光腔中兩組分玻色-愛因斯坦凝聚體的受激輻射特性和量子相變?

黃珊 劉妮 梁九卿

(山西大學(xué),理論物理研究所,量子光學(xué)與光量子器件國家重點實驗室,太原 030006)

1 引 言

Dicke模型描述的是N個二能級原子整體與一個單模量子化電磁場的相互作用[1].該自旋-玻色模型展示了在光與物質(zhì)相互作用系統(tǒng)中的集體現(xiàn)象[2,3],并且可以發(fā)生從正常相到超輻射相的二階相變[4?8].雖然標準Dicke模型形式簡單,但是體現(xiàn)了豐富而獨特的多體量子理論,且在量子信息等方面有廣泛的研究[9],尤其在冷原子系統(tǒng)中討論自旋軌道耦合的工作中也有很多豐富的研究結(jié)果[10?13].

經(jīng)典相變是指由于熱漲落的影響導(dǎo)致物理系統(tǒng)突然發(fā)生態(tài)的改變,例如由液態(tài)到固態(tài)的變化.而Dicke模型中的量子相變描述的是在絕對零度下,當改變多粒子系統(tǒng)的某一序參數(shù)時,系統(tǒng)將從一種無序的狀態(tài)連續(xù)變化到一種有序的狀態(tài).為了在實驗中實現(xiàn)Dicke模型的量子相變,集體原子與光子的耦合強度應(yīng)該與原子共振頻率的數(shù)量級大小相同,這個條件很難得到滿足[14?17].最近,在一個玻色-愛因斯坦凝聚(BEC)-光學(xué)腔系統(tǒng)中成功地觀測到超輻射量子相變,實驗中引入了獨立的動量自旋態(tài)[3,18].因此,BEC-光學(xué)腔系統(tǒng)常被用來探索奇異的多體現(xiàn)象.

近年來,利用半經(jīng)典近似法對雙組分BEC中量子相變進行了研究,揭示了原子對隧穿誘發(fā)的動力學(xué)[19?21].相關(guān)文獻已證明:光學(xué)腔中耦合的雙組分BEC具有光學(xué)、流體、多穩(wěn)定性[22,23];在具有自旋自由度的雙組分BEC中也可產(chǎn)生大量的多粒子糾纏,并且可觀察到兩組BEC之間的干擾[23?25].

很多文獻是基于Holstein-Primako ff變換,即在熱力學(xué)極限(N→∞)下,將贗自旋算符轉(zhuǎn)化為單模玻色算符,然后利用變分的方法研究Dicke模型的量子相變[13].本文通過玻色子算符取平均場近似后,得到一個等效贗自旋哈密頓算符,并利用自旋相干態(tài)變換將其對角化得到能量泛函,然后將求得的能量泛函對其經(jīng)典場變量(復(fù)參數(shù))變分并取極小值,從而給出基態(tài)能量和波函數(shù)的表達式.自旋相干態(tài)變分的方法可以方便地揭示多體物理系統(tǒng)的基態(tài)特性,既可以考慮正常贗自旋,又可以考慮反轉(zhuǎn)贗自旋,同時能產(chǎn)生多穩(wěn)的宏觀量子態(tài).在自旋為N且N→∞時,我們看到的宏觀量子態(tài)就是自旋相干態(tài).本文采用自旋相干態(tài)變分的方法,展示了兩組分BECs在單模光學(xué)腔中豐富的基態(tài)相圖和量子相變特性.

2 模 型

我們考慮兩團超冷原子同時與頻率為ω光學(xué)腔模耦合,但兩團原子之間并沒有相互作用(如圖1),則兩組分超冷原子與光腔相互作用的有效哈密頓量[26](用自然單位~=1)可表示為

式中a?,a分別表示有效光場的產(chǎn)生算符和湮滅算符;Sjz,Sj+,Sj?是集體贗自旋算符,自旋量子數(shù)Sj=Nj/2(j=1,2),其中Nj代表第j個組分原子數(shù);ωj是第j個組分的原子頻率;gj為第j個組分的原子與光場的耦合強度.

