圓錐曲線問題的探究

山東省聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (252000)

張 鑫 于興江

圓錐曲線既是平面解析幾何教學(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn),又是高考中重點(diǎn)考查的對象.圓錐曲線的第二定義也稱其為統(tǒng)一定義,將圓錐曲線和準(zhǔn)線、焦點(diǎn)巧妙地聯(lián)系起來.基于此,本文利用幾何畫板對圓錐曲線問題進(jìn)行探究.

圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)統(tǒng)一定義[1]：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離之比為常數(shù)e(e>0)的點(diǎn)的軌跡,稱為圓錐曲線.其中定點(diǎn)是圓錐曲線的焦點(diǎn),定直線是對應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線,e為離心率.

注：當(dāng)e>1時(shí),該軌跡為雙曲線；當(dāng)e=1時(shí),該軌跡為拋物線;當(dāng)0

圖1

定理設(shè)圓錐曲線c的焦點(diǎn)為F,過焦點(diǎn)F且不垂直于含有焦點(diǎn)的對稱軸的直線l與圓錐曲線C交于M、N兩點(diǎn),點(diǎn)N關(guān)于該對稱軸的對稱點(diǎn)為N′,則直線MN′恒經(jīng)過準(zhǔn)線與對稱軸的交點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q的對稱軸的垂線就是圓錐曲線的準(zhǔn)線.

當(dāng)k=0時(shí),直線l:y=0,點(diǎn)N與N′重合,則直線MN′與l重合.由此可推得,若直線MN′經(jīng)過定點(diǎn),該定點(diǎn)必在x軸上.

當(dāng)k≠0時(shí),聯(lián)立直線與橢圓的方程,消去y得(b2+a2k2)x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0.

雙曲線、拋物線的證明方法與橢圓證明方法類似,不再贅述.

(1)求橢圓的方程；

(2)直線l過橢圓的右焦點(diǎn)F且不垂直于x軸,l與橢圓交于點(diǎn)M、N,設(shè)點(diǎn)N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為N′,問：直線MN′是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過定點(diǎn),請求出；否則,說明理由.

推論設(shè)圓錐曲線C的準(zhǔn)線與對稱軸的交點(diǎn)為Q,過Q的直線l與圓錐曲線C交于M、N兩點(diǎn),點(diǎn)N關(guān)于該對稱軸的對稱點(diǎn)為N′,則直線MN′與對稱軸的交點(diǎn)為焦點(diǎn)F.

由圓錐曲線的第二定義、定理及推論,易知圓錐曲線、焦點(diǎn)和準(zhǔn)線中的任意兩個(gè)要素,都可以求出另外一個(gè)要素.