數(shù)學(xué)文化題編擬研究

李雋易

(蘇州市田家炳實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 215004)

數(shù)學(xué)文化對(duì)數(shù)學(xué)教育的重要作用已經(jīng)成為了普遍共識(shí)．隨著各地高考和?？贾袧B透數(shù)學(xué)文化的試題日益增多，關(guān)于數(shù)學(xué)文化題的研究也逐漸興起．然而目前的研究主要著眼于中、高考數(shù)學(xué)文化題的意義與分類(lèi)，賞析與評(píng)價(jià)，對(duì)如何編擬數(shù)學(xué)文化題缺乏系統(tǒng)研究．本文致力于探討編擬數(shù)學(xué)文化題的一般方法，為教師編寫(xiě)數(shù)學(xué)文化題提供參考.

1 數(shù)學(xué)文化題的含義

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出，數(shù)學(xué)文化是指“數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學(xué)在人類(lèi)生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)”[1]．簡(jiǎn)而言之，數(shù)學(xué)文化主要包含數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)歷史、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)人文活動(dòng)等方面．而數(shù)學(xué)文化題就是融入數(shù)學(xué)文化的題目，這種融入可以是顯性的，也可以是隱性的.

2 數(shù)學(xué)文化題的分類(lèi)

在目前的研究中，數(shù)學(xué)文化題的分類(lèi)主要依據(jù)題目中數(shù)學(xué)文化的取材．并且這種分類(lèi)還未達(dá)成共識(shí). 在分析現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，本研究從題目編擬的需要出發(fā)，將數(shù)學(xué)文化題的取材分為兩類(lèi)(見(jiàn)圖1)．一類(lèi)是取材于數(shù)學(xué)名題，其中包括數(shù)學(xué)名著中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，例如“百雞問(wèn)題”、“米谷粒分”問(wèn)題等；以及數(shù)學(xué)歷史中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，例如角谷猜想、米勒問(wèn)題等．另一類(lèi)是取材于文化事物，其中包括文化符號(hào)(例如洛書(shū)、弦圖、太極圖)、文化物品(例如牟合方蓋、魯班鎖、趙州橋)、文化事件(例如田忌賽馬、“嫦娥一號(hào)”發(fā)射成功)等等．

圖1 數(shù)學(xué)文化題取材分類(lèi)

3 數(shù)學(xué)文化題的編擬

以下就從“源自數(shù)學(xué)名題”和“源自文化事物”兩類(lèi)數(shù)學(xué)文化題的編擬進(jìn)行探討.

3.1 源自數(shù)學(xué)名題的數(shù)學(xué)文化題的編擬

源自數(shù)學(xué)名題的數(shù)學(xué)文化題，最大的特征在于其具有數(shù)學(xué)問(wèn)題的原型．因此，這類(lèi)問(wèn)題的編擬，應(yīng)著眼于對(duì)原型問(wèn)題的借鑒與改造．陳莎莎、汪曉勤[2]將基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)提問(wèn)策略分為七類(lèi)，即再現(xiàn)式、情境式、條件式、結(jié)論式、對(duì)稱(chēng)式、鏈接式、自由式．整合這些提問(wèn)策略，本文總結(jié)出了源自數(shù)學(xué)名題的數(shù)學(xué)文化題編擬的幾種方法(見(jiàn)圖2).

圖2 源自數(shù)學(xué)名題的數(shù)學(xué)文化題編擬方法

3.1.1 再現(xiàn)數(shù)學(xué)名題

例1《張丘建算經(jīng)》中有如下問(wèn)題：“今有女不善織，日減功遲．初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖，問(wèn)織幾何？”其意思為：“有位織女不善織布，每天織布量等額減少，工期不斷推后．第一天織布5尺，最后一天織布1尺，如今花了30天全部織完，問(wèn)一共織了多少尺布？”該問(wèn)題的答案是 .

例2下面程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a,b分別為14, 18，則輸出的a的值為 .

分析例1取自《張丘建算經(jīng)》中的原題，僅僅只是對(duì)文言文進(jìn)行了語(yǔ)言翻譯，使學(xué)生能夠感受“原汁原味”的數(shù)學(xué)名題．例2運(yùn)用算法流程圖表示“更相減損術(shù)”，將古代思想用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表征，使其思想內(nèi)涵得到了更為直觀的體現(xiàn)．可見(jiàn)這類(lèi)數(shù)學(xué)題，不論是直接使用原型問(wèn)題，還是對(duì)原型問(wèn)題的外部表征進(jìn)行加工和改造，都再現(xiàn)了這些數(shù)學(xué)名題．這既有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)文化，又未對(duì)學(xué)生加設(shè)閱讀理解障礙，不影響對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用的考查.

3.1.2 改編條件或目標(biāo)

例3(1) 有位織女不善織布，第二天起每天織布比前一天減少0.1尺．第一天織布4尺，最后一天織布1尺，則一共織了 尺布.