設(shè)變分的基態(tài)波函數(shù)為玻色場的相干態(tài)|α?,即玻色子湮滅算符的本征態(tài)為a|α?=α|α?.在玻色場相干態(tài)表象中,方程(1)對應(yīng)的哈密頓算符的期待值是一個等效的贗自旋哈密頓,即

這意味著等效贗自旋哈密頓量可以通過將玻色場算符取平均場近似得到,這里經(jīng)典場的變量(復(fù)數(shù))為變分參數(shù),因此求能量泛函的關(guān)鍵是通過自旋相干態(tài)變換將贗自旋哈密頓進行對角化,從而得到系統(tǒng)相應(yīng)的本征值和本征態(tài).本征方程為

整體的態(tài)直接用兩組分的自旋態(tài)直積產(chǎn)生本征態(tài)分別為自旋算符在n方向投影的北、南極規(guī)范自旋相干態(tài),其中是用分量極角ξj和方位角ηj描述的單位矢量.自旋相干態(tài)也可以通過旋轉(zhuǎn)算符由Sz的本征態(tài)生成, 即是待定參數(shù).

圖1 頻率為ω的高精細光腔中具有頻率為ω1和ω2的兩組分超冷原子(白色和藍色)的示意圖Fig.1.Schematic diagram for two ensembles of ultracold atoms(white and blue)with transition frequencies ω1, ω2in an optical cavity of frequency ω.

在自旋相干態(tài)變化下,原來的集體贗自旋算符

Sjz,Sj+,Sj?變?yōu)閇20]

其中(5)式成立的條件是

通過條件(7)式求得ξj和ηj,并代入到Aj(α,ξj,ηj)中,得到能量泛函為

從(9)式可以發(fā)現(xiàn):正常和反常的贗自旋態(tài)都將影響體系的多重穩(wěn)定態(tài).有四種自旋情況:兩個反方向自旋(↑↑);第一個反向自旋,第二個正常自旋(↑↓);第一個正常自旋,第二個反向自旋(↓↑);兩個正常自旋(↓↓).首先考慮第一種情況:兩個反向自旋(↑↑),此時能量泛函為

且我們假設(shè)兩組分原子數(shù)目相等,為N1=N2=N/2,則基態(tài)的平均能量是

對基態(tài)的平均能量對光子數(shù)γ變分,能量的極值條件為

接下來考慮第二種情況:第一個反向自旋,第二個正常自旋(↑↓),無量綱的基態(tài)能量為

下面考慮第三種情況:第一個正常自旋,第二個反向自旋(↓↑). 能量泛函為能量的極值條件為此時穩(wěn)定零解的區(qū)域用N↓↑表示,范圍為

最后一種情況:兩個正常自旋↓↓.無量綱基態(tài)能量為能量的極值條件為穩(wěn)定零解的區(qū)域用N↓↓表示,區(qū)域為

接下來,討論以上四種情況的非零光子數(shù)的解,統(tǒng)一表示為

圖2 極值方程Pk(γsk)=0(a1)—(a4)和平均能量曲線ε(b1)—(b4)隨平均光子數(shù)γ2/N 的變化 (給定的條件是:第一組分原子與場的耦合強度為g1/ω=0.55和g2/ω=0.1,0.3,0.6,0.9,其中k=↓↓(黑線),k=↓↑(紅線),k=↑↓(藍線))Fig.2.Graphical solutions of the extremum equation Pk(γsk)=0(a1)–(a4)and the corresponding average energy curves ε (b1)–(b4)as the function of the mean photon number γ2/N for k=↓↓ (black line)and k=↓↑ (red line)(or k=↑↓ (blue line)).The plotted parameters are given by g1/ω =0.55 and g2/ω =0.1,0.3,0.6,0.9.

