例談初中數(shù)學(xué)中問題轉(zhuǎn)化思想的有效運用

☉江蘇省南京市鼓樓實驗中學(xué) 劉春桃

一、問題提出背景

在初中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)過程中，我們發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生在上課時能夠完全聽懂課程的內(nèi)容，可當讓他們進行習(xí)題練習(xí)時，卻又會無從下手.事實上，學(xué)生感覺解題困難有時候并不是因為數(shù)學(xué)題目本身非常難，而是因為每個學(xué)生在閱讀題目、分析題目、思考題目和求解題目過程中所表現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力具有顯著的差異.在教學(xué)實踐中，如何幫助學(xué)生有效地消除這種差異性，幫助他們更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，是每一位一線數(shù)學(xué)教師必須思考的重點問題.

二、問題轉(zhuǎn)化本質(zhì)和學(xué)生障礙分析

數(shù)學(xué)中問題轉(zhuǎn)化的思想，是一種化歸思想，也是我們在解決數(shù)學(xué)問題過程中常用的一種分析法.簡單來說，問題轉(zhuǎn)化是一種思維方法，就是將一個生疏、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟知、簡單的問題處理，從而實現(xiàn)化繁為簡、化難為易、化抽象為具體的目的.我仔細分析了學(xué)生普遍認為比較難的一些試題，發(fā)現(xiàn)這些題并非想象中那么難，它們都可以通過問題轉(zhuǎn)化來解決.學(xué)生思維產(chǎn)生障礙的根源在于：審題能力、深層次分析問題能力欠缺；對實際問題應(yīng)對能力不夠，不會把問題進行轉(zhuǎn)化、變通；缺乏對數(shù)學(xué)本質(zhì)問題的理解.

例1陳老師要為他家的長方形餐廳（如圖1）選擇一張餐桌，并且想按如下要求擺放：餐桌一側(cè)靠墻，靠墻對面的桌邊留出寬度不小于80cm的通道，另兩邊各留出寬度不小于60cm的通道.那么在下面四張餐桌中，其大小規(guī)格符合要求的餐桌編號是________（把符合要求的編號都寫上）.

圖1

分析：此題主要考查視圖與投影知識的實際應(yīng)用，但學(xué)生在答題過程中表現(xiàn)出來的兩大思維障礙是：難以把空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，以及把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

例2已知線段BD上一動點C，過點B和D分別作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC，AB=5，DE=1，BD=8，設(shè)CD=x.

（1）求AC+CE；

（2）當C點在什么位置時，AC+CE的值最?。?/p>

分析：筆者對八年級50名學(xué)生進行調(diào)查研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：

表1

調(diào)查結(jié)果說明，在數(shù)形結(jié)合思想的運用過程中，學(xué)生感覺將“形”的問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)“的問題比較容易，將“數(shù)”的問題轉(zhuǎn)化為“形“的問題則比較困難.也就是說，學(xué)生比較容易接受將“圖形語言”轉(zhuǎn)化為“符號語言”，而難以想象將“符號語言”轉(zhuǎn)化為“圖形語言”.究其原因，是因為學(xué)生對于數(shù)學(xué)式子本質(zhì)含義缺乏深刻的理解，同時代表了學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的缺乏.

三、數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化途徑

在“問題轉(zhuǎn)化”的過程中，將復(fù)雜的問題簡單化、困難的問題容易化、抽象的問題具體化、陌生的問題熟悉化，其關(guān)鍵在于尋找到合適的轉(zhuǎn)化路徑.在解題過程中，我們往往會運用到聯(lián)想轉(zhuǎn)化和類比轉(zhuǎn)化兩種轉(zhuǎn)化思想.

1.聯(lián)想轉(zhuǎn)化

在解題過程中，我們常常運用的數(shù)形結(jié)合思想，就是一種聯(lián)想轉(zhuǎn)化思想，將“數(shù)”與“形”結(jié)合起來，通過尋找?guī)缀侮P(guān)系和代數(shù)關(guān)系的結(jié)合點，解決數(shù)學(xué)問題.聯(lián)想轉(zhuǎn)化的思想，可以將抽象的問題具體化、復(fù)雜的問題簡單化、困難的問題容易化，從而幫助學(xué)生更簡便地求解答案.在數(shù)學(xué)中，我們常常通過將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題、幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題、函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題、方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題進行求解.

2.類比轉(zhuǎn)化

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有很多數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)定理可以采取類比的方式進行教與學(xué).對數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法的遷移，都可以稱為類比的思想.利用類比轉(zhuǎn)化思想，我們可以將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，降低空間維度；可以將簡單的高次方程轉(zhuǎn)化為一元一次或一元二次方程進行求解，降低方程階次；可以運用全等三角形性質(zhì)及判定方法研究相似三角形的性質(zhì)及判定方法；可以運用正方形性質(zhì)研究矩形、菱形、平行四邊形的性質(zhì)及定理；可以運用直線與圓的位置關(guān)系研究圓與圓的位置關(guān)系；可以將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題進行求解.

例3如圖2，甲、乙、丙三人分別從A點運動到B點，其運動方向如箭頭所示，其中，E為線段AB的中點，AH＞HB，則三人運動路線長度大小關(guān)系可表示為（ ）.

A.甲＜乙＜丙 B.乙＜丙＜甲

C.丙＜乙＜甲 D.甲=乙=丙

圖2

分析：如圖2，六邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題.利用類比轉(zhuǎn)化的思想，可以讓學(xué)生通過知識的遷移實現(xiàn)對題目的求解.在教學(xué)中對學(xué)生這種轉(zhuǎn)化思維的培養(yǎng)，對于學(xué)生正確求解題目能力的提高具有極為重要的作用.