(2) 有位織女不善織布，每天織布量等額減少．第一天織布5尺，最后一天織布1尺，如今花了30天全部織完，則第二天起每天織布比前一天減少 尺.

(3) 有位織女非常擅長(zhǎng)織布，每天織布量等額增加．第一天織布5尺，如今30天總共織了9匹3丈．問(wèn)最后一天織布 尺？(1匹=10丈，1丈=10尺)

(4) 有位織女每天織布量等額增加．現(xiàn)在只知道她第5天織布1丈3尺，第9天織布2丈1尺，總共織布4匹8丈，問(wèn)一共織了 天？(1匹=10丈，1丈=10尺)

分析例3是對(duì)例1《張丘建算經(jīng)》中“織女織布”問(wèn)題的改編．可以看出，這類(lèi)題目圍繞所要考查的知識(shí)點(diǎn)，在原型問(wèn)題的基礎(chǔ)上對(duì)問(wèn)題的已知條件或所求目標(biāo)進(jìn)行改編．有的僅改編題目條件，有的僅改編所求目標(biāo)，有的互換(或輪換)題目的條件與目標(biāo)，有的同時(shí)改編題目的條件與目標(biāo)，等等.

3.1.3 結(jié)論或方法遷移

例4我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出體積的計(jì)算原理(祖暅原理)：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.“勢(shì)”即是高，“冪”是面積．意思是：如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.類(lèi)比祖暅原理，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，圖3是一個(gè)形狀不規(guī)則的封閉圖形，圖4是一個(gè)上底為1的梯形，且當(dāng)實(shí)數(shù)t取[0,3]上的任意值時(shí)，直線y=t被圖3和圖4所截得的兩線段長(zhǎng)始終相等，則圖3的面積為 .

圖3 圖4

分析例4考查對(duì)“祖暅原理”的遷移運(yùn)用．可以看出，這類(lèi)題目以原型問(wèn)題的解決方法或者研究結(jié)論作為條件，引導(dǎo)學(xué)生從原型問(wèn)題中提取所需的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法，進(jìn)而解決新問(wèn)題，旨在考查學(xué)生的遷移能力．可以看出在前兩種編擬題目的方法(即再現(xiàn)數(shù)學(xué)名題、改編條件或目標(biāo))中，數(shù)學(xué)文化的背景其實(shí)都不是必須的，刪除了這些數(shù)學(xué)文化背景，學(xué)生可以照常做題，數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)題的方式既可以是顯性的也可以是隱性的．但是在這三種編題方法中，原型問(wèn)題成為了學(xué)生不可或缺的重要借鑒對(duì)象，因此數(shù)學(xué)文化得以必然而又自然地以顯性的方式融入了數(shù)學(xué)題中.

3.2 源自文化事物的數(shù)學(xué)文化題的編擬

源自文化事物的數(shù)學(xué)文化題，最大的特征在于其具有運(yùn)用數(shù)學(xué)進(jìn)行研究的對(duì)象．因此，這類(lèi)問(wèn)題的編擬應(yīng)著眼于對(duì)研究對(duì)象的考察．學(xué)生將在問(wèn)題解決的過(guò)程中，通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，深刻了解所研究的對(duì)象.

以下將結(jié)合具體案例，分析源自文化事物的數(shù)學(xué)文化題.

3.2.1 源自文化符號(hào)的數(shù)學(xué)文化題的編擬

例52002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開(kāi)，會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的．弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖5).

(1)如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，那么cos2θ= .

(2) 若直角三角形中較小的銳角為30°，現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一枚飛鏢，飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是 .

(3) 若“弦圖”中直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a和b，在從圖5變化到圖6的過(guò)程中，可以提煉出的一個(gè)關(guān)系式為 ．(填序號(hào))

①a>b；

②a+b>2；

③a2+b2≥2ab；

圖5 圖6

分析例5以“弦圖”為研究對(duì)象，通過(guò)合理設(shè)問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生考察圖形的靜態(tài)性質(zhì)與動(dòng)態(tài)性質(zhì)，并引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)弦圖所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想．這其中涉及倍角公式、幾何概型、基本不等式等多個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)點(diǎn).

3.2.2 源自文化物品的數(shù)學(xué)文化題的編擬

例6魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國(guó)古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱(chēng)，六根等長(zhǎng)的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來(lái)．若正四棱柱的高為5，底面正方形的邊長(zhǎng)為1.

(1) 現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為 ．(容器壁的厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留π)

(2) 已知單位面積油漆費(fèi)用為10元，現(xiàn)要給魯班鎖上漆，則油漆費(fèi)用為 元.

