反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)中反螺旋波與反靶波的數(shù)值研究?

倪之瑋 李新政 白占國(guó) 李燕

(河北科技大學(xué)理學(xué)院,石家莊 050018)

1 引 言

螺旋波斑圖是非線性系統(tǒng)中自組織形成的時(shí)空有序結(jié)構(gòu),是自然界中最常見(jiàn)和最基本的一種遠(yuǎn)離平衡態(tài)的斑圖形式,它廣泛地存在于自然界和各實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中[1?5],根據(jù)傳播形式可分為螺旋波(spiral)和反向螺旋波(antispiral).螺旋波(運(yùn)動(dòng)形式由波頭向外傳播的螺旋波)由于其廣泛存在和容易形成被人們所熟知,國(guó)內(nèi)外學(xué)者已對(duì)其進(jìn)行了系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)及理論研究,并發(fā)表了大量的研究結(jié)果.人們通過(guò)分析多個(gè)系統(tǒng)中的單臂螺旋波的性質(zhì)及其動(dòng)力學(xué)行為,系統(tǒng)地研究了單臂螺旋波的破缺機(jī)制和控制方法[6?12],并對(duì)復(fù)雜的多臂數(shù)螺旋波和超級(jí)螺旋波也從理論模擬和實(shí)驗(yàn)上進(jìn)行了多方面的研究[13?19].而反螺旋波(運(yùn)動(dòng)形式由外向波頭反方向傳播的螺旋波)直到2001年Vanag和Epstein[20]在BZ-AOT化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn),才被命名,隨后開(kāi)始引起人們的注意與研究.Gong和Christini[21]通過(guò)模擬發(fā)現(xiàn)反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)在霍普失穩(wěn)附近會(huì)出現(xiàn)反螺旋波;Wang等[22]發(fā)現(xiàn)弛豫振蕩介質(zhì)中遠(yuǎn)離霍普失穩(wěn)時(shí)以及單相反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)在臨近霍普失穩(wěn)時(shí)也可以自發(fā)出現(xiàn)反螺旋波;Nicola等[23]利用復(fù)Ginzburg-Landau理論方程討論了反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)在霍普失穩(wěn)附近產(chǎn)生螺旋波與反螺旋波的區(qū)別;Qian等[24]利用耦合FitzHugh-Nagumo(FHN)模型研究了多普勒失穩(wěn)造成穩(wěn)定反螺旋波到湍流態(tài)的演化.鑒于反螺旋波的研究起步較晚,目前相關(guān)研究結(jié)果相對(duì)較少.研究不同失穩(wěn)時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)的反螺旋波以及反螺旋波的多樣性,將有助于人們對(duì)反螺旋波的了解.

本工作采用三變量Brusselator擴(kuò)展模型,分析了反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)反螺旋波與反靶波的產(chǎn)生機(jī)制與時(shí)空特性,并對(duì)反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)中的反螺旋波與反靶波以及多臂反螺旋波的形成及其轉(zhuǎn)化過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值分析,其研究結(jié)果對(duì)于豐富和深入理解反螺旋波和反靶波的理論具有一定的參考意義.

2 理論模型

目前,用于研究螺旋波斑圖的理論模型主要有復(fù)Ginzburg-Landau方程、三變量Purwins模型、Barkley模型、FHN模型和B?r模型等.本工作采用三變量Brusselator擴(kuò)展模型[25],其無(wú)量綱的形式如下:

式中,U,V和W分別為活化子和禁阻子以及不活躍中間物質(zhì)的濃度;DU,DV,DW分別表示三個(gè)變量的擴(kuò)散系數(shù)(DU

解此特征方程可以得到色散關(guān)系:

利用色散關(guān)系可以判斷系統(tǒng)的失穩(wěn)特性,進(jìn)而可知系統(tǒng)形成斑圖的時(shí)空特征.當(dāng)Im(λ)=0,Re(λ)=0(k=kT=0)時(shí),系統(tǒng)發(fā)生圖靈失穩(wěn),形成空間上周期性分布的靜態(tài)斑圖;當(dāng)Im(λ) =0,Re(λ)=0(k=0)時(shí),系統(tǒng)經(jīng)歷霍普失穩(wěn),形成隨時(shí)間周期變化的均勻動(dòng)態(tài)斑圖;當(dāng)Im(λ) =0,Re(λ)=0(k=kw=0)時(shí),系統(tǒng)經(jīng)歷波失穩(wěn),產(chǎn)生時(shí)間和空間上都具有周期性的動(dòng)態(tài)斑圖.

