動(dòng)量守恒中“毛毛蟲”模型的分析

何江嚴(yán)超

（四川省綿陽中學(xué)，四川 綿陽）

運(yùn)用動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律，是處理力學(xué)問題的三大方法之一，其重要性不言而喻。同時(shí)，也是適用范圍非常廣的物理規(guī)律，不僅適用于直線運(yùn)動(dòng)，也適用于曲線運(yùn)動(dòng)；不僅適用于單個(gè)力，還適用于多個(gè)力；不僅適用于恒力，還適用于變力。正因?yàn)槿绱耍诟咧形锢斫虒W(xué)中，動(dòng)量和能量一直是學(xué)習(xí)和考查的重點(diǎn)，又由于其靈活性和普適性，又是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。在歷年高考中都容易失分。因此，為了學(xué)好這部分知識(shí)，學(xué)生需要在掌握好基本的知識(shí)方法后，多總結(jié)多分類，才能夠深刻理解，達(dá)到舉一反三熟練運(yùn)用的目的。

這其中有一種和彈簧問題相結(jié)合的模型：兩個(gè)光滑的物體A、B，將輕彈簧連接并使彈簧處于原長，某一時(shí)刻給B球一瞬時(shí)初速度v0，則以后A、B兩球和彈簧將一起在光滑水平面邊壓縮拉伸邊向前運(yùn)動(dòng)，好像毛毛蟲在地面上爬行，我們將這一類問題統(tǒng)稱為“毛毛蟲”模型?，F(xiàn)在我們結(jié)合幾道例題來剖析一下“毛毛蟲”模型的運(yùn)動(dòng)過程及運(yùn)動(dòng)過程中的能量、動(dòng)量特點(diǎn)，掌握了這種模型，很多看似復(fù)雜的習(xí)題都會(huì)變得有規(guī)律。

我們先來看一個(gè)比較有代表性的例題：

【例題】如下圖所示，兩光滑且平行的固定水平桿位于同一豎直平面內(nèi)，兩靜止小球m1、m2分別穿在兩桿上，兩球間連接一個(gè)保持原長的豎直輕彈簧，現(xiàn)給小球m2一個(gè)水平向右的初速度v0。如果兩桿足夠長，則在此后的運(yùn)動(dòng)過程中 ( )

A．m1、m2組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒

B．m1、m2組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒

D．當(dāng)m1速度達(dá)到最大時(shí)，m2速度最小

例題的前三個(gè)選項(xiàng)是對基本知識(shí)和基本方法的考查，較簡單。A項(xiàng)考查動(dòng)量守恒的條件判斷，由于是光滑水平桿，所以兩物體和彈簧組成的系統(tǒng)合外力為零，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，A正確；B項(xiàng)注意敘述是問兩物體的系統(tǒng)機(jī)械能是否守恒，由機(jī)械能守恒的條件容易知道，應(yīng)該是兩物體和彈簧這個(gè)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，由題意知，兩物體速度相同時(shí)，彈簧最長，故有m2v0=（m1+解得共速時(shí)系統(tǒng)機(jī)械能守恒帶入 v共可解得錯(cuò)誤。

此題的答案就是A項(xiàng)，但是，學(xué)生在做此題時(shí)，D選項(xiàng)是最不容易弄懂，很有可能會(huì)錯(cuò)選D項(xiàng)。那么怎么才能快速分析出D項(xiàng)正確與否呢？這就需要用到我們總結(jié)的“毛毛蟲”模型。

下面我們就先從理論上來分析一下，什么是“毛毛蟲”模型，以及有哪些特點(diǎn)！

考慮如上圖所示的運(yùn)動(dòng)情況，一輕彈簧的兩端與質(zhì)量分別為m1，m2的兩物塊A、B相連接，并靜止在光滑水平面上?，F(xiàn)使B獲得水平向右的瞬時(shí)初速度v0，從此刻開始計(jì)時(shí)，兩物塊的速度隨時(shí)間變化的規(guī)律是怎么樣的呢？

由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒的條件易知，在之后的運(yùn)動(dòng)過程中，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，機(jī)械能也守恒。那么，其特殊時(shí)刻的特征量是很好計(jì)算的，如下：

a.當(dāng)彈簧處于原長時(shí)，此時(shí)刻兩物體的合外力均為零，故其加速度為零，系統(tǒng)滿足兩個(gè)守恒方程

從上式兩組解中也不難理解：第一組解就是運(yùn)動(dòng)初始狀態(tài)，此時(shí)彈簧是原長。第二組解就是彈簧第二次處于原長狀態(tài)時(shí)，觀察解的形式可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)兩物體的速度與兩物體的質(zhì)量有關(guān)，這就是“毛毛蟲”模型結(jié)論多變的主要原因，也是解答例題中D選項(xiàng)的關(guān)鍵點(diǎn)。

b.當(dāng)彈簧處于最大形變量時(shí)，此時(shí)刻彈簧有可能最長，也可能是最短，故兩物體的加速度最大，而且兩物體速度相同。系統(tǒng)動(dòng)量守恒

m2v0=（m1+m2）v共解得v共=m2v0/（m1+m2）注意一個(gè)細(xì)節(jié)：v共=

情況a和情況b是彈簧原長和彈簧最大形變量這兩種特殊時(shí)刻的特征量，但是其他時(shí)刻呢？也就是運(yùn)動(dòng)的過程中，兩物體的速度隨時(shí)間是怎么變化的呢？下面我們來證明，兩物體的運(yùn)動(dòng)滿足：（1）系統(tǒng)質(zhì)心勻速直線運(yùn)動(dòng)；（2）兩物體都做變加速直線運(yùn)動(dòng)，速度隨時(shí)間的變化滿足正弦型函數(shù)關(guān)系。（此處的證明需要用到微積分的知識(shí)，對高中生不做要求。）