其中k=↓↓,↑↓,↓↑,↑↑. 可以通過(17)式來數(shù)值求解光子數(shù).在圖2(a)中給出了穩(wěn)定的非零光子解γsk,被稱為超輻射態(tài),其中k=↓↓(黑線),↓↑(紅線),↑↓(藍線),圖2(b)為相對應(yīng)的能量εsk.對于第二組分原子與場的耦合強度g2/ω=0.1時,從圖2(a1)和圖2(b1)可以看出只有兩種情況下極值方程的解γs↓↓和γs↓↑是穩(wěn)定的,即相對應(yīng)的關(guān)于參數(shù)γ的基態(tài)能量函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為正,此時對應(yīng)的能量為局域的最小值.γs↓↑表示第二組分原子整體反轉(zhuǎn)的非零光子數(shù)的穩(wěn)定解.將第二組分原子與場的耦合強度提高到g2/ω=0.3(圖2(a2)以及圖2(b2))和g2/ω=0.6(圖2(a3)和圖2(b3))時,發(fā)現(xiàn)只有一個穩(wěn)定解γs↓↓.但是當耦合強度提高到g2/ω=0.9時出現(xiàn)了兩個穩(wěn)定的解γs↓↓和γs↑↓(圖2(a4)和圖2(b4)),γs↑↓表示來自第一組分原子反轉(zhuǎn)的受激輻射解.根據(jù)圖2(a4)和圖2(b4),發(fā)現(xiàn)原子數(shù)反轉(zhuǎn)的集體輻射變成了第一組分的原子反轉(zhuǎn)這一有趣的現(xiàn)象.自旋相干態(tài)變分法的觀測結(jié)果表明:除了基態(tài)可以獲得穩(wěn)定的宏觀量子態(tài)之外,同時也獲得了較高能量的穩(wěn)定宏觀量子態(tài).

3 討 論

我們考慮不同組分原子與場的失諧分別為

其中?∈[?0.9,0.9],而原子與場的耦合不平衡參數(shù)δ表示為

將(18)和(19)式代入到相對應(yīng)的能量泛函,并根據(jù)極值條件可以得到正常態(tài)N↓↓和反轉(zhuǎn)態(tài)N↓↑,N↑↓的相邊界:

正常態(tài)N↓↓和超輻射態(tài)S↓↓的平均光子數(shù)可以由相關(guān)的波函數(shù)直接求得,根據(jù)給出的自旋態(tài),得到光子數(shù)為

對于?na(↓↓)=?1/2類似于標準Dicke模型,此時為正常相.在臨界耦合強度gc↓↓前后,正常態(tài)N↓↓和超輻射態(tài)S↓↓的平均能量分別為

對于另外兩種態(tài)Nk,Sk,其中相對應(yīng)的自旋極化k=↓↑,↑↓,它們的平均光子數(shù)為

正常態(tài)的非平衡原子數(shù)為

而對于超輻射態(tài)的非平衡原子數(shù)可整理為

根據(jù)Pk(γsk)=0求出非零光子數(shù)γsk,將其代入到能量泛函內(nèi)可以得到平均能量εk(Sk).正常態(tài)時,平均能量εk(Nk)=0.而對應(yīng)零光子數(shù)解的反轉(zhuǎn)自旋態(tài)的非平衡原子數(shù)?na(↑↑)=0.5,平均能量為在N↑↑這種情況下反轉(zhuǎn)自旋對應(yīng)的零光子數(shù)解都是不穩(wěn)定的.

圖3 平均光子數(shù)np和非平衡原子數(shù)?na隨原子-場耦合強度的變化(其中原子-場耦合強度g1=g2=1) (a)對應(yīng)第二組分原子不存在,即ω2=0情況;(b)和(c)分別對應(yīng)原子與場的失諧頻率?/ω=0.5,?0.5情況Fig.3.Variations of the average photon number npand atom population imbalance?nawith respect to the coupling constant g1=g2=1 in the absence of the second-component atom frequency,i.e.,ω2=0(a),and atom- field frequency detuning?/ω=0.5(b)and?/ω=?0.5(c).