在本文的數(shù)值模擬中,采用歐拉向前差分的方法進(jìn)行積分,數(shù)值模擬在一個(gè)含有N×N(128×128)個(gè)格子的二維平面上進(jìn)行,時(shí)間積分步長(zhǎng)為?t=0.01個(gè)時(shí)間單位,邊界條件選用零流邊界條件,為確保其穩(wěn)定性所有結(jié)果的積分時(shí)間均超過(guò)2000個(gè)時(shí)間單位.

3 數(shù)值模擬結(jié)果與分析

3.1 反螺旋波的形成機(jī)制

非線性系統(tǒng)發(fā)生霍普失穩(wěn)或波失穩(wěn)時(shí)系統(tǒng)的均勻性會(huì)遭到破壞,從而引起物質(zhì)濃度的變化,系統(tǒng)形成隨時(shí)間變化的空間動(dòng)態(tài)斑圖.模擬研究發(fā)現(xiàn)反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)不僅在霍普失穩(wěn)、波失穩(wěn)附近產(chǎn)生反螺旋波,并且在霍普失穩(wěn)與波失穩(wěn)共同作用下也可以形成多種反向螺旋波.圖1是系統(tǒng)參數(shù)(a,b,c,d,Du,Dv,Dw)在(2.0,7.0,1.0,1.0,0.5,1.0,8.0)附近時(shí),形成的單臂反螺旋波.從色散曲線進(jìn)行分析,可以看出系統(tǒng)在經(jīng)歷霍普失穩(wěn)的同時(shí)發(fā)生波失穩(wěn),且霍普模的強(qiáng)度hf大于波失穩(wěn)處模的強(qiáng)度hw,因此霍普失穩(wěn)占主導(dǎo)地位,而波失穩(wěn)相對(duì)較弱,系統(tǒng)可形成隨時(shí)間和空間周期變化的動(dòng)態(tài)斑圖.由于反螺旋波的群速度vg>0(圖1(c1)),所以其波源成為中心位置的拓?fù)淙毕蔹c(diǎn),而由于波的傳播方向由外向內(nèi),與螺旋波的方向相反,所以相速度vp<0,因此可判斷反螺旋波的色散關(guān)系為負(fù)[23,25,26].從反螺旋波的形成過(guò)程(圖1(a2)—(e2))可以看出:二維模擬系統(tǒng)首先隨機(jī)產(chǎn)生隨時(shí)間變化的空間動(dòng)態(tài)點(diǎn)狀斑圖,隨模擬時(shí)間的延長(zhǎng),不同動(dòng)態(tài)點(diǎn)狀斑圖間相互碰撞融合,逐漸演化成動(dòng)態(tài)線狀條紋斑圖,由于條紋斑圖不同位置的波速不同,邊緣端點(diǎn)的波速小于中間位置點(diǎn)的波速,條紋逐漸變?yōu)轵榍鸂?一個(gè)端點(diǎn)形成波頭,在局部形成反螺旋波的初始形態(tài),隨模擬時(shí)間的延長(zhǎng)最終演化成產(chǎn)生于邊界、波由外向內(nèi)傳播、消失于中心的單臂反螺旋波.圖1(d2)和圖1(e2)是同一周期中波頭的不同相位,兩圖的時(shí)間間隔約為T/4,從圖中可以看出單臂反螺旋波的走向與波頭的相位運(yùn)動(dòng)方向相同,均為逆時(shí)針,這與所熟悉的單臂螺旋波的情況相反,是波由外向內(nèi)的反向傳播造成.經(jīng)過(guò)多次模擬發(fā)現(xiàn)反螺旋波的波頭在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中表現(xiàn)出與螺旋波相同的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn),如運(yùn)動(dòng)軌跡為定點(diǎn)、圓形、漫游等.此外,系統(tǒng)還可觀察到同向和反向轉(zhuǎn)動(dòng)的偶極子反螺旋波對(duì).

圖1 單臂反螺旋波的色散關(guān)系曲線及形成過(guò)程 (a1)色散的實(shí)部Re(λ)曲線;(b1)色散的虛部Im(λ)曲線;(c1)虛部的導(dǎo)數(shù)曲線;(a2)—(e2)為單臂反螺旋波的形成過(guò)程(模擬時(shí)間順序:13.9,577.3,657.7,1279.6,1280.3)Fig.1.Dispersion relation curves and forming process of single-arm antispral:(a1)The real part of dispersion;(b1)the imaginary part of dispersion;(c1)the first derivative of the imaginary part;(a2)–(e2)the forming process of single-armed antispiral(The simulation time sequence is as follows:13.9,577.3,657.7,1279.6,1280.3).

