意料之外 情理之中
——由一道調(diào)研題命題與測(cè)試結(jié)果引發(fā)的思考

☉上海市嶺南中學(xué) 劉華為

☉上海市靜安區(qū)教育學(xué)院 程 慧

每學(xué)年末，靜安區(qū)都要對(duì)八年級(jí)進(jìn)行一次全區(qū)質(zhì)量調(diào)研，主要意義有二：一方面，對(duì)初中前三年（六、七、八年級(jí)）綜合教學(xué)效果進(jìn)行評(píng)估；另一方面，為九年級(jí)教學(xué)提供必要的數(shù)據(jù)分析與指導(dǎo)策略.因此，命題的基本原則是“注重基礎(chǔ)知識(shí)考查的同時(shí)兼顧引導(dǎo)教師強(qiáng)化對(duì)學(xué)生發(fā)展性學(xué)力的培養(yǎng)”，即所有考題均以課本知識(shí)點(diǎn)和例（習(xí)）題為背景，大膽進(jìn)行改編與重組，既重視對(duì)“核心概念”“基本思想”“通性通法”的理解與運(yùn)用，又突出對(duì)“知識(shí)生成過(guò)程”“解題思維過(guò)程”“能力形成過(guò)程”等學(xué)習(xí)過(guò)程的呈現(xiàn)與發(fā)展，以引導(dǎo)教師摒棄題海戰(zhàn)術(shù)，步入培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展性學(xué)力的教學(xué)正軌.下面筆者由靜安區(qū)2017學(xué)年度期末質(zhì)量調(diào)研壓軸題的命制過(guò)程和測(cè)試結(jié)果引發(fā)的思考談幾點(diǎn)拙見(jiàn)，不當(dāng)之處，歡迎廣大同仁指正.

一、命題過(guò)程

1.命題立意

主要想以八年級(jí)教材中“平行四邊形”一章的某道或幾道例（習(xí)）題為素材，以圖形運(yùn)動(dòng)為載體，通過(guò)改編與整合，形成一道集函數(shù)與圖形存在性問(wèn)題于一體的幾何綜合題，著重檢測(cè)“方程思想”“函數(shù)思想”“數(shù)形結(jié)合思想”，突出考查“閱讀能力”“轉(zhuǎn)化能力”“探究能力”“創(chuàng)新能力”.

2.試題改編

原題：已知：如圖1，EF是?ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線，EF與邊AD、BC分別交于點(diǎn)E、F.

求證：四邊形AFCE是菱形.

這是滬教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第86頁(yè)例5，雖然難度不大，但涵蓋的基本圖形豐富，知識(shí)點(diǎn)覆蓋度高，可塑性強(qiáng)，是一道可改編的好題.第一感覺(jué)是讓點(diǎn)O動(dòng)起來(lái)且EF與AC依然保持垂直，但考慮到E、F點(diǎn)需分別在邊AD、BC上，所以增加條件∠BAC=90°.另外，為了求值計(jì)算，再賦予邊AB、BC具體數(shù)值，于是得第一稿.

第一稿：如圖2，在?ABCD中，AB=6，BC=10，∠BAC=90°，O為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)O且垂直AC，分別交邊AD、BC于點(diǎn)E、F，連接AF、CE.

圖1

圖2

（1）試問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)O位于AC的何位置時(shí)，四邊形AFCE為菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）設(shè)AO=x，BF=y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍.

（3）在點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使△ABF為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出CO的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

說(shuō)明：對(duì)于第（1）題，學(xué)生根據(jù)菱形對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)易知，當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AFCE為菱形，證明也是手到擒來(lái).

第（2）題對(duì)于八年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，只能用勾股定理構(gòu)造含三個(gè)變量的兩個(gè)方程消元來(lái)解，有一定的難度，不易得分.在Rt△COF和Rt△AOF中，由勾股定理得OF2=（10-y）2-（8-x）2和 （6-OF）2+x2=y2，兩式相減得OF=，代入第二個(gè)式子整理得y=x.可見(jiàn)此解法不僅計(jì)算量大，消元技巧性強(qiáng)，而且九年級(jí)學(xué)過(guò)平行線分線段成比例定理后，由可簡(jiǎn)便而得，故放在八年級(jí)檢測(cè)有化易為難之嫌，有違“注重通性通法考查”的命題原則.