我們建立一個(gè)簡單的一維坐標(biāo)系如上圖（坐標(biāo)原點(diǎn)沒有標(biāo)出），m1的位置坐標(biāo)為 x1，初速度 v10=0，m2的位置坐標(biāo)為 x2，初速度v20=v0，彈簧原長為L0，則之后的動(dòng)力學(xué)方程為

其通解為x=Acos（ω0t+α）式中得振幅A和初相α由初始時(shí)刻t=0時(shí)的狀態(tài)量確定，由此可知，兩物體的x-t圖和v-t圖均為正弦型函數(shù)。

對于m1和m2整體，合外力為零，故質(zhì)心（位置坐標(biāo)為xc=一定是做勻速直線運(yùn)動(dòng)，故有xc=vct+xc0，對該式兩邊同時(shí)求時(shí)間的導(dǎo)數(shù)可得

（此處也可以用更簡單的思路來得到質(zhì)心勻速運(yùn)動(dòng)的速度，即任取一個(gè)特殊時(shí)刻算出其質(zhì)心速度就是質(zhì)心整個(gè)勻速運(yùn)動(dòng)的速度，那么我們就選擇彈簧形變量最大時(shí)，此時(shí)兩物體共速，其速度就是質(zhì)心勻速運(yùn)動(dòng)的速度。）

至此我們證明了，兩物體速度隨時(shí)間的變化滿足正弦型函數(shù)關(guān)系，即v-t圖是正弦型。我們可以繼續(xù)分情況討論情況a中，兩物體處于不同的質(zhì)量關(guān)系時(shí)，兩物體的運(yùn)動(dòng)情況：

情況1，若m1=m2時(shí)，則v共=v0/2，作出v-t圖如下：

圖中曲線1對應(yīng)m1的速度—時(shí)間圖像，曲線2對應(yīng)m2的速度—時(shí)間圖像。由v-t圖像的特點(diǎn)我們知道，其斜率大小代表加速度a的大小。顯而易見，當(dāng)v=v共時(shí)，a最大，對應(yīng)于圖中的t1和t2兩個(gè)時(shí)刻，由分析可知，t1時(shí)刻對應(yīng)彈簧拉伸最大長時(shí)，t2時(shí)刻對應(yīng)彈簧壓縮最短時(shí)。當(dāng)v=0或vm時(shí)，a=0，此時(shí)彈簧處于原長，顯然，兩物體，一個(gè)物體達(dá)到最大速度時(shí)，另一個(gè)物體此時(shí)對應(yīng)最小速度且最小速度等于零。

情況 2，若 m1＜m2時(shí)，v共＞v0/2，作出 v-t圖如下：

由圖分析可知，在彈簧再次恢復(fù)原長時(shí)，m1達(dá)到最大值v1，同時(shí)m2減小為最小值v2，故有v1=2v共，v2＞0。之后的運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)周期性變化，重復(fù)前面的運(yùn)動(dòng)變化。

情況 3，若 m1＞m2時(shí)，則 v共＜v0/2，作出 v-t圖如下：

分析方法同前兩種情況一樣，有v1=2v共，v2＜0。由圖可知，在彈簧再次恢復(fù)原長時(shí)，m1達(dá)到最大值v1，但是此時(shí)，m2并不是減小為最小值，而最小值也并不是v2，而是0，這是情況3不同于情況1和情況2的特殊之處。

綜合考慮上面三種情況，我們再來分析例題中的D選項(xiàng)，不難發(fā)現(xiàn)，“當(dāng)m1速度達(dá)到最大時(shí)，m2速度最小”這種現(xiàn)象要出現(xiàn)，必須要求m1小于等于m2，但是如果此條件不滿足，則當(dāng)m1還未達(dá)到最大速度時(shí)，m2就減小到最小速度0了，之后，v1繼續(xù)增大，而v2則是開始反向加速了。

通過上面的分析，我們在熟練掌握了動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒的基礎(chǔ)上，靈活運(yùn)用v-t圖也是可以解決彈簧這一類較困難的“毛毛蟲”模型。

通過對“毛毛蟲”模型理論上的研究，以及對上面例題的求解和分析，我們可以找到學(xué)習(xí)物理的規(guī)律：對一類有共同的特點(diǎn)的物理現(xiàn)象加以研究，掌握這種物理模型的規(guī)律，讓我們對物理知識(shí)的理解會(huì)更透徹，使我們學(xué)習(xí)物理更輕松有趣，這也是我們學(xué)習(xí)的重要目的之一。