圖2 反螺旋波變量的時(shí)空分布 (a)三變量的時(shí)間分布(選取時(shí)間間隔5000—6000);(b)三變量的空間分布Fig.2.Spatio-temporal distribution of variables:(a)The time distribution of the three variables(The selected time interval is between 5000 and 6000);(b)the spatial distribution of the three variables.

圖3 反靶波的色散關(guān)系曲線及靶波的形成過(guò)程 (a1)色散的實(shí)部Re(λ)曲線;(b1)色散的虛部Im(λ)曲線;(c1)虛部的導(dǎo)數(shù)曲線;(a2)—(e2)為靶波的形成過(guò)程截圖(模擬時(shí)間順序:13.8,75.8,121,200.2,5284.8)Fig.3.Dispersion relation curves and forming process of antitarget wave:(a1)The real part of dispersion;(b2)the imaginary part of dispersion;(c1)the first derivative of the imaginary part;(a2)–(e2)the forming process of antitarget wave(The simulation time sequence is as follows:13.8,75.8,121,200.2,5284.8).

利用u,v,w三個(gè)變量的濃度隨時(shí)間和空間的變化對(duì)單臂反螺旋波的時(shí)空特性進(jìn)行分析.從變量隨時(shí)間和空間的變化曲線(圖2)可以看出:三者均隨時(shí)間做周期性振蕩,在空間上也是周期性分布的,且兩圖中三變量的峰值出現(xiàn)的位置不同,這是由于三變量具有不同的時(shí)間尺度和擴(kuò)散速度造成的.從變量的時(shí)空特征可以判斷反螺旋波是一種時(shí)間上振蕩,空間上呈周期性分布的時(shí)空斑圖.

3.2 反靶波的形成機(jī)制

系統(tǒng)不僅可以生成反螺旋波,還可以生成向里傳播的反靶波.圖3是系統(tǒng)參數(shù)(a,b,c,d,Du,Dv,Dw)在(2.0,7.5,1.0,1.0,0.4,1.0,8.0)附近時(shí),二維模擬系統(tǒng)形成的反靶波斑圖.通過(guò)對(duì)色散關(guān)系曲線分析,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在經(jīng)歷霍普失穩(wěn)和波失穩(wěn)的同時(shí)還經(jīng)歷了圖靈失穩(wěn),并且霍普模的強(qiáng)度hf和圖靈模的強(qiáng)度hT遠(yuǎn)大于波失穩(wěn)處模的強(qiáng)度hw,因此系統(tǒng)以霍普失穩(wěn)和圖靈失穩(wěn)為主,而波失穩(wěn)相對(duì)較弱,系統(tǒng)在多種失穩(wěn)的共同作用下可形成復(fù)雜運(yùn)動(dòng)形式的動(dòng)態(tài)斑圖.由于反靶波的群速度vg>0(圖3(c1)),所以中心為波源,與螺旋波和反螺旋波的位置相同;又因波的傳播方向與反螺旋波相同——由外向內(nèi)傳播,所以相速度vp<0,由此可判斷反靶波的色散關(guān)系為負(fù).經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)反靶波的形成過(guò)程與反螺旋波不同,二維模擬系統(tǒng)首先在某些區(qū)域出現(xiàn)強(qiáng)度周期變化的無(wú)規(guī)則點(diǎn)狀斑圖,空間位置基本不變.隨模擬時(shí)間延長(zhǎng),其中幾個(gè)區(qū)域周期變化的點(diǎn)狀斑圖逐漸突顯,并影響到整體,二維模擬空間在這幾個(gè)區(qū)域逐漸形成靶源,并形成由外向靶心傳播的多個(gè)自持續(xù)反靶波,多個(gè)反靶波間通過(guò)相互影響,最終二維模擬系統(tǒng)形成單一中心的反靶波,但由于受模擬邊界及空間位置的影響,形狀為圓形的反靶波最終演化成方形反靶波.