第（3）題顯然需分三種情況討論.若BF=AB=6，則由（2）得AO=，則CO=.若AF=BF，易證BF=BC=5，則AO=4，所以CO=4.若AF=AB=6，過(guò)A作AM⊥BC于M，由Rt△ABC的面積可求得斜邊上的高AM=，進(jìn)而得BF=2BM=，則AO=，故CO=.雖然本小題對(duì)學(xué)生 來(lái)說(shuō)比較容易入手，但其求解對(duì)第（2）題的依賴(lài)性較強(qiáng)，第（2）題一旦“失手”，則第（3）題必然一分不得，對(duì)得分率影響較大.若改為“直接寫(xiě)出BF或CF的值”，則又與第（2）題沒(méi)有任何關(guān)聯(lián)，無(wú)法體現(xiàn)層層遞進(jìn)的問(wèn)題設(shè)置，考查價(jià)值也大打折扣.

另外，本設(shè)計(jì)太過(guò)“常規(guī)”，缺乏創(chuàng)新味，容易陷入師生題海訓(xùn)練的“套路”中，引發(fā)負(fù)面導(dǎo)向，所以只好放棄.既然讓點(diǎn)動(dòng)起來(lái)過(guò)于普通，那就不妨讓形動(dòng)起來(lái).方案一：讓?ABCD動(dòng)起來(lái)，即通過(guò)∠ABC大小的變化改變?ABCD的形狀，再針對(duì)特殊角度時(shí)的特殊平行四邊形（矩形、菱形和正方形）設(shè)置問(wèn)題，但注意到角度作為變量構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式超出了學(xué)生的認(rèn)知范圍，所以放棄.方案二：保持?ABCD的基本形狀不變，讓邊長(zhǎng)動(dòng)起來(lái)，再提出類(lèi)似第一稿的三個(gè)問(wèn)題.如此設(shè)計(jì)不僅創(chuàng)新味兒濃，而且還可走出師生訓(xùn)練的老套路，對(duì)課堂教學(xué)發(fā)揮積極的導(dǎo)向作用.考慮到計(jì)算方便，最終把平行四邊形定位為矩形，其中一邊長(zhǎng)為定值，另一邊長(zhǎng)可變，讓學(xué)生在一動(dòng)一靜中感受數(shù)學(xué)之美.

第二稿：如圖3，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF⊥AC，分別交射線AD與射線CB于點(diǎn)E和點(diǎn)F，連接CE、AF.

（1）求證：四邊形AFCE是菱形；

（2）如果AB=1，設(shè)AD=x，菱形AFCE的面積是y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；

（3）如果△OBF是等腰三角形，且AB=a（a為已知常量，a＞0），求BC的長(zhǎng)度（用含a的代數(shù)式表示）.

說(shuō)明：把第一稿中第（2）題的求線段長(zhǎng)函數(shù)關(guān)系式改為求菱形AFCE的面積函數(shù)關(guān)系式，除了突出與第（1）題的遞進(jìn)關(guān)系，主要還是想引導(dǎo)教師在平時(shí)教學(xué)中加強(qiáng)對(duì)建立圖形面積類(lèi)函數(shù)關(guān)系式問(wèn)題的關(guān)注，全面提升學(xué)生處理函數(shù)類(lèi)問(wèn)題的能力.由于菱形AFCE的高AB=1，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為用含x的代數(shù)式表示底邊CF的長(zhǎng).在圖3中，注意到AF=CF，所以在Rt△ABF中，由勾股定理得（x-CF）2+12=CF2，解得CF=.當(dāng)點(diǎn)E、F分別在AD、CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，解法類(lèi)似但結(jié)果不變，所以x的取值范圍為一切正實(shí)數(shù).