圖3的(a1)和(a2)為第二組分原子不存在(ω2=0)時的平均光子數(shù)np和非平衡原子數(shù)?na,且圖3的不平衡參數(shù)δ=0.當ω2=0時,(1)式的哈密頓量可簡化成標準的Dicke模型,當耦合強度達到臨界條件gc=0.5會發(fā)生從正常相N↓到超輻射相S↓的量子相變,是典型的Dicke量子相變. 圖3(b)和圖3(c)給出了在紅失諧(?=0.5)和藍失諧(?=?0.5)時的平均光子數(shù)np和非平衡原子數(shù)?na.在原子-場耦合強度g低于邊界條件gc↓↓時,系統(tǒng)有穩(wěn)定的零光子態(tài),能量為最小值,即基態(tài);在臨界條件gc↓↓和gc↓↑圖3(b)(或gc↑↓(圖3(c))之間時,超輻射態(tài)S↓↓(黑線)和N↓↑(或N↑↓)(紅線)以及N↑↑(藍線)共存;在原子-場耦合強度g高于臨界條件gc↓↑(圖3(b))或gc↑↓(圖3(c))時,超輻射態(tài)S↓↓(黑線)和S↓↑(或S↑↓)(紅線)以及N↑↑(藍線)共存. 從正常相N↓↓到超輻射相S↓↓的量子相變是典型的Dicke量子相變,在臨界點gc↓↓發(fā)生相變.從圖3(b)可以看到,當?/ω=0.5,出現(xiàn)了反轉(zhuǎn)自旋極化的態(tài)N↓↑和S↓↑的情況,這是第一激發(fā)態(tài).而在圖3(c)中,對于負失諧?/ω=?0.5,兩組分發(fā)生交換,兩個組分之間的自旋極化由N↓↑和S↓↑態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)镹↑↓和S↑↓,仍為第一激發(fā)態(tài).我們觀察到:當耦合強度達到臨界點gc↓↑(或gc↑↓)時,系統(tǒng)發(fā)生正常態(tài)N↓↑(或N↑↓)到超輻射狀態(tài)S↓↑(或S↑↓)的相變,這是圖3呈現(xiàn)的一個新奇的量子相變,這是一組分BEC集體反演的整體受激輻射態(tài).在正常態(tài)N↓↑(或N↑↓)和超輻射態(tài)S↓↑(或S↑↓)的臨界點gc↓↑(或gc↑↓)并沒有改變基態(tài),且這兩個態(tài)N↓↑(或N↑↓)和S↓↑(或S↑↓)是系統(tǒng)的集體激發(fā)態(tài).對于給定的頻率失諧?/ω=±0.5,臨界點可以根據(jù)(20)式精確地計算出gc↓↓=0.306,gc↓↑=gc↑↓=0.433. 值得一提的是,兩組分的原子集體反演的正常態(tài)N↑↑(藍線)并未參與超輻射過程.

圖4為g-δ平面的相圖.相變邊界可以根據(jù)方程(20)準確求得.在NPts(由臨界線gc↓↓限定)的區(qū)域中,存在三重零光子態(tài),其中具有最低能量的N↓↓為基態(tài), 該區(qū)域分為NPts(N↓↓,N↑↓,N↑↑)(I)和NPts(N↓↓,N↓↑,N↑↑)(II)兩個區(qū)域, 由水平線(δ=0(a),δ=0.723(b),δ=?0.423(c))分離開.I區(qū)和II區(qū)只有一個狀態(tài)不同,I區(qū)域中的狀態(tài)N↑↓在II區(qū)域被替換為N↓↑.通過調(diào)整原子-場耦合強度g和原子-場耦合不平衡參數(shù)δ,可以看到從N↓↑到N↑↓同時轉(zhuǎn)變(II→I和IV→III).區(qū)域III(或區(qū)域IV)對應(yīng)的態(tài)SPco(S↓↓,N↑↓,N↑↑)(或態(tài)SPco(S↓↓,N↓↑,N↑↑))是指態(tài)N↑↓(或態(tài)N↓↑)與超輻射態(tài)S↓↓共存的超輻射區(qū)域(N↑↑態(tài)指零光子的激發(fā)態(tài)),其中水平線(δ=0(a),δ=0.723(b),δ=?0.423(c))將SP超輻射區(qū)域分成兩個區(qū)域(區(qū)域III和區(qū)域IV).在水平線的上面,只有第一激發(fā)態(tài)從N↓↑變化到N↑↓態(tài),這主要是通過耦合變化引起自旋反轉(zhuǎn).在臨界線gc↓↑下(區(qū)域VI),除了超輻射基態(tài)S↓↓,還有一個受激輻射態(tài)S↓↑,這是由正常態(tài)N↓↑(區(qū)域IV)變?yōu)槌椛湎郤↓↑. 而在臨界線gc↑↓上面的區(qū)域內(nèi)(區(qū)域V),同樣有第一激發(fā)態(tài)正常態(tài)N↑↓(區(qū)域III)變?yōu)槌椛湎郤↑↓. 兩個超輻射態(tài)S↑↓和S↓↑是雙組分BEC中的新觀測,被認為是來自較高能量原子能級的受激輻射.兩個分量的穩(wěn)定布居數(shù)反演態(tài)N↑↑存在于整個區(qū)域.原子與場頻率的失諧僅會改變不同量子區(qū)的范圍,但原子與場頻率失諧和原子與場不平衡參數(shù)共同調(diào)控新的宏觀多穩(wěn)態(tài).本文觀察到的多穩(wěn)的宏觀量子態(tài)與非平衡量子相變的動力學(xué)研究一致[27,28].