通過(guò)大量模擬發(fā)現(xiàn):在一定條件下單臂反螺旋波也可以轉(zhuǎn)化成反靶波,此過(guò)程初始階段與二維系統(tǒng)直接形成反靶波不同,而與反螺旋波的過(guò)程相同.從圖4可以看出,系統(tǒng)首先由無(wú)規(guī)則動(dòng)態(tài)點(diǎn)狀斑圖演化成動(dòng)態(tài)條紋斑圖,進(jìn)而形成單臂反螺旋波斑圖,但所形成的反螺旋波斑圖的波頭較為特殊,在隨模擬時(shí)間延長(zhǎng)過(guò)程中,波頭區(qū)域會(huì)逐漸增大,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中由于其波速較低,會(huì)與反螺旋波的臨近部位相碰撞,并在此位置截?cái)喾绰菪?原波頭區(qū)域會(huì)形成一個(gè)自持續(xù)的周期性靶源,從而在局部區(qū)域形成不規(guī)則的反靶波,隨模擬時(shí)間延長(zhǎng),二維模擬系統(tǒng)最終形成反靶波斑圖.

圖4 單臂反螺旋波向反靶波轉(zhuǎn)化過(guò)程(模擬時(shí)間順序:702.7,2115.8,3605,4164.9,4739.4)Fig.4.Conversion process of single-armed antispiral to anti-target wave(The simulation time sequence is as follows:702.7,2115.8,3605,4164.9,4739.4).

3.3 多臂反螺旋波的時(shí)空特性及其轉(zhuǎn)化

通過(guò)數(shù)值模擬獲得了單臂、雙臂、三臂等多種不同臂數(shù)的反螺旋波斑圖.圖5為二維模擬系統(tǒng)獲得的雙臂到六臂的反螺旋波斑圖.從圖5可以看出,波傳播方向均由外向里,波頭的相位運(yùn)動(dòng)方向與反螺旋波的走向相同,旋轉(zhuǎn)方向隨機(jī),可為順時(shí)針或逆時(shí)針?lè)较?除三臂反螺旋波的波頭順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)外,其余則為逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng).研究發(fā)現(xiàn),反螺旋波隨臂數(shù)的增加,不僅波頭的動(dòng)力學(xué)行為更加復(fù)雜,而且中心區(qū)域的半徑也逐漸增大,這與實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)系統(tǒng)對(duì)多臂螺旋波研究結(jié)果相一致[27].

圖5 不同臂數(shù)反螺旋波斑圖(其余固定參數(shù):a=3.0;b=11.39;c=d=1.0) (a)雙臂(Du=0.5,Dv=1.0,Dw=23.0);(b)三臂(Du=0.6,Dv=1.0,Dw=25.0);(c)四臂(Du=0.7,Dv=1.0,Dw=25.0);(d)五臂(Du=0.45,Dv=1.0,Dw=40.0);(e)六臂(Du=0.6,Dv=1.0,Dw=26.0)Fig.5.Various kinds of multi-armed antispiral patterns(Parameters:a=3.0;b=11.39;c=d=1.0):(a)Two arms(Du=0.5,Dv=1.0,Dw=23.0);(b)three arms(Du=0.6,Dv=1.0,Dw=25.0);(c)four arms(Du=0.7,Dv=1.0,Dw=25.0);(d) five arms(Du=0.45,Dv=1.0,Dw=40.0);(e)six arms(Du=0.6,Dv=1.0,Dw=26.0).

在模擬多臂反螺旋波過(guò)程中,發(fā)現(xiàn)不同臂數(shù)反螺旋波的波頭運(yùn)動(dòng)規(guī)則不同,并且波頭間的碰撞順序與波頭的旋轉(zhuǎn)方向有關(guān).圖6是雙臂與三臂反螺旋波的波頭逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的情況,可以看出:波頭的轉(zhuǎn)動(dòng)方向都與波的走向相同,雙臂反螺旋波的動(dòng)力學(xué)行為相對(duì)比較簡(jiǎn)單(圖6(a1)—(d1)),在T/2周期內(nèi)兩臂的波頭不斷發(fā)生碰撞和遠(yuǎn)離,且繞著同一個(gè)中心點(diǎn)做周期性運(yùn)動(dòng),旋轉(zhuǎn)過(guò)程中每半個(gè)周期兩旋轉(zhuǎn)臂的波頭碰撞一次,兩個(gè)波頭位置總是關(guān)于中心點(diǎn)對(duì)稱分布,這就意味著雙臂反螺旋波的兩個(gè)波頭相位差始終保持π;三臂反螺旋波的波頭具有非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)過(guò)程(圖6(a2)—(d2)),由于相鄰兩臂的相位差為2π/3,所以旋轉(zhuǎn)臂失去了對(duì)稱性,在T/3周期內(nèi)波頭碰撞兩次,它的三個(gè)波頭端點(diǎn)兩兩相互碰撞,順序?yàn)?-3-2-1的逆時(shí)針排序.由于多臂螺旋波的波頭在不停地碰撞和遠(yuǎn)離,所以隨著臂數(shù)的增加,四臂、五臂和六臂反螺旋波的波頭運(yùn)動(dòng)情況更為復(fù)雜,并且發(fā)現(xiàn)隨臂數(shù)的增加,波頭的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)周期逐漸增大,其原因可能與中心區(qū)域的旋轉(zhuǎn)半徑有關(guān).