圖3

之所以把第一稿中第（3）題的△ABF改為△OBF，是因?yàn)椤螦BF為直角.若仍以△ABF為等腰三角形存在性問(wèn)題的考查對(duì)象，則只有BA=BF一種情形（雖然還需分點(diǎn)E在邊AD或其延長(zhǎng)線上討論，但兩者的求法沒(méi)有本質(zhì)差異），結(jié)論太過(guò)顯性化，缺乏思維量.更麻煩的是，此時(shí)易知Rt△ABC的銳角∠ACB=22.5°，當(dāng)邊AB給定后，AC和BC也為定值，但又不易求解，難以設(shè)置問(wèn)題.而連接對(duì)角線BD，以△OBF為考查對(duì)象，則可柳暗花明.雖然也只有FO=FB一種情形（由∠CFO為銳角知∠BFO為鈍角），但需經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)挠^察分析，具有較強(qiáng)的隱蔽性.更有趣的是，此時(shí)由∠CFO=2∠FBO=2∠OCB可知∠ACB=30°，所以當(dāng)AB=a時(shí)，易求得BC=a，且求解過(guò)程需要學(xué)生具備一定的分析能力與智慧.另外，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在AD、CB的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖4），易知∠OBC（小于直角∠ABC）為銳角，所以只能BO=BF，故∠OCB=∠OBC=2∠BFO，可得∠ACB=60°，則BC=a.當(dāng)然，兩種情形下均可分FO=FB、BO=BF和OF=OB三種情況討論，不僅計(jì)算量驚人，而且要舍去兩解，從某種程度上也會(huì)倒逼考生求變，尋求更優(yōu)化的解法.總之，如此設(shè)計(jì)，可巧妙地避免教師“等三等（即等腰三角形存在性問(wèn)題按三邊兩兩相等分三種情況討論）”的僵化教學(xué)模式，對(duì)引導(dǎo)教師培養(yǎng)學(xué)生思維的優(yōu)化能力大有裨益.

圖4

斟酌再三，考慮到八年級(jí)學(xué)生對(duì)用字母表示線段長(zhǎng)度的心理障礙，減少分類(lèi)討論情形和計(jì)算量，增加思維量，筆者又把第二稿做適當(dāng)調(diào)整.

第三稿：如圖3，在矩形ABCD中，AB=1，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF⊥AC，分別交射線AD與射線CB于點(diǎn)E和點(diǎn)F，連接CE、AF.

（1）求證：四邊形AFCE是菱形；

（2）當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊AD和BC上時(shí)，如果設(shè)AD=x，菱形AFCE的面積是y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；

（3）如果△ODE是等腰三角形，求AD的長(zhǎng)度.

說(shuō)明：把AB的長(zhǎng)度由抽象字母a改為具體數(shù)值1，在計(jì)算的可行性上無(wú)疑讓學(xué)生吃了個(gè)定心丸，極大地降低了解題難度.第（2）題增加條件“點(diǎn)E、F分別在邊AD和BC上”，目的在于減少分類(lèi)討論的情形，避免學(xué)生在形式上做低效的重復(fù)操作，同時(shí)讓求x的取值范圍生動(dòng)起來(lái).第（3）題把△OBF與BC分別用△ODE與AD調(diào)換，主要是考慮讀圖的直觀感受，便于學(xué)生觀察出∠AEO為銳角和△ABD為含30°的特殊直角三角形，從而減少分類(lèi)討論情形，更有利于求出AD的值，可謂用心良苦.

二、結(jié)果分析

雖然命題時(shí)為突出考查能力和提高得分率，筆者可謂“費(fèi)盡心思”，但從測(cè)試結(jié)果來(lái)看，卻不盡如人意，三小題的得分率分別為0.7、0.17和0.12，與預(yù)期的0.9、0.6和0.3皆有一定的差距.

