探究式復習：提升數(shù)學核心素養(yǎng)的有效方法*

☉內江師范學院數(shù)學與信息科學學院 李紅霞

☉四 川 省 資 中 二 中 劉之兵

復習教學是很重要的教學工作，包括專題復習、章末復習、期中復習、期末復習、中考復習等.如何組織學生復習，如何通過復習提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，這是老師們非常關心的問題.常態(tài)化的復習教學是，讓學生反復做以前做過的題目.人們把常態(tài)化的復習教學戲稱為“老歌重唱”，這對數(shù)學核心素養(yǎng)的提升并非有利.事實上，技能訓練應當適當?shù)胤磸途毩暎珨?shù)學核心素養(yǎng)的提升僅靠反復練習是遠遠不夠的，必須把數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)植根于思維訓練（培養(yǎng)）和數(shù)學探究活動之中.因此，為提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，提高數(shù)學復習教學質量，我們提出“探究式復習”.探究式復習指把數(shù)學探究教學的理念和方法用于復習課之中.也就是說，用數(shù)學探究的方式進行復習教學.探究式復習是在夯實數(shù)學“雙基”的前提下，精選富含數(shù)學思維價值的典型問題，通過對典型問題進行多角度地審視與探究，使學生能夠獲得有序化、層次化和系統(tǒng)化地解決問題的經(jīng)驗，通過生成式的探究教學，達到使學生鞏固“雙基”、感悟思想、獲得經(jīng)驗的目的.

一、探究式復習教學設計策略

好的教學設計對于一節(jié)課的教學效果是基礎性的、本質性的，探究式復習教學設計更是如此，需要以數(shù)學探究的教學理念作為支撐，需要對教材內容的嫻熟把握和具備熟練的教學設計技能，更需要科學的設計策略.

1.選好題目

選擇好的數(shù)學問題是探究式復習的基礎工程，什么是好的數(shù)學問題呢？“類比教科書中的公理、定理、性質和判定，至少應當滿足以下幾個條件：（1）基礎性，就是它與學生學習的知識緊密聯(lián)系，能為學生的后繼學習起到良好的奠基作用；（2）簡潔性，這也應當是很重要的一條，具有簡單、和諧、統(tǒng)一特征的結論，給人以美感，容易被人接受，當然也容易記憶；（3）應用性，就數(shù)學內部而言，用它能解決較多的相關問題，就數(shù)學外部而言，能解決一些實際問題或運用到其他學科”［1］.

另外，作為探究式復習教學的問題，應當滿足以下幾點：（1）題目具有生長空間，也就是問題本身是數(shù)學知識聚集的一個結構模塊，具有廣泛的聯(lián)系性；（2）題目涉及的知識和解決能力相對于學生的認知基礎和思維水平來說比較適中，具有教學的可能性和良好的育人價值.

2.系統(tǒng)思考

對選定的題目一定要做系統(tǒng)的思考.“系統(tǒng)是處在一定相互聯(lián)系中、與環(huán)境發(fā)生關系的各個組成部分的整體，組成系統(tǒng)的各個單元、因子、部分，即為要素.視一道數(shù)學題為系統(tǒng)時，組成這道題的各個部分就是要素”［2］.因此系統(tǒng)地思考一道數(shù)學題應從以下幾方面入手.（1）分析、挖掘題目的組成要素.數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的學科，分析、挖掘題目中的數(shù)量及關系、幾何量及關系是分析題目的基本要素.我們在教學中經(jīng)常發(fā)現(xiàn)一些學生沒有分析、挖掘題目中要素的意識，更缺乏這方面的能力.（2）分析題目要素的結構組織形式.要素之間的結構組織形式聯(lián)系著相關的數(shù)學概念和原理（公理、定理、法則、運算律等），從而實現(xiàn)著各自的功能.（3）分析要素的多元表征.一是對概念進行多元表征.這種概念處在知識的交叉點上，能聯(lián)系不同的知識域，從而調動不同知識域的觀念、思想方法解決問題.二是對信息對象進行意義賦予.如已知數(shù)賦予未知數(shù)（字母）的意義，賦予字母取值的意義；字母賦予變量的意義；代數(shù)式賦予幾何的意義；代數(shù)式賦予方程、函數(shù)的意義；靜止幾何對象賦予動態(tài)的意義；線段的長賦予坐標系中兩點間距離的意義（到高中賦予向量模、復數(shù)模的意義）等.（4）對題目的解答進行深入分析.一是進行“一題多解、一題多探、一題多聯(lián)”分析，這就是探索題目的生長空間，這是發(fā)散式的思維方式.二是進行“多題歸一”分析，尋找不同解法、不同聯(lián)系的共性，這是聚合式的思維方式.