通過(guò)觀察不同情況的多臂反螺旋波發(fā)現(xiàn),在一定模擬條件下多臂反螺旋波經(jīng)歷一段時(shí)間后,其中的一個(gè)旋轉(zhuǎn)臂會(huì)逐漸遠(yuǎn)離波頭中心區(qū)域,并逐漸消失,系統(tǒng)形成一個(gè)新的臂數(shù)少一的反螺旋波斑圖.圖7是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的反螺旋波從四臂→三臂的轉(zhuǎn)化過(guò)程,可以看出:四臂反螺旋波中心波頭的旋轉(zhuǎn)及相互碰撞比雙臂與三臂反螺旋波運(yùn)動(dòng)更加復(fù)雜,在波頭旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中其中心會(huì)發(fā)生緩慢的移動(dòng),從而使四臂反螺旋波逐漸失去了空間旋轉(zhuǎn)不變對(duì)稱性;同時(shí)由于它的中心四個(gè)端點(diǎn)也在不斷地相互作用,造成其中的一個(gè)旋轉(zhuǎn)臂逐漸遠(yuǎn)離旋轉(zhuǎn)中心區(qū)域,并在邊界條件的限制下逐漸消失,二維模擬系統(tǒng)形成一個(gè)新的三臂反螺旋波.分析其原因主要是由于微擾的作用或者其他條件的影響,使位錯(cuò)的拓?fù)浜煞?hào)與反螺旋波的拓?fù)浜煞?hào)相反造成的.圖7中四臂反螺旋波為逆時(shí)針走向時(shí),因與螺旋波運(yùn)動(dòng)方向相反,所以其拓?fù)浜煞?hào)應(yīng)為負(fù)值;而反螺旋波的波頭相位運(yùn)動(dòng)方向同為逆時(shí)針,因此位錯(cuò)的拓?fù)浜煞?hào)為正值.此外,還發(fā)現(xiàn)多臂反螺旋波在一定條件下可以實(shí)現(xiàn)從多臂到單臂的連續(xù)轉(zhuǎn)化.

圖6 雙臂與三臂反螺旋波波頭的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)情況 (a1)—(d1)雙臂模擬時(shí)間順序分別為 3424.5,3425,3425.7,3426.3;(a2)—(d2)三臂模擬時(shí)間順序分別為3074.7,3075.3,3075.7,3076.2Fig.6.Rotating motion of the wave tips with two arms and three arms.(a1)–(d1)the simulation time sequence of twoarmed antispiral is as follows:3424.5,3425,3425.7,3426.3.(a2)–(d2)the simulation time sequence of three-armed antispiral is as follows:3074.7,3075.3,3075.7,3076.2.

圖7 四臂反螺旋波向三臂反螺旋波轉(zhuǎn)化過(guò)程(模擬時(shí)間順序:2405.9,2529.9,2648.1,2895.8,3190)Fig.7.Conversion process of four-armed antispiral to three-armed antispiral(The simulation time sequence is as follows:2405.9,2529.9,2648.1,2895.8,3190).