事實(shí)上，第（1）題運(yùn)用菱形常見(jiàn)的三種判定方法（一組鄰邊相等的平行四邊形、四條邊相等的四邊形和對(duì)角線互相垂直平分的四邊形）皆可證明，關(guān)鍵是要證明△AOE △COF.但從閱卷結(jié)果來(lái)看，有些學(xué)生根據(jù)中垂線的性質(zhì)得出AE=CE和AF=CF后，想借助證明△AOE△AOF得四條邊相等，導(dǎo)致思路受阻；甚至有不少學(xué)生已經(jīng)證出△AOE △COF，卻不知道用“對(duì)角線互相垂直平分”來(lái)直接判定.這固然有學(xué)生臨場(chǎng)發(fā)揮不佳的原因，但也隱約折射出教師在例題講解時(shí)挖掘不到位，沒(méi)有引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三種方法進(jìn)行大膽嘗試與優(yōu)化選擇，就題論題的習(xí)題教學(xué)行為或許普遍存在，值得反思.

第（2）題求菱形面積的思路特別顯性，就是求底邊CF的值，但不少學(xué)生雖深諳其道卻又受困于此，不知道CF一定要用含x的代數(shù)式表示，方能求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.從答卷信息和考后調(diào)研結(jié)果來(lái)看，大部分學(xué)生要么不知利用菱形的性質(zhì)（即AF=CF）把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到Rt△ABF中利用勾股定理尋求CF與x的關(guān)系式，要么設(shè)CF=t機(jī)械地列出方程（x-t）2+12=t2后卻又不知下一步要干什么，甚至想尋求關(guān)于x、t的第二個(gè)方程，再聯(lián)立解方程組求出x與t的值.由此可見(jiàn)，學(xué)生平時(shí)做題并沒(méi)有養(yǎng)成目標(biāo)分析與轉(zhuǎn)化的良好習(xí)慣，不知要做什么（目標(biāo)是什么）和怎么做（如何轉(zhuǎn)化），只知“死做題”和“做死題”.

至于第（3）題，絕大部分能得分的學(xué)生基本上是依賴(lài)按三邊兩兩相等分類(lèi)討論的解題套路得了些步驟分，能觀察到∠OED（如圖3）或∠ODE（如圖4）為鈍角從而避免分類(lèi)討論者寥寥無(wú)幾，更不用說(shuō)利用等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)推出△ABD是含30°角的特殊直角三角形并求出AD的長(zhǎng)了.當(dāng)然，按三邊兩兩相等分類(lèi)討論并沒(méi)有錯(cuò)，也是處理等腰三角形存在性問(wèn)題的基本策略，只不過(guò)等腰三角形并非只有“兩腰相等”這一性質(zhì)可用，還有“兩底角相等”和“三線合一”的性質(zhì)賴(lài)以轉(zhuǎn)化，適當(dāng)挖掘題目隱性條件減少分類(lèi)討論的情形并靈活運(yùn)用三個(gè)性質(zhì)適時(shí)轉(zhuǎn)化，才是處理等腰三角形存在性問(wèn)題的上策.

三、教研啟示

總體來(lái)說(shuō)，本測(cè)試題難度并不大，但測(cè)試結(jié)果遠(yuǎn)遠(yuǎn)出乎意料之外，細(xì)細(xì)想來(lái)也在情理之中，筆者“讓形動(dòng)起來(lái)”“利用兩角相等轉(zhuǎn)化”“挖掘含特殊角的直角三角形求線段長(zhǎng)”也遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出教師的意料之外，更擊中習(xí)題教學(xué)“靠題量練套路”的軟肋，結(jié)果可想而知.為此，筆者也不斷反思：如何借用區(qū)教研活動(dòng)平臺(tái)全面提升教師習(xí)題教學(xué)水平呢？

