曲面積分的計算與應(yīng)用研究

梁宏偉

（長春市養(yǎng)正高級中學(xué)數(shù)學(xué)組，吉林 長春）

曲面積分是微積分理論的重要內(nèi)容，具有高度的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，同時也具有廣泛的應(yīng)用性。

一、第一型曲面積分的概念與性質(zhì)

定義設(shè)∑為光滑曲面，函數(shù)f（x，y，z）是定義在∑上的有界函數(shù)。把∑任意分成n個小塊△Si（i=1，2，…，n），△Si也表示其面積。在△Si上任取一點(diǎn)（ξi，ηi，ζi），用λ表示∑的直徑中最大者。如果極限存在，

則稱此極限值為函數(shù)f（x，y，z）在曲面∑上的第一型曲面積分，或?qū)γ娣e的曲面積分，記為

第一型曲面積分的性質(zhì)：

性質(zhì)1（線性性質(zhì)）設(shè)函數(shù)f，g在光滑曲面S上的第一型曲面積分存在，k1，k2是兩個常數(shù)，則k1f+k2g在S上的對面積的曲面積分也存在，并且

性質(zhì)2（可加性）設(shè)函數(shù)f在光滑曲面S上的第一型曲面積分存在，S可劃分為兩個光滑曲面 S1，S2，則 f在 S1，S2上的第一型曲面積分都存在；反之，如果f在S1，S2上的第一型曲面積分都存在，則f在S上的第一型曲面積分也存在，即

當(dāng)S為唯一封閉曲面時，習(xí)慣上把f（x，y，z）在S上的第一型曲面積分面積記為

二、利用曲面方程化曲面積分為二重積分計算

分析 ∑在xOy面上的投影區(qū)域比較寬泛，故將曲面積分轉(zhuǎn)化為xOy面上二重積分比較方便。

∑在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈：x2+y2≤2x

于是，有

由積分曲面的形狀來決定曲面向哪個坐標(biāo)面（如xOy面）投影，然后將曲面方程改寫為該坐標(biāo)面上的顯函數(shù)（如z=f（x，y）），最后由此曲面方程表達(dá)面積元素（如

分析 因?yàn)橹鎥2+y2=R2在平面xOy上的投影區(qū)域?yàn)橐粭l曲線圓x2+y2=R2，其面積為0，所以不能往xOy平面上投影，可向yOz平面（或向zOx平面）投影，但是曲面關(guān)于另兩個坐標(biāo)面都是對稱的，可以應(yīng)用對稱性定理簡化計算。

解 由對稱性定理知，∑關(guān)于zOx平面和yOz平面對稱，被積函數(shù)關(guān)于y與x為偶函數(shù)，設(shè)∑1表示∑的位于第一卦限的部分，則有

例3 計算下列曲面積分：

分析 積分曲面∑均為球面x2+y2+z2=a2，關(guān)于三個變量具有輪換對稱性，被積函數(shù)的每一項的對應(yīng)法則又一致，又由于積分曲面的方程可以代入被積函數(shù)中去，從而可以應(yīng)用輪換對稱性簡化計算。

計算曲面積分時，應(yīng)注意觀察其積分的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)姆椒梢院喕嬎恪?/p>

若滿足對稱性定理轉(zhuǎn)化為第一卦限的部分來計算，各積分的上、下限均為非負(fù)數(shù)，使得計算方便。

通過對曲面積分的研究，我們更加深刻地理解了曲面積分的重要性，尤其對曲面積分計算方法與應(yīng)用的研究，例如我們可以通過第一型曲面積分求曲面的面積、質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量等；通過第二型曲面積分求通量、散度、旋度、流量等。