3.4 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)反螺旋波和反靶波的影響

由于斑圖的形成與穩(wěn)定性依賴于參數(shù)的選取,因此研究系統(tǒng)參數(shù)對(duì)圖形的影響非常重要.文中在一定范圍內(nèi)研究了控制參數(shù)a,b以及擴(kuò)散系數(shù)對(duì)斑圖的影響:通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)控制參數(shù)a,b的連續(xù)變化可引起反螺旋波空間尺度的規(guī)律變化,隨a的增加反螺旋波逐漸變稀疏(圖8(a1)和圖8(b1)),而隨b的增加反螺旋波逐漸變密集(圖8(c1)和圖8(d1)),并且參數(shù)a的可變化范圍遠(yuǎn)小于b.擴(kuò)散系數(shù)雖對(duì)斑圖的空間尺度沒(méi)有明顯的影響,但發(fā)現(xiàn)擴(kuò)散系數(shù)Dw持續(xù)增加到一定值時(shí),波的傳播方向會(huì)發(fā)生改變,由向內(nèi)傳播改為向外,二維模擬系統(tǒng)形成的反螺旋波與反靶波會(huì)被螺旋波和靶波所取代(圖8(a2)—(d2)),且隨Dw的增大反螺旋波不僅會(huì)轉(zhuǎn)為同臂數(shù)的螺旋波,還可形成不同臂數(shù)的螺旋波.利用色散曲線分析其原因發(fā)現(xiàn),隨Dw的增加,系統(tǒng)的波失穩(wěn)程度逐漸增大,當(dāng)波失穩(wěn)達(dá)到一定程度時(shí),波速vg為正值,從而導(dǎo)致了系統(tǒng)斑圖屬性的改變.因此得出系統(tǒng)在臨界波失穩(wěn)附近時(shí)可形成反螺旋波和反靶波,而在遠(yuǎn)離波失穩(wěn)時(shí)易形成螺旋波和靶波.

圖8 系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)斑圖的影響 (a1),(b1)a變化時(shí)波空間尺度對(duì)比(a=1.95,2.05);(c1),(d1)b變化時(shí)波空間尺度對(duì)比(b=6.5,7.0);(a2),(b2)反螺旋波到螺旋波的轉(zhuǎn)變(Dw=6.0,19.0);(c2),(d2)反靶波到靶波的轉(zhuǎn)變(Dw=8.0,10.0))Fig.8.In fluence of system parameter variation on the pattern:(a1),(b1)Wave space scale changes induced by parameter a(a=1.95,2.05);(c1),(d1)wave space scale changes induced by parameter b(b=6.5,7.0);(a2),(b2)the transformation of antispiral to spiral induced by parameter Dw(Dw=6.0,19.0);(c2),(d2)the transformation of antitarget wave to target wave induced by parameter Dw(Dw=8.0,10.0).

4 結(jié) 論

本文利用三變量Brusselator擴(kuò)展模型對(duì)反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)中反螺旋波和反靶波進(jìn)行了數(shù)值研究,并與螺旋波的研究結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比,發(fā)現(xiàn)其形成機(jī)制和時(shí)空特性具有與螺旋波相同的特征,如失穩(wěn)特征、時(shí)空的周期性、波頭運(yùn)動(dòng)軌跡的多樣性等,同時(shí)還發(fā)現(xiàn)反螺旋波的波頭旋轉(zhuǎn)方向與波的走向相同這一點(diǎn)與螺旋波不同,考慮其原因是反螺旋波由外向內(nèi)傳播方式造成的.除霍普失穩(wěn)外,系統(tǒng)得到在超臨界波失穩(wěn)附近生成的多種反螺旋波.通過(guò)改變參數(shù)獲得了多種不同臂數(shù)的反螺旋波,發(fā)現(xiàn)隨臂數(shù)的增加,波頭的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)更為復(fù)雜,且波頭的旋轉(zhuǎn)周期隨臂數(shù)的增加逐漸增大.在一定的模擬條件下,由于受微擾及邊界條件因素的影響,多臂數(shù)的反螺旋波可以向臂數(shù)少的反螺旋波發(fā)生轉(zhuǎn)變,并可實(shí)現(xiàn)單臂反螺旋波到反靶波的轉(zhuǎn)化.通過(guò)研究系統(tǒng)參數(shù)對(duì)斑圖的影響發(fā)現(xiàn):控制參數(shù)a,b對(duì)反螺旋波與反靶波的空間尺度影響比較明顯,而與參數(shù)a,b持續(xù)增大造成波空間尺寸變化的效果相反;擴(kuò)散系數(shù)Dw的持續(xù)增加會(huì)造成波失穩(wěn)程度的增大,并導(dǎo)致波速符號(hào)發(fā)生變化,從而系統(tǒng)斑圖出現(xiàn)反螺旋波到螺旋波以及反靶波到靶波的轉(zhuǎn)變.本文的研究結(jié)果不僅豐富了反螺旋波的相關(guān)理論,對(duì)于深入研究反螺旋波和螺旋波的相互聯(lián)系也具有重要的借鑒作用.