3.問題設計

一道數(shù)學題要衍生為一堂課，對題目進行系統(tǒng)思考只是教學素材的積累，必須依據(jù)本節(jié)課的教學目標、學生的認知水平和思維特點對教學內容進行取舍.主要做兩個方面的工作.一是問題分拆與組織.由于題目的組成要素與數(shù)學其他要素的結構組織形式的固有特點的不同，會形成不同的數(shù)學問題，再按照這些問題與學生已有數(shù)學認知結構的關聯(lián)程度排列成難度由低到高的順序.這樣我們就由一道數(shù)學題實現(xiàn)了由一到多、由無序到有序地組織教學內容.

這里很重要的工作是創(chuàng)設有價值的問題情境.有了有層級的數(shù)學教學內容，我們還需要設計一些具有教學組織價值的問題將離散的數(shù)學問題串聯(lián)起來.這就是有價值的問題情境.它是指能激發(fā)學生的學習興趣，調動學生積極主動地參與到探究數(shù)學知識的活動中來，在活動的過程中發(fā)現(xiàn)、掌握、理解數(shù)學知識的問題系列，其核心是引導學生通過問題系列深入數(shù)學學科的本質，超越對技巧性問題的過度追求，克服對數(shù)學概念表面理解的現(xiàn)象，其標志是具有啟發(fā)性、趣味性、適時適度適量和發(fā)展性.

4.重視預設與生成

在課堂教學中，雖然教學內容是事先確定的，但教學是生成的.教學關系形成于師生兩主體之間，依賴于二者而存在……主體的特質并非全部參與并通過教學關系暴露出來，不論是教師還是學生，都還有著內隱的內容未予外顯［3］.因此，作為非對稱關系的兩主體之一的教師，就擔當著對當下課堂教學呈現(xiàn)的內容的教學價值確定，潛在價值的內容現(xiàn)實化的引領和激發(fā)的責任.

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：教師要發(fā)揮主導作用，處理好講授與學生自主學習的關系，引導學生獨立思考、主動探索、合作交流.這就要求教師按照課程標準要求，深挖數(shù)學本質，采取有效措施，發(fā)揮主導作用，這里的教師主導是外在的，內在的是學生已有知識水平與教學要求之間的矛盾，規(guī)定著教學的可能性質與進程.

5.收放有度

在實際的探究式復習教學中容易出現(xiàn)的問題是：對教學內容的數(shù)學本質挖掘不夠，導致課堂上同樣的問題反復出現(xiàn)，浪費時間，或學生觸及數(shù)學問題本質而教師不自知；教學內容處理隨意性強，偏離教學目標，導致問題太難課堂無法繼續(xù)，或無價值問題占用課堂時間；教學手段與教學內容適切性欠缺等，導致教學效率不高，形成人為教學難點.

二、探究式復習教學設計案例

下面以2017年遵義市中考數(shù)學第18題為案例，設計了一節(jié)探究式復習課.

課題：一道中考填空題的探究——以2017年遵義市中考數(shù)學第18題為例.

課型：復習課.

教學目標：

（1）以反比例函數(shù)圖像上的點的幾何意義為基礎，經(jīng)歷改變動點位置提出問題，觀察、推理分析問題，反思、改進追究問題，探究直線與雙曲線相交模型中的面積關系、平行關系和等線段關系等.

