。注意n(d1)≤(2π)-0.5,從而

利用引理1,我們有

考慮到exp{-r(T-t)}Xt是鞅,易見(jiàn)| |Xt是下鞅,從而由Doob不等式,可得

證畢。

定理4一致收斂到P(t,S),即P(t,S)對(duì)任意的正整數(shù)n存在不依賴(lài)n,x和t的正常數(shù)M使得

證明類(lèi)似定理3,這里只證明

|En(t,x)|≤Mεn+1。

其中

容易證明En(t,x)滿(mǎn)足初邊值條件En(t,0)=0,En(T,x)=0,并且

其中

從而En(t,x)為拋物初邊值問(wèn)題

的解。首先,類(lèi)推文獻(xiàn)[7]之推導(dǎo)過(guò)程,hn(x,t)還可以寫(xiě)成

其次,利用公式(19),可得對(duì)任意的(t,x)∈[0,T]×R有

再次,由Feynman-Kac公式可知[11],拋物問(wèn)題(23)的解可表示為如下形式的概率問(wèn)題

證畢。