四、問題轉(zhuǎn)化思想的推廣

問題轉(zhuǎn)化思想是學(xué)生求解復(fù)雜、困難問題時一種非常有力的數(shù)學(xué)工具.在求解題目的過程中，倘若學(xué)生能夠熟練掌握這種數(shù)學(xué)工具，并能靈活運用，可提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們可以通過引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)建模，將一些實際生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進行分析，逐步鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.

例4某大學(xué)學(xué)生會主席競選，A、B、C參與了筆試和口試兩輪考試，對其考試結(jié)果進行統(tǒng)計，可以用表和圖的形式表示，分別如表2和圖3所示.

（1）請將表2和圖3中的空缺部分補充完整.

（2）在學(xué)生會主席競選過程中，參與競選的學(xué)生經(jīng)過筆試和口試兩輪比賽后，由本院系的300名學(xué)生對他們進行投票，投票結(jié)果如圖4所示，請根據(jù)圖中比例計算出三位候選人的得票數(shù).

（3）假設(shè)競選的最終成績是按照4∶3∶3的比例對筆試、口試和投票分數(shù)進行計算的，那么三位候選人的最終成績分別是多少？誰能當選學(xué)生會主席？

表2

圖3

圖4

分析：（1）表與圖相互轉(zhuǎn)化；

（2）圖和數(shù)相互轉(zhuǎn)化：

（3）概率統(tǒng)計和方程問題可以相互轉(zhuǎn)化.

五、問題轉(zhuǎn)化能力的培養(yǎng)策略

通過對以上試題的調(diào)查、研究與分析，作為一名數(shù)學(xué)教師，我深深地感受到了問題轉(zhuǎn)化思想的重要性.在解題過程中，學(xué)生的問題轉(zhuǎn)化能力越強，正確率也就越高.那么，在日常的教學(xué)中，我們該如何培養(yǎng)學(xué)生的問題轉(zhuǎn)化能力呢？

1.創(chuàng)設(shè)問題轉(zhuǎn)化的研究氛圍

在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我們應(yīng)尊重學(xué)生在解題過程中的各種思維和想法，要積極為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問題轉(zhuǎn)化的研究氛圍，讓學(xué)生通過主動思考、自主探究體驗問題轉(zhuǎn)化思想的具體應(yīng)用，從中領(lǐng)悟和掌握問題轉(zhuǎn)化的有效路徑.

2.重視學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過程

在日常教學(xué)中，我們往往通過課堂提問、當堂訓(xùn)練、課后作業(yè)等多種途徑訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，但在教學(xué)實踐過程中，我們會忽略學(xué)生得出答案或結(jié)論的一種數(shù)學(xué)思維過程，導(dǎo)致學(xué)生探究程度不夠，只會一味地接受教師給出的答案，甚至只會機械地模仿套路與模式.為此，教師應(yīng)充分認識到讓學(xué)生積極思考的重要性，要給予學(xué)生足夠的時間和機會去思考、去探究，這樣的思維訓(xùn)練才是有效的，才能真正促進學(xué)生思維能力的提升.

3.指導(dǎo)學(xué)生掌握問題探索的方法

對于數(shù)學(xué)問題的求解，我們往往會運用到正向思維、逆向思維和發(fā)散思維三種方法，其中，正向思維法是根據(jù)題目中的已知條件直接推導(dǎo)出結(jié)論，是一種比較常用的思維方法；逆向思維法是從題目中的問題入手，思考要得出結(jié)論，需要什么樣的條件，而需要這樣的條件，又如何才能得到，這也是尋求解決問題的一種數(shù)學(xué)思維方法；發(fā)散法是從題目的一個已知條件或一個關(guān)鍵信息出發(fā)，進行多角度、多形式的引申與發(fā)散，從而使得當前的問題變成一個新的問題的思維方法.

例5 在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，其中，E為線段BC上一點，且△ABC與以C、D、E為頂點的三角形相似.

（1）若BC=8，AB=3，DC=4，求BE的長；

（3）若BC=6，AB=3，DC=4，求BE的長；

（4）請對（1）、（2）、（3）中結(jié)果的原因進行分析.

分析：根據(jù)已知條件，我們可以假設(shè)BE=x，利用列比例式將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，進一步將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題.

第（4）題考查學(xué)生的發(fā)散性思維水平，分析在第（1）、（2）、（3）題中，為什么會有兩種情況及當滿足什么條件時，答案會有1個、2個甚至3個，利用圖形語言進行描述表達得非常清晰，將“數(shù)、式”的問題轉(zhuǎn)化為“形”的問題，可以快速幫助學(xué)生求解該題.

在本題的求解過程中，運用了創(chuàng)造發(fā)散、遷移發(fā)散、條件發(fā)散等思維方法.在教學(xué)過程中，可以重點對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式進行有效訓(xùn)練，讓學(xué)生在探究數(shù)學(xué)問題的過程中，養(yǎng)成勤于思考、樂于思考、勇于探索的良好習(xí)慣，同時通過引導(dǎo)學(xué)生認真觀察、遷移運用、自我反思、思維創(chuàng)新，學(xué)會問題的合理轉(zhuǎn)化.

六、結(jié)束語

求解數(shù)學(xué)問題的過程就是一個不斷進行問題轉(zhuǎn)化的過程，不斷將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題.數(shù)學(xué)問題之間各個條件之間的相互關(guān)系，決定了問題轉(zhuǎn)化的路徑和方法.因此，在日常教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的內(nèi)部聯(lián)系進行分析，要給予學(xué)生充足的時間和平臺，讓他們自主思考和探究，從而探尋到簡便、快捷的問題轉(zhuǎn)化方法，從而促進學(xué)生問題轉(zhuǎn)化能力的提升.