圖4 g-δ空間的相圖,其中原子與光場的頻率失諧?/ω =0(a),?/ω =0.5(b),?/ω = ?0.5(c)Fig.4.Phase diagram in g-δ space with the atomfield frequency detuning?/ω =0(a),?/ω =0.5(b),?/ω=?0.5(c).

圖5分別給出了平均光子數(shù)((a1)和(a2))、非平衡原子數(shù)((b1)和(b2))、平均能量((c1)和(c2))在共振條件?=0下隨原子-場耦合常數(shù)的變化,其中非平衡參數(shù)為δ=±0.6.在非平衡參數(shù)δ=?0.6時,且當原子-場耦合強度達到臨界條件gc↓↓=0.46,系統(tǒng)發(fā)生從正常相N↓↓到超輻射相S↓↓的量子相變.從圖5(a1)—5(c1)可以看到:相比于臨界值gc↓↓=0.46,第二組分具有較高的耦合值,即在臨界點gc↓↑=0.55處,此時出現(xiàn)新的量子相變,即從集體激發(fā)態(tài)N↓↑到集體激發(fā)態(tài)S↓↑之間的相變.這種從原子數(shù)反轉(zhuǎn)的正常態(tài)到超輻射態(tài)相變是由于第二組分原子的存在導(dǎo)致的,可通過觀測非平衡原子布居數(shù)和平均能量來理解該相變.當將不平衡參數(shù)調(diào)整為δ=0.6時,在達到臨界條件gc↓↓=0.26時,系統(tǒng)發(fā)生從正常相N↓↓到超輻射相S↓↓的量子相變,如圖5(a2)—5(c2)所示.新的相變是第一個分量發(fā)生改變,在臨界耦合gc↑↓=0.401時發(fā)生從N↑↓到S↑↓的量子相變,此時集體受激輻射轉(zhuǎn)移到了第一組分.負的不平衡參數(shù)δ使臨界相變點gc↓↓和gc↓↑右移,而正的不平衡參數(shù)δ使臨界相變點gc↓↓和gc↑↓左移,此結(jié)論與相圖4中的結(jié)論是一致的.

圖5 在原子與場的失諧?=0,原子-場耦合非平衡常數(shù)δ=?0.6和δ=0.6時的平均光子數(shù)np(a)、非平衡原子布居數(shù)?na(b)和平均能量ε(c)Fig.5.Variations of the average photon number np(a),atom population imbalance?na(b),and average energy ε(c)with respect to the atom- field frequency detuning?=0 in the the atom- field coupling imbalance parameter δ= ?0.6 and δ=0.6.

4 結(jié) 論

利用自旋相干態(tài)變分方法分析了單模腔中雙組分BEC的多穩(wěn)宏觀量子態(tài).當調(diào)控兩個組分之間的原子與場耦合不平衡參數(shù)和原子與場頻率失諧時,體系出現(xiàn)了豐富的相圖.實際上,當兩個分量在正常自旋狀態(tài)下時,基態(tài)顯示了從正常相到超輻射相的量子相變,這是典型的Dicke模型的量子相變.當兩個分量之間的原子-場耦合不平衡參數(shù)增加時,在相對較低的耦合值時,正常的自旋狀態(tài)變到反轉(zhuǎn)的自旋態(tài),該狀態(tài)的輻射是來自原子集體反演的受激輻射.受激輻射還可以通過操縱原子與場頻率失諧產(chǎn)生.在特定情況下,當兩組分原子與場的耦合常數(shù)消失一個或兩個耦合相等時,基態(tài)和相關(guān)量子相變退回到標準Dicke模型.自旋相干態(tài)變分方法是研究原子整體與腔場相互作用系統(tǒng)宏觀量子特性的有力工具,因為它考慮了正常和反轉(zhuǎn)的贗自旋(導(dǎo)致多個宏觀量子態(tài)),這與Dicke模型中非平衡量子相變的半經(jīng)典動力學(xué)一致[29].