1.開(kāi)展研討活動(dòng)是強(qiáng)化教師重視教材例、習(xí)題開(kāi)發(fā)的重要抓手

雖然每次教研活動(dòng)中，筆者總提醒教師要重視課本例、習(xí)題的開(kāi)發(fā)，杜絕題海戰(zhàn)術(shù)；每次命題也都以課本例、習(xí)題為母題進(jìn)行重新包裝設(shè)計(jì)與改編，以引導(dǎo)教師加強(qiáng)對(duì)課本例、習(xí)題的研討，但從歷次測(cè)試效果來(lái)看，僅僅依賴(lài)“說(shuō)”與“引”還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，關(guān)鍵是要落實(shí)在“行”上.首先，要把每次有價(jià)值的命題心得與數(shù)據(jù)分析像本文一樣撰寫(xiě)成文供大家參考，同時(shí)要求教師針對(duì)考卷中某一具體題目從教學(xué)角度撰寫(xiě)得與失，并把優(yōu)秀案例集結(jié)成冊(cè)，相互學(xué)習(xí)共同提高.其次，邀請(qǐng)區(qū)域內(nèi)專(zhuān)家和優(yōu)秀教師開(kāi)展編題技巧講座與經(jīng)驗(yàn)介紹，提升教師編題水平.最后，從“怎樣教”和“怎樣編”兩方面入手，開(kāi)展課本例、習(xí)題說(shuō)題比賽，掀起區(qū)域內(nèi)教師對(duì)課本例、習(xí)題研發(fā)的高潮.

2.強(qiáng)化學(xué)法指導(dǎo)是提升教師習(xí)題教學(xué)水平和學(xué)生解題能力的重要推手

毋庸諱言，學(xué)生測(cè)試結(jié)果往往是教師教學(xué)水平的具體反映，學(xué)生答題存在問(wèn)題，說(shuō)明教師的教學(xué)存在改進(jìn)之處.據(jù)每次到各校調(diào)研可知，教師習(xí)題教學(xué)大都采用“就題論題”常規(guī)模式，只教“怎樣做”，很少教“為什么這樣做”，嚴(yán)重缺乏學(xué)法指導(dǎo).一提學(xué)法指導(dǎo)，教師總把它與傳授解題技巧等同起來(lái)，其實(shí)不然.就習(xí)題教學(xué)而言，講清解題思路的生成過(guò)程，教會(huì)學(xué)生“怎樣想”顯得更為重要.其實(shí)所有數(shù)學(xué)問(wèn)題都是運(yùn)用所學(xué)過(guò)的知識(shí)處理的，等腰三角形存在性問(wèn)題也不例外.教學(xué)中若能通過(guò)適當(dāng)例題，借助知識(shí)溯源讓學(xué)生知曉處理此類(lèi)問(wèn)題有“兩邊相等”“兩角相等”“三線合一”三大轉(zhuǎn)化法寶，并結(jié)合條件和所求目標(biāo)靈活處理，那么在這次質(zhì)量監(jiān)測(cè)中，學(xué)生就不會(huì)束手無(wú)策，或一條道走到黑而死抱“按邊分類(lèi)討論”不放了.其實(shí)，習(xí)題教學(xué)若能做到三個(gè)“堅(jiān)持”：堅(jiān)持以知識(shí)溯源為思路引領(lǐng)，明確思考方向；堅(jiān)持以“教會(huì)學(xué)生怎么想”為能力抓手，強(qiáng)化學(xué)法指導(dǎo)；堅(jiān)持以“同一類(lèi)型還可怎么做”為拓展方向，力求“以題會(huì)類(lèi)”，著重培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能力和解決同類(lèi)問(wèn)題的類(lèi)化能力，那么學(xué)生在處理新問(wèn)題時(shí)就會(huì)得心應(yīng)手了.

毫無(wú)疑問(wèn)，從考查內(nèi)容與能力導(dǎo)向來(lái)看，本題不存在任何問(wèn)題，雖然由于筆者出乎教師意料之外的創(chuàng)新設(shè)計(jì)影響了得分率，但這恰恰彰顯了本題的價(jià)值之所在，也必將引領(lǐng)教師進(jìn)一步走出“死練套路”的僵化習(xí)題教學(xué)模式，轉(zhuǎn)而更加注重思路生成過(guò)程的方法指導(dǎo)，即教學(xué)生“怎樣想”，而不僅僅教“怎樣做”.