例談圓錐曲線中最值與范圍問題的解決策略

趙存善

圓錐曲線中最值與范圍問題一直是高考中的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，其中有不少試題涉及到最值與范圍，對(duì)于這些問題，很多同學(xué)望而生畏，騎虎難下，深感困難重重，難以決策。這類問題，也并非無規(guī)可尋，下面通過幾個(gè)典型題目談?wù)劷鉀Q圓錐曲線中最值與范圍問題的策略。

題型一：最值問題

例1 已知P為拋物線y=上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上的射影為M，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0），則|PA|+|PM|的最小值是 。

[解析]如圖，拋物線y=，即x2=4y的焦點(diǎn)為F（0，1），記點(diǎn)P在拋物線的準(zhǔn)線l：y=-1上的投影為P′，

根據(jù)拋物線的定義知，|PP′|=|PF|，

則|PP′|+|PA|=|PF|+|PA|≥|AF|=

所以（|PA|+|PM|）min=（|PA|+|PP′|-1）min=。

[答案]

[講評(píng)]一看到本題，不少同學(xué)可能會(huì)依常理“出版”——構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，然而其最值很難求得，這也恰恰落入了命題者有意設(shè)置的“圈套”之中，事實(shí)上，與拋物線的焦點(diǎn)（或準(zhǔn)線）相關(guān)的最值問題，更多的是考慮數(shù)形結(jié)合，利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后再利用三點(diǎn)共線或三角形的三邊關(guān)系加以處理。

探究1 圓錐曲線中最值的求法有兩種：

（1）幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何體特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法。

（2）代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)，則可首先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，求函數(shù)最值的常用方法有配方法、判別式法、重要不等式法及函數(shù)的單調(diào)性法等。

題型二 范圍問題

例2（2012·天津）設(shè)橢圓（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P在橢圓上且異于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。

（1）若直線AP與BP的斜率之積為-，求橢圓的離心率；

（2）若|AP|=|OA| ，證明直線OP的斜率k滿足|k|>。

[解析]（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），由題意，有。

由A（-a，0），B（a，0），得kAP=

由kAP·kBP=-，可得，代入①并整理得。由于，

故 a2=2b2，于是，所以橢圓的離心率e=。

（2） 依題意，直線OP的方程為y=kx，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），

由條件得。

消去y0并整理得。

由|AP|=|OA|，A（-a，0）及y0=kx0，得（x0+a）2+。

整理得（1+k2）。而，于是，

代入②，整理得（1+k2）2=4k2（）2+4。由a>b>0，故（1+k2）2>4k2+4，即k2+1>4。因此k2>3，所以|k|>。

探究2 求參數(shù)范圍的常用方法有四種：

（1）函數(shù)法：用其他變量表示該參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)值域的方法求解。

（2）不等式法：根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等式，通過解不等式求參數(shù)的范圍。

（3）判別式法：建立關(guān)于某變量的一元二次方程，利用判別式Δ求參數(shù)范圍。

（4）數(shù)形結(jié)合法：研究該參數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想求解。