（2）在探究直線與雙曲線相交模型過程中，達到復習面積計算、函數(shù)、平行四邊形、矩形、全等三角形、相似三角形等知識的目的，能類比探究過程中的方法完成變式圖形中相關結論的證明，能運用探究到的相關結論解決相關問題.

（3）通過探究式復習，體驗知識之間的廣泛聯(lián)系，感受探究的快樂，進一步激發(fā)學習興趣.

教學問題診斷分析：

（1）如圖4，當動點P從雙曲線上移動到雙曲線外側，探尋新矩形的面積與k的關系時，可能會出現(xiàn)割補法和比例計算法.

如果學生用割補法，需要過點A作AH⊥x軸于H，引導學生觀察矩形PMON與矩形AMOH的特點，得到矩形PMON的面積是矩形AMOH面積的倍.

（2）在圖5中，證明AE=BF時，有三種思路，一是利用三角形全等；二是利用三角形相似；三是利用平行四邊形.

由于每個學生的認知基礎和思維特點不一樣，我們要有耐心讓學生表達不同想法，引導學生優(yōu)化思維，得到優(yōu)美的解答.

（3）點P移動到雙曲線內側，圖形變化會很大，情況較多.

在學生嘗試畫出至少一種圖形后，我們用幾何畫板探究隨著點P位置的改變，圖形的變化情況，從而歸納為位置具有代表性的圖形.

教學支持條件分析：

本節(jié)課教學適用于初中三年級完成相似三角形教學后或初三復習，由于已經(jīng)學習一次函數(shù)、反比例函數(shù)（特別是反比例函數(shù)圖像上的點的幾何意義）、三角形全等、平行四邊形、三角形相似等知識，這些為這節(jié)課的教學提供了知識、方法基礎.根據(jù)本節(jié)課的教學內容和學生的特點，課上黑板和幾何畫板結合使用，這樣既能展示整個探究過程，將重點在黑板上凸顯、留存，又能節(jié)省課堂時間，提高教學效率.

教學過程設計：

1.考題觀察，引發(fā)思考

觀察下列題目，你的解答思路是什么？

設計說明：首先呈現(xiàn)這道題達到聚集學生的注意力，引發(fā)思考的作用.而題目有一定難度，不是一下子就可以解決的，從而形成一種心理期待，即這個問題該如何解決呢？從而提出本節(jié)課要探究的問題：探究直線與雙曲線相交模型.

2.回顧反思，提出問題

圖1

（1）如圖2，k=-2，S矩形PDOC=______；

（2）如圖3，S矩形PDOC=______.

圖2

圖3

設計說明：把反比例函數(shù)圖像上的點的幾何意義作為探究的起點，學生熟悉，容易進入狀態(tài).

3.積極思考，探究問題

（1）在圖3中，移動點P到反比例函數(shù)的圖像在第一象限的外側位置.

矩形PMON系呢？如果能，請寫出來，并證明.

設計說明：將靜止的點P“化靜為動”提出新問題，向學生示范了如何在沒問題的地方提出問題，潤物細無聲地滲透創(chuàng)新思維.當學生得出·k后，引導學生對稱地思考，直接得出·k，在這個過程中，學生會體驗到思維的快樂.

（2）續(xù)探1.

設計說明：由于學生通過相似三角形的學習對比例式已經(jīng)比較熟悉，當?shù)贸觥后，必將引發(fā)學生思考進一步可推出什么，這就有效地激活了學生原有的認知結構中相似三角形、平行線等知識，加強了不同知識板塊的聯(lián)系.

圖4

圖5

（3）續(xù)探2.

設計說明：AB∥MN表明的是AB與MN的位置關系，通過上面的問題引發(fā)學生從考慮位置關系轉向考慮相關線段數(shù)量關系或其他的圖形關系.事實上，學生能從圖5中觀察到AE=BF，?BEMN或?AMNF，△AME

△APB △FBN等，這個時候，教師向學生明確：請證明AE=BF，你有哪些方法？與同伴交流.這就起到了“放得開，收得攏”的作用.