分析例6以“魯班鎖”為研究對(duì)象，通過(guò)設(shè)問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)幾何知識(shí)考察魯班鎖這一新幾何體的幾何性質(zhì)．這其中涉及幾何體的對(duì)稱(chēng)性、球的表面積運(yùn)算、棱柱的對(duì)角線、表面積運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn).

3.2.3 源自文化事件的數(shù)學(xué)文化題的編擬

例7“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心F為左焦點(diǎn)的橢圓，測(cè)得近地點(diǎn)A距離地面m千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面n千米，地球的半徑為R千米，關(guān)于橢圓以下3種說(shuō)法正確的是 ．(填序號(hào))

①焦距為(n-m)千米；

例8如圖所示，“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以F為圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，給出下列式子：

①a1+c1=a2+c2；

②a1-c1=a2-c2；

③c1a2>a1c2；

其中正確式子的序號(hào)是 .

分析例7和例8以“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星發(fā)射事件為研究對(duì)象，考察不同情形中衛(wèi)星運(yùn)行軌道的數(shù)學(xué)性質(zhì)，其中涉及橢圓焦距、軸長(zhǎng)、離心率等知識(shí)點(diǎn).

由上述分析可以看出，這類(lèi)題目針對(duì)研究對(duì)象，從各個(gè)不同的知識(shí)點(diǎn)、不同的設(shè)問(wèn)角度，提出研究問(wèn)題．其目的是以文化事物為研究對(duì)象，考查學(xué)生聯(lián)系所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想研究問(wèn)題的能力，也促使學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，對(duì)該文化事物有著更深刻的理解．在這里文化要素必然地已顯性的方式融入數(shù)學(xué)題中.

4 總結(jié)與展望

本文在整理現(xiàn)有“數(shù)學(xué)文化題”及分析現(xiàn)有“數(shù)學(xué)文化題研究”的基礎(chǔ)上，提出了基于題目編擬的數(shù)學(xué)文化題分類(lèi)方法，即分為“源自數(shù)學(xué)名題的數(shù)學(xué)文化題”以及“源自文化事物的數(shù)學(xué)文化題”．并在此基礎(chǔ)上，給出了編擬數(shù)學(xué)文化題的幾種方法．其中，針對(duì)“源自數(shù)學(xué)名題的數(shù)學(xué)文化題”的編擬，主要著眼于原型問(wèn)題的借鑒與改編，主要方法有再現(xiàn)數(shù)學(xué)名題、改編條件或目標(biāo)、結(jié)論或方法遷移；針對(duì)“源自文化事物的數(shù)學(xué)文化題”的編擬，主要著眼于對(duì)文化要素的數(shù)學(xué)考察，主要方法為針對(duì)研究對(duì)象從各個(gè)不同的知識(shí)點(diǎn)、不同的設(shè)問(wèn)角度提出研究問(wèn)題.

這些研究可為教師編寫(xiě)數(shù)學(xué)文化題提供借鑒，也可為教科書(shū)例習(xí)題的編寫(xiě)、高考題的命制提供參考.

盡管如此，數(shù)學(xué)文化題編擬的研究仍存在一些有待改進(jìn)的地方.

(1) 數(shù)學(xué)文化題能否與數(shù)學(xué)開(kāi)放題相結(jié)合？

我國(guó)數(shù)學(xué)開(kāi)放題歷經(jīng)30多年的研究，有著豐富的研究成果．?dāng)?shù)學(xué)探究題在發(fā)展學(xué)生探究能力方面又有著獨(dú)到的作用．那么能不能將其與數(shù)學(xué)文化題有機(jī)結(jié)合呢？在數(shù)學(xué)文化或人文要素的背景下進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，促使學(xué)生更好的體會(huì)數(shù)學(xué)人文精神和理性精神的和諧共存.

(2) 數(shù)學(xué)文化題將會(huì)對(duì)教與學(xué)產(chǎn)生什么影響

由上文可以看出，當(dāng)數(shù)學(xué)文化以顯性的方式融入數(shù)學(xué)題時(shí)會(huì)有很多冗余信息，這些冗余信息勢(shì)必會(huì)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響．考察與之類(lèi)似的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，研究表明，數(shù)學(xué)應(yīng)用題的外部表征方式(裝飾圖、信息圖、文字描述)將影響學(xué)生問(wèn)題解決的水平[3]．其中，題目文字表述的語(yǔ)量、語(yǔ)境等指標(biāo)將影響學(xué)生解決問(wèn)題的時(shí)間與效果[4]．那么，與數(shù)學(xué)應(yīng)用題一樣，具有較多冗余信息的數(shù)學(xué)文化題，其外部表征方式是否會(huì)對(duì)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的水平產(chǎn)生影響呢？教師的教學(xué)又需要做出哪些對(duì)應(yīng)的調(diào)整呢？而這一系列的影響勢(shì)必又會(huì)反過(guò)來(lái)促進(jìn)數(shù)學(xué)文化題編擬的研究.