（4）在圖5中，將點P移到反比例函數(shù)的圖像內側各象限位置.

下面我們用幾何畫板探究隨著點P位置的改變，圖形的變化情況，看一看你是否畫對了.

如圖6、7，PM⊥y軸于點M，交反比例函數(shù)的圖像于點A，PN⊥x軸于點N，交反比例函數(shù)的圖像于點B，直線AB交y軸于點E，交x軸于點F.結論：k，MN∥AB，AE=BF還成立嗎？請同學們課后探究.

圖6

圖7

設計說明：通過前面點P在雙曲線上和在雙曲線外側的探究，學生很自然地會想：點P在雙曲線內側又會怎么樣呢？學生就會帶著一種期待和激情去畫點P在雙曲線內側的情形，再一次將學生的思維“放開”.再通過教師幾何畫板的演示，又將學生的思維“收攏”，最終歸結為典型位置的代表圖形.

（4）舉例運用，享受成功.

利用本節(jié)課探究的結論示例解答開課展示的2017年遵義市中考數(shù)學第18題.

過程略.

設計說明：直線與雙曲線相交模型中的BE=AF，結論簡單，形式優(yōu)美，便于記憶，利用它解決問題起到了化繁為簡的作用.當然，如有時間，也可引導學生引入?yún)?shù)再求出點F的坐標表達式，從而求出直線EF的函數(shù)關系式，得出點A的坐標表達式，再求△EOF的面積，通過對比，體會融會貫通不同板塊的數(shù)學知識的重要性.

（5）反思小結，暢談收獲.

通過這節(jié)課的學習，你都有哪些體會？

一個模型：直線與曲線相交.

兩種探究：縱向探究和位置變換探究.

五種思想：分類思想、轉化思想、函數(shù)思想、數(shù)形結合思想、推理思想.

五類知識：面積、函數(shù)、特殊四邊形、全等三角形、相似三角形.

設計說明：在學生充分思考、交流后，引導學生從上述四個方面總結本節(jié)課的收獲.

三、探究式復習教學反思

本教學設計在一次市級數(shù)學年會上進行了教學實踐，得到了與會老師的高度認可，這也引發(fā)了我們的積極反思.

1.探究式復習教學應成為復習教學的一種重要課型

眾所周知，復習的主要目的是應對考試，過去的考試更多的是知識立意，隨著新課程改革的不斷深化，考試更加重視“核心素養(yǎng)立意”，并體現(xiàn)人文情懷.這又與當下在教學中如何落實發(fā)展學生核心素養(yǎng)是一致的.《普通高中數(shù)學課程標準（征求意見稿）》指出：“數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學學習的過程中逐漸形成的.數(shù)學核心素養(yǎng)是具有數(shù)學基本特征的、適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的思維品質與關鍵能力.高中階段數(shù)學核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析.這些數(shù)學核心素養(yǎng)既有獨立性，又相互交融，形成一個有機整體.”這些數(shù)學核心素養(yǎng)共同支撐的是“實事求是，理性分析，不畏困難，敢于、善于發(fā)現(xiàn)問題、分析和解決問題”的精神品質.在考試中就演化為考查學生的應變（創(chuàng)新）能力和實踐、操作能力.因此題海戰(zhàn)術式的復習培養(yǎng)的是做題機器，而不是善于思維的人才.探究式復習教學能有效訓練和發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，它應當成為復習教學的一種重要課型.

2.開展教師間合作，形成探究式復習教學資源

實施探究式復習教學并不容易，除了教師要有扎實的教學基本功，還需要教師間的相互合作，更需要備課組的介入.做好以下幾方面的工作具有明顯的現(xiàn)實意義：一是以學期為單位，結合已有的經(jīng)驗篩選具有實施探究式復習教學價值的問題；二是將這些問題定為教學研討的課題，分配給本組教師；三是要求授課教師認真細致地備課，及在組內磨課；四是進行教學實踐檢驗；五是總結反思，形成探究